安徽省省十联考2022-2023学年高一下学期开学摸底联考数学试题

（北京）股份有限公司 2022~2023 学年度第二学期开学摸底联考 命题单位：合肥市第八中学 校审单位：合肥市第六中学、合肥一六八中学 特别鸣谢联考学校：（排名不分先后） 淮北一中、太和一中、界首一中、利辛一中、霍邱一中、金寨一中、明光中学、枞阳浮山、衡 安学校、淮南一中 高一数学 考试说明：1．考查范围：必修第一册． 2．试卷结构：分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）：试卷分值：150 分，考试时间： 120 分钟． 3．所有答案均要答在答题卷上，否则无效．考试结束后只交答题卷． 第Ⅰ卷 选择题（共60 分） 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．每小题只有一个正确答案，请把正确答 案涂在答题卡上） 1．已知集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 3．己知 ，则a，b，c 的大小关系是（ ） （北京）股份有限公司 A． B． C． D． 4． 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数 的部分图象如图，则 （ ） A．1 B． C． D． 6．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： ，它表示在受噪音干扰的信道中，最 大信息传递速度C 取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中 叫做信噪比．当信噪比 比较大时，公式中真数里面的1 可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽 W，而将信噪比 从2000 提升至12000，则C 大约增加了（ ）（参考数据： ） A．24% B．30% C．36% D．45% 7．设函数 （ 是常数， ）．若 在区间 上具有单调性，且 ，则（ ） A． 的周期为 B． 的单调递减区间为 （北京）股份有限公司 C． 的图象与 的图象重合 D． 的对称轴为 8．已知函数 与 的零点分别为a，b，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分．请把正确答案涂在答题卡上） 9．已知幂函数 的图像经过点 ，则下列命题正确的是（ ） A． 为偶函数 B． 的值域是 C．若 ，则 D． 是 上的减函数 10．已知正数x，y 满足 ，则下列说法错误的是（ ） A． 的最大值为1 B． 的最大值为2 C． 的最小值为2 D． 的最大值为1 11．下列说法正确的有（ ） A．命题“ ”的否定是“ ” B．若 ，则 C．若 ，则 D．函数 在R 上有三个零点 （北京）股份有限公司 12．己知锐角三角形 中，设 ，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．已知 ，且 ，则m 的值为__________． 14．已知正数x，y 满足 ，若不等式 对任意正数x，y 恒成立，则实数m 的取值范围为___ _______． 15．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画 等边三角形 ，再分别以点A、B、C 为圆心，线段 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）． 若莱洛三角形的周长为 ，则其面积是__________． 16．设函数 是定义在R 上的偶函数，且 ，当 时， ，则函数 在 上所有零点之和为__________． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）已知 ． （1）化简 ；（2）若 ，求 的值． （北京）股份有限公司 18．（12 分）已知函数 为偶函数，且 ． （1）求m 的值，并确定 的解析式； （2）若 （ 且 ），求 在 上值域． 19．（12 分）已知函数 是定义在R 上的奇函数． （1）判断并证明函数 的单调性； （2）不等式 对 恒成立，求m 的取值范围． 