浙江省杭州市六县九校联考2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题

高一数学学科试题第1页 共6 页 绝密★考试结束前 杭州“六县九校”联盟2022 学年第二学期期中联考 高一年级数学学科 试题 命题： 瓶窑中学 考生须知： 1．本卷共6 页满分150 分，考试时间120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、 单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的选项中,只有一符合题目要求.) 1.已知集合   1,2,3,5 M = ，   2,3,4 N = ，则M N  = （ ） A.   1,5 B.   1,2 C.   2,3 D.   1,2,3,4 2. 设 0.70.3 6 1 2,log,2 4 abc − = = = ，则（ ） A. cab   B. acb   C. bca   D. b a c   3．设xR ，则“ 2 2 0 x x −  ”是“ 1 2 x −  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 如图，一个水平放置 平面图形的直观图ABCD 是边长为1 的菱形，且 1 O D = ，则原平 面图形的面积为（ ） A. 2 B.1 C. 2 2 D. 2 5．下列命题中正确的是（ ） A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行 B．平面内有不共线的三个点A，B，C 到平面的距离相等，则  ∥ C．b ，  ∥ ，则b  ∥ D．a ，a b ，b   ，则b  6. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，1996 年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护 单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一 的 高一数学学科试题第2页 共6 页 体，极具对称之美．小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 AB ， 高为 ( ) 10 6 m 2 − ， 在它们之间的地面上的点M（ , , BMD 三点共线） 处测得楼顶A ， 教堂顶C 的仰角分别是15和60，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30，则估算索菲亚教堂的 高度为（ ） A. 20m B. 20 3m C. 20 6m D. 103m 7. 正方体 1111 ABCDABCD − 的棱长为2，点, , PQR 分别是棱 1111, , ADCDBC 中点，则过点 , , PQR 三点的截面面积是（ ） A. 3 2 B. 3 C. 2 3 D. 3 3 8．已知 2 2 231 aabb − − = ，且 ( ) 2 1log1 a b − +  ，则a b − 的取值范围是（ ） A． 5 1, 3   −     B． 5 1, 4       C．(  ,1 − D． 7 1, 4   −     二、多选题(本题共4 小题,每小题5 分,共20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有错选的得0 分.) 9．下列命题为真命题的是（ ） A．复数2 2i − 的虚部为2i − B．若i 为虚数单位，则2023 i i = − C．复数2 i −−在复平面内对应的点在第三象限 D．复数 5 2 i −+ 的共轭复数为2 i −− 10. 在ABC 中，角, , A B C 的对边分别是, , a b c ，下列说法正确的是（ ） A. 若A B  ，则cos cos A B  高一数学学科试题第3页 共6 页 B. 若 30,5,2 Aba = = = ，则ABC 有两解 C. 若coscoscos0 ABC  ，则ABC 为锐角三角形 D. 若 coscos acBaC − =  ，则ABC 为等腰三角形或直角三角形 11．已知向量 (3,2) a = − ， (2,1) b = ， (,1) c  = − ， R  ， R  ，则（ ） A． 若 1 = ， 则 2 a b + 在c 方向上的投影向量为 3 2 c − B． 与b 共线的单位向量为255 (,)5 5 C．若atbc = + ，则 4 t + = − D．a b  + 的最小值为7 5 5 12. 如图，AC 为圆锥SO 的底面圆O 的直径， 点B 是圆O 上异于A， C 的动点， 2 SOOC = = ， 则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥SO 的侧面积为2 2π B. 三棱锥SABC − 体积的最大值为8 3 C. SAB  的取值范围是 , 4 3        D. 若ABBC = ，E 为线段AB 上的动点，则SECE + 的最小值为( ) 231 + 非选择题部分 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.） 13. 复数( ) 2 2 z i i + = −，i 为虚数单位，则z = _________. 14．如图，在单位圆中，(1,0) P ，M ､N 分别在单位圆的第一､二象限内运动， 若 2 3 7 PON S = △ ， MON △ 为等边三角形，则sin POM  = ___________. 15． 已知菱形 ABCD 的边长为 2 ， 120 BAD  = ， 点 E ， F 分别在边 BC ， CD 上， BE BC  = ， DF DC  = ．若 2 3   + = ，则 AE AF  的最小值为 ． 高一数学学科试题第4页 共6 页 16.已知圆锥底面圆的直径为2，高为3 ，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四 面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为 ． 三．解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10 分）已知 4 a = ， 8 b = ，a 与b 的夹角是120°． (1)计算：a b + ； (2)当k 为何值时，( ) ( ) 2 a b ka b + ⊥ − ． 18． （本小题满分10 分）已知向量 ( ) 2cos,1 a x = ， 1 cos, 3 2 b x      = − +         ， 0, 2 x       ． (1)若a b ∥，求x 的值； (2)记 ( ) fxab = ，若对于任意 1 2 ,0, 2 x x       ，而 1 2 |()()|  −  fxfx 恒成立，求实数的最小值． 高一数学学科试题第5页 共6 页 19． （本小题满分12 分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径：一种是 从A 处沿直线步行到C 处；另一种是先从A 处沿索道乘缆车到B 处，然后从B 处沿直线步行到 C 处，现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m·min-1.在甲出发2 min 后，乙从A 处乘缆车到B 处，再从B 处匀速步行到C 处，假设缆车的速度为130 m·min-1，山路 AC 长为1260 m，经测量 12 cos 13 A = ， 3 cos 5 C = . (1)从A 处到B 处，乙乘坐缆车的时间是多少min？ (2)乙出发多长时间后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 20. （本小题满分12 分）如图，斜三棱柱 111 ABCABC − 中， 1 , D D 分别为 1 1 ACAC ， 上的点． (1)当 1 1 1 1 1 A D D C = 时，求证 1 / / BC 平面 1 1 ABD ； (2)若平面 1 / / BCD 平面 1 1 ABD ,求AD DC 的值，并说明理由． 高一数学学科试题第6页 共6 页 21.（本小题满分12 分）在① cos3sin aaCcA + = ，②( )( ) 3 abcabcab + + + − = ，③ ( ) ( ) sinsinsin abBCbBcC − + + = ．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知在ABC 中，角, , A B C 的对边分别是, , a b c ，__________． (1) 求角C 的值； (2) 若角C 的平分线交AB 于点D ，且 2 3 CD = ，求2a b + 的最小值. 22． （本小题满分14 分）已知 ( ) ( ) 2 2 a fxaxa x x = − + − ≥ ． (1)当 2 a = 时，解不等式 ( ) 0 f x  ； (2)若( ) ( ) gxxfx=  ，且函数 ( ) ygx = 的图像与直线 3 y = 有3 个不同的交点，求实数a 的取值 范围； (3)在(2)的条件下， 假设3 个交点的横坐标分别为 123 xxx ，， ， 且 123 xxx   ， 若 2 3 1 x x t x 恒成立， 求实数t 的取值范围．