精品解析：甘肃省兰州第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题（原卷版）

兰州一中2021-2022-2 学期高二年级期中考试试卷 数学（理科） 说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150 分，考试时间 120 分钟.答案写在答题卡上.交卷时只交答题卡. 一．选择题（共12 小题，满分60 分，每小题5 分） 1. 复数 （i 为虚数单位）的共轭复数的虚部为（ ） A. －1 B. 1 C. D. i 2. 在用反证法证明“已知 ， ，且 ，则 ， 中至多有一个大于0”时，假设应为（ ） A. ， 都小于0 B. ， 至少有一个大于0 C. ， 都大于0 D. ， 至少有一个小于0 3. 函数y＝x2cos 2x 的导数为（ ） A. y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B. y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C. y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D. y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x 4. 函数 的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ） A. B. C. D. 6. 把3 封信投到4 个信箱中，所有可能的投法共有（ ） A. 7 种 B. 12 种 C. 种 D. 种 7. 设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 只有一个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分 配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的 分配方案共有（ ） A. 120 种 B. 240 种 C. 360 种 D. 480 种 10. （1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 11. 下列说法正确的是： ①设函数 可导，则 ； ②过曲线 外一定点做该曲线的切线有且只有一条； ③已知做匀加速运动的物体的运动方程是 米，则该物体在时刻 秒的瞬时速度是 米秒； ④一物体以速度 （米/秒）做直线运动，则它在 到 秒时间段内的位移为 米； ⑤已知可导函数 ，对于任意 时， 是函数 在 上单调递增的充 要条件． A. ①③ B. ③④ C. ②③⑤ D. ③⑤ 12. 已知 ， ，若 成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5 小题，满分25 分，每小题5 分） 13. ___________. 14. 在二项式 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______． 15. 若函数 在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意 ， ，…， 都有 ，若函数 在区间 上是凸函数， 则在△ 中， 的最大值是______. 16. 在平面直角坐标系 中，点A 在曲线y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对 数的底数），则点A 的坐标是____. 17. 若函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是__________． 三．解答题（共5 小题，满分65 分） 18. 设为虚数单位， ，复数 ， . （1）若 是实数，求 的值； （2）若 是纯虚数，求 . 19. 用分析法证明 ． 20. 数列 满足 ， . （1）试求出 ， ， ； （2）猜想数列的 通项公式并用数学归纳法证明. 21. 已知函数 ． （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值和最小值． 22. 设函数 ，e 为自然对数的底数． （1）求f（x）的单调区间： （2）若ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0 成立，求正实数a 的取值范围．