20．（12 分）已知函数 （其中 ）的图象与x 轴交于A，B 两点，A，B 两 点间的最短距离为 ，且直线 是函数 图象的条对称轴． （1）求 的对称中心； （2）若函数 在 内有且只有一个零点，求实数m 的取值范围． 21．（12 分）已知函数 ，其中 ．如图是函数 在一个周期内的 图象，A 为图象的最高点，B．C 为图象与x 轴的交点， 为等边三角形，且 是偶函数． （1）求函数 的解析式； （北京）股份有限公司 （2）若不等式 对任意 恒成立，求实数m 的取值范围． 22．（12 分）已知函数 ． （1）当 时，做出 的草图，并写出 的单调区间； （2）当 时，解不等式 ； （3）若存在 ，使得 成立，求实数a 的取值范围． 省十联考*合肥八中2022～2023 学年度第二学期开学摸底联考 数学试题卷参考答案 第Ⅰ卷 选择题（共60 分） 一、选择题 1．【答案】B 【解析】解不等式 得 ，故集合 ， 从而 ， 故选：B． 2．【答案】C （北京）股份有限公司 【解析】由于 ，所以 ，因此 ，故选： C． 3．【答案】D 【解析】 ；根据对数函数的单调性， 在 上递增，则 ， 在 上递减，故 ，即 ，D 选项正确． 故选：D． 4．【答案】A 【解析】 当 时， ， 则有 成立，即 成立； 当 时， ， 即 成立，但此时 不成立． 综上可知， 是 的充分不必要条件． 故选：A． 5．【答案】C 【解析】由题图： ，且 ，则 ，可得 ， 则 ，且 ， （北京）股份有限公司 所以 ，则 ，不妨令 ， 则 ，故 ． 故选：C． 6．【答案】A 【解析】根据题意，计算出 的值即可； 当 时， ， 当 时， ， ∴ ， 所以将信噪比 从2000 提升至12000，则C 大约增加了24%， 故选：A． 7．【答案】C 【解析】∵ 在区间 上具有单调性，且 ，∴ 和 均不是 的极 值点，其极值应该在 处取得，∵ ，∴ 也不是函数 的极值点， 又 在区 上具有单调性，∴ 为 的另一个相邻的极值点，故函数 的最小正周期 ，所以A 错误； （北京）股份有限公司 所以 ，令 ，得 的单调递减区 间为 ，所以B 错误； ，所以C 正确； 令 ，得 的对称轴为 ，所以D 错误． 故选：C． 8．【答案】D 【解析】：根据题意， ， 所以 且 ， 所以 且 ， 对比 和 可知，结合 和 只有一个交点， 所以 ，故 ，故选项A 错误； 易知 在 单调递增，所以 ， 与a 是 的零点矛盾，故选项B 错误； 若成立，则有 ，即有 ， 即有 ，故矛盾，所以选项C 错误； ，故选项D 正确． 故选：D． 二、多选题 9．【答案】CD （北京）股份有限公司 【解析】因为函数 是幂函数，所以设 ， 又因为 的图像经过点 ，所以有 ，∴ ， 即 ． A：函数 的定义域为 ，不关于原点对称，所以函数 不是偶函数，因此本命题不正确； B：因为 ，所以 ，因此本命题不正确； C：因为 ，所以 ， 因此 ，因此本命题正确； D： ， 由函数单调性的性质可知中： 是 上的减函数，因此本命题正确， 故选：BD． 10．【答案】BC 【解析】因为 ， 所以 ，故 ，当且仅当 时，取得等号； 所以 的最大值为1，故A 正确； 当 时， ，故B 错误； 因为 ，所以 ，即 有最大值为 2， 故C 错误； 因为 ，当且仅当 时，取得等号，所以 有最大值为1，故D （北京）股份有限公司 正确； 故选：BC． 11．【答案】BCD 【解析】A 选项，命题“ ”的否定是“ ”，故A 正确； B 选项，取 ，则 ，故B 错误； C 选项， ，∴ ，故C 错误； D 选项，由图知，当 时， 恒成立，当 时， ，且函数 在R 上为 奇函数，故D 错误． 故选：BCD． 12．【答案】ABC 【解析】因为三角形 为锐角三角形，所以 ，所以 ， 所以 ，所以A 正确； 同理 ，则 ，所以 B，C 正确； 由于 ，所以 在 是增函数，又 ，所以 ，故 D 错误． 故选ABC． 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．【答案】6 【解析】由 得 ， ． 故答案为：6 （北京）股份有限公司 14．【答案】 【解析】由题意得 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以实数m 的取值范围为 ． 