安徽省滁州市九校2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题

（北京）股份有限公司 2022～2023 学年度第二学期高一期中考试 数学试卷 2023.4 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150 分，考试时间120 分钟。 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区 域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3．本卷命题范围：人教A 版必修第一册，必修第二册8.3 结束。 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 中元素的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 2．设 ，其中a，b 是实数，则 A． ， B． ， C． ， D． ， 3．下列说法正确的是 A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 C．底面是矩形的四棱柱是长方体 D．三棱台有8 个顶点 4．在△ABC 中， ， ，则△ABC 外接圆的半径为 A．1 B． C． D．2 （北京）股份有限公司 5．已知△ABC 是正三角形，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为 A． B． C． D． 6．现有一个底面圆半径为3 的圆柱型的盒子，小明现在找到一些半径为3 的小球，往盒子中不断地放入小球， 若此盒子最多只能装下6 个这样的小球（盒子的盖子能封上），那么圆柱盒子的容积与一个小球的体积的比 值范围为 A． B． C． D． 7．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化 与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等． 已知圆O 是某窗的平面图，O 为圆心，点A 在圆O 的圆周上，点P 是圆O 内部一点，若 ，且 ，则 的最小值是 A．3 B．4 C．9 D．16 8．已知 ， ， ，则a，b，c 的大小关系为． A． B． C． D． 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 要求，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分。 9．已知复数 ，其中z 为虚数，则下列结论正确的是 A．当 时， 的虚部为－2 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 在复平面内对应的点在第二象限 （北京）股份有限公司 10．已知向量 ， ，则下列说法正确的是 A．若 ，则 B．若 ，则 C． 的最小值为3 D．当 时， 与 的夹角为钝角 11．一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是 A． B． C． D． 12．已知函数 （其中 ， ）， ， 恒成立，且函 数 在区间 上单调，那么下列说法正确的是 A．存在 ，使得 是偶函数 B． C． 是 的整数倍 D． 的最大值是6 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．函数 的值域为 ． 14．如图所示，△A＇B＇C＇表示水平放置的△ABC 用斜二测画法得到的直观图，A＇B＇在x＇轴上，B＇C＇ 与x＇轴垂直，且 ，则△ABC 的边AB 上的高为 ． 15．甲为了知晓一座高楼的高度，站在一栋12m 高的房屋顶，测得高楼的楼顶仰角为75°，一楼楼底的俯角 （北京）股份有限公司 为45°，那么这座高楼的高度为 m． 16．如图，在平面四边形ABCD 中， ， ，则AB 的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 17．（本小题满分10 分） 已知复数 ，其中 ，i 为虚数单位． （1）当m 为何值时，z 为纯虚数； （2）若复数z 在复平面内对应的点位于直线 的上方，求m 的取值范围． 18．（本小题满分12 分） 在△ABC 中，a，b，c 分别是角A，B，C 所对的边，且满足 ． （1）求角C 的大小； （2）设向量 ，向量 ，且 ，判断△ABC 的形状． 19．（本小题满分12 分） 已知函数 是定义域为R 的奇函数，且当 时， ． （1）求函数 的解析式； （2）若 ，求不等式 的解集． 20．（本小题满分12 分） 如图，已知四边形ABDE 为平行四边形，点C 在AB 延长线上，且 ， ，设 ， ． （北京）股份有限公司 （1）用向量 ， 表示 ； （2）若线段CM 上存在一动点P，且 ，求 的最大值． 21．（本小题满分12 分） 已知函数 的最小正周期是 ． （1）求 的解析式，并求 的单调递增区间； （2）将 图象上所有点的横坐标扩大到原来的2 倍，再向左平移 个单位，最后将整个函数图象向上平 移 个单位后得到函数 的图象，若 时， 恒成立，求m 的取值范围． 22．（本小题满分12 分） 如图，已知扇形OMN 是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10 米， ，为了便于游客观 光和旅游，提出以下两种设计方案： （1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形ABO 形状的道路，道路的一个顶点B 在弧MN 上（不含端点）， ，另一顶点A 在半径OM 上，且 ，△ABO 的周长为 ，求 的表达式并求 的最大值； （2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC 的一个顶点B 在弧MN 上，另两 （北京）股份有限公司 个顶点A、C 分别在半径OM、ON 上，且 ， ，求花圃△ABC 面积的最大值． 2022～2023 学年度第二学期高一期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1．C ∵集合 ，而 ，∴ ， ∴A∩B 中元素的个数为4．故选C． 2．A 因为 ，即 ，则 ，即 ，故选A． 3．B 4．A 由正弦定理 ，则 ，故△ABC 外接圆的半径为1．故选A． 5．B 6．C 由题意可知：圆柱盒子内高h 的范围为 ．圆柱盒子的体积 ，一个小球的体 积 ，∴ ，故选C． 7．A 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ，则 ． （北京）股份有限公司 因为点P 是圆O 内部一点，所以 ，所以 ， 则 ， 当且仅当 时，等号成立，故 的最小值是3． 8．D 分别对 ， ， 两边取对数，得 ， ， ． ． 由基本不等式，得： ， 所以 ，即 ，所以 ． 又 ，所以 ．故选D． 9．BCD 当 时， ， ∴ω 的虚部为－4，故A 错误； ，故B 正确； 当 时， ． ∴ ，故C 正确； 当 时， 在复平面内对应的点在第二象限，故D 正确，故选BCD． 10．AC 若 ，则 ，即 ，故A 正确； 若 ，则 ， （北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ，故B 错误； ∵ ， ∴ （当 ，即 时取等号），故C 正确； 当 时，易得 ，即 与 的夹角为直角，故D 错误，故选AC． 11．ACD 当截面平行于正方体的一个侧面时得C；当截面过正方体的体对角线时可得D；当截面既不过体对角线又不 与任一侧面平行时，可得A．但无论如何都不能截得B． 12．BC ∵ ， 成立，∴ ，整理得 ，解得 ， ，故A 错误； ∵函数 的图象关于 对称，∴ ，故B 正确；∵ ，∴ 是 的整数倍，故C 正确；∵函数 在区间 上单调，∴ ，即 ，当 时，由 ，整理得 ，故 无解，故D 错 误．故选BC． （北京）股份有限公司 13． ． ，则 14． 如图，作线段 轴，交 轴于点D ，则 ，所以边AB 上的高为 ． 15． 设高楼高度为x m，甲站的房屋与高楼水平距离为y m，则易得： ， ，解得 ． 16． 如图所示，延长BA，CD 交于E，平移AD， 当A 与D 重合与E 点时，AB 无限接近于BE， （北京）股份有限公司 在△BCE 中， ， ， ， 由正弦定理得 ，即 ，解得 ． 平移AD，当D 与C 重合时，此时与AB 交于F， 在△BCF 中， ， ， 由正弦定理得 ，即 ， 解得 ， 所以AB 的取值范围为 ． 17．解： （1） ，由 ， 解得 ，故当 时，z 为纯虚数， （2）由题可得： ， ∴ ，即 ， ∴m 的取值范围为 ． 18．解： （1）因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ． （2）因为 ， ，且 ， 所以 ， （北京）股份有限公司 所以 ， 所以 或 （舍）， 当 时， ，所以△ABC 为直角三角形． 19．解： （1）当 时， ，则 ， ∵函数 是定义域为R 的奇函数， ∴ ， 当 时， ， 综上所述： ． （2）由（1）易知：函数 在 和 上分别单调递增． 当 时， ， ∴函数 在R 上单调递增， 而 ∴ ，而 ， ∴ ， 又∵函数 在R 上单调递增， ∴ ，解得 ， 故不等式 的解集为 ． （北京）股份有限公司 20．解： （1） ． （2） ， ， ∵点P 在线段CM 上，即点M，P，C 三点共线， ∴存在唯一的实数t， ，使得 ， ∴ ， 而 ， ∴ ， ， ∴令 ． 对称轴为 ，故 ， 即 的最大值为 ． 21．解： （1）∵ ， 由 ，解得 ， ∴ ． 由 ， ． （北京）股份有限公司 得 ， ． ∴ ， ． ∴ 的单调递增区间为 ， ． （2）依题意得 ， ∵ ， ∴ ， ∵当 时， 恒成立， ∴只需 ，转化为求 的最大值与最小值． 当 时， 为单调减函数， ∴ ， ， 从而 ， ，即 ， 故m 的取值范围是 ． 22．解： （1） ， ， ， ， 又∵ ，在△AOB 中，由正弦定理知： ， （北京）股份有限公司 ∴ ， ，△ABO 周长为 ， ， 化简 ， ∵ ， ∴ ， ∴当 时，即 时，△ABO 周长取最大值，为 ． （2）由题意，可知（2）中△ABC 的面积与（1）中△ABO 等底等高，即二者面积相等， 在△ABO 中， ， ， ， ， 由余弦定理知： ， ∴ ， ∴ ，当且仅当 时取“＝”， ． 即花圃△ABC 面积的最大值为 ． （北京）股份有限公司