故答案为： ． 15．【答案】 ． 【解析】由条件可知，弧长 ，等边三角形的边长 ，则以点 A 、B 、C 为圆心，圆弧 所对的扇形面积为 ，中间等边 的面积 所以莱洛三角形的面积是 ． 故答案为： 16．【答案】6 （北京）股份有限公司 【解析】由题知 是由 纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，再将x 轴下方的图象翻到 x 轴上方即可得到， 又有 是定义在R 上的偶函数， 且 ， 所以 图象关于直线 对称，且周期为2， 又因为 时， ， 在同一坐标系下，画出 及 在 的图象如下所示： 由图象可知 与 交点个数为10 个，其零点之和为6． 四、解答题 17．【答案】（1） ；（2） ． 【 解 析 】 （ 1 ） ． （北京）股份有限公司 （2）由题意 ∵ ，∴ ，∴ ∴ 18．【答案】（1） ； （2）当 时，函数 的值域为 ，当 时， 的值域为 ． 【解析】（1）因为 ，所以由幂函数的性质得， ，解得 ，因为 ，所以 或 或 ， 当 或 时， 它不是偶函数； 当 时， 是偶函数； 所以 ； （2）由（1）知 ， 设 ，则 ，此时 在 上的值域，就是函数 的值域； 当 时， 在区间 上是增函数，所以 ； 当 时， 在区间 上是减函数，所以 ； 所以当 时，函数 的值域为 ，当 时， 的值域为 ． 19．【解析】（1）函数 的定义域为R， 因为 为奇函数，所以 ，所以 ， （北京）股份有限公司 经检验， 时， 是奇函数，此时 在R 上单调递增． 下面用单调性定义证明：任取 ，且 ，则 ， 因为 在R 上单调递增，且 ，所以 ， 又 ，所以 ， 所以函数 在R 上单调递增； （2）因为 为奇函数，所以 ， 由 ，可得 ， 又函数 在R 上单调递增， 所以 ，即 对 恒成立， 令 则 解得 ． 20．【答案】（1） （2） 或 【解析】（1）由题知A，B 两点间的最短距离为 ，所以 ， 所以 ，直线 是函数 图像的一条对称轴， 所以 ，又因为 ，所以 ， 所以 （北京）股份有限公司 令 ，则 ， 所以函数 对称中心为 （2）因为函数 在 内有且只有一个零点， 所以 在 范围只有一个实根， 即函数 在 的图像与直线 只有一个交点， 因为 ，所以 ，令 ，则 函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，即 时，函数y 有最大值，最大值为1． 当 ，即 ，函数 ，当 ，即 ，函数 ． 所以要使函数 在 的图像在与直线 只有一个交点， 则 或 ，所以 或 ． 21．【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由 可知，点A 的纵坐标为 ∵ 为等边三角形，∴ ，即函数的周期 ，∴ ， （北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ ，∴ ，又 是偶函数，∴ ， ∴ ，∴ （2） ∵ 对任意 恒成立， ∴ ， 即 对任意 恒成立， 令 ，即 在 上恒成立． 设 ，对称轴 ， 当 时，即 时， ，解得 （舍）； 当 时，即 时， ，解得 ，∴ ； 当 时，即 时， ，解得 ． 综上，实数m 的取值范围为 ． 22．【答案】（1）图形见解析，在 和 上单调递增，在 上单调递减 （2）解集为 （北京）股份有限公司 （3） 或 【解析】（1）当 时， ， 根据解析式分两种情况分别作出图形可得函数的图象如下， 由图可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 单调递增． （2）当 时， ，记 ， 则 ，故 为奇函数，且 在R 上单调递增， 不等式 转化为 ， 即 ， 即 ，即 ， 从而由 在R 上单调递增，得 ，即 ，解得 ， 故不等式 的解集为 ． （3）设 ，则问题转化为存在 ，使得 ， 又注意到 时， ，且 ， （北京）股份有限公司 可知问题等价于存在 ，即 在 上有解． 即 在 上有解，于是 或 在 上有解， 进而 或 在 上有解， 由函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递增，可知 ， 故a 的取值范围是 或 ． （北京）股份有限公司