湖北省孝感市2021-2022学年高二上学期期中联考数学试卷（PDF版）

孝感市普通高中期 2021—2022 学年度上学期 中联合考试 高二数学试卷 考试时间：2021 年11 月10 日下午2:30—4:30 本试卷满分150 分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题 卡上的指定位置。 2． 选择题的作答： 每小题选出答案后， 用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。 写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1．直线 0 3 2 = − + y x 的一个方向向量为( ) A． ) 1 , 2 ( B． ) 2 , 1 ( C． ) 1 , 2 (− D． ) 2 , 1 (− 2．已知直线 0 1 ) 2 ( = + − + y a ax 与直线 0 3 3 2 = + + y x 平行，则实数a 的值为( ) A．4 B． 4 − C．5 6 D． 5 6 − 3．若动直线l 经过点 ) 3 , 1 ( P ，当点 ) 3 , 3 ( − Q 到直线l 的距离最远时，直线l 的方程为( ) A． 0 6 3 = − + y x B． 0 6 3 = + + y x C． 0 8 3 = + −y x D． 0 10 3 = − + y x 4．已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ， 的中点 分别是棱 CD AB F E , , ，则 → → ⋅AC EF 等于 （ ） A． 2 4 1 a − B． 2 4 1 a C． 2 2 1 a − D． 2 2 1 a 5．已知正三棱柱 1 1 1 C B A ABC − 的所有棱长都为1，则 1 AB 与 B C1 所成角的余弦值为（ ） A． 4 1 − B．4 1 C．0 D．2 1 6．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上面的点数分别为 b a, ，构成一个基本事件 ） （ b a, ．记 “这些基本事件中，满足 1 log > a b ”为事件E ，则E 发生的概率是( ) A．18 5 B．36 5 C．12 5 D．2 1 7．在一次运动会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛中甲获胜的概 率为0.6， 乙获胜的概率为0.4， 已知比赛规则是3 局2 胜制， 则乙获得冠军的概率为 （ ） A．0.288 B．0.352 C．0.648 D．0.256 8．如图，已知直三棱柱 1 1 1 C B A ABC − 中，侧棱长为2， , 1 = = BC AC , 90 = ∠CB 点D 是 1 1B A 的中点，E 是侧面 B B AA 1 1 （含边界） 上的动点， 且有 DE C AB 1 1 平面 ⊥ , 则直线 E C1 与侧面 B B AA 1 1 所成角的正弦值的最小值为（ ） A．2 2 B．2 5 C．5 10 D．10 10 二、多选题(本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有2 个或2 个以 上选项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分) 9．从装有3 个白球和2 个黑球的口袋内不放回地任取2 个球，那么下列说法正确的是( ) A．至少有1 个黑球与都是黑球是互斥事件 B．至少有1 个黑球与都是白球是对立事件 C．恰有1 个黑球与恰有1 个白球是互斥事件 D．恰有1 个黑球与恰有2 个黑球是互斥而不对立事件 10．已知事件A,B，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.2，则下列结论正确的是( ) A．如果B⊆A，那么P(A∪B)＝0.4，P(AB)＝0.2 B．如果A 与B 互斥，那么P(A∪B)＝0.6，P(AB)＝0 C．如果A 与B 相互独立，那么P( A － B －)＝0.92 D．如果A 与B 相互独立，那么P(AB)＝0.08，P(A∪B)＝0.52 11．已知正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD − 的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A．直线 C B1 与直线 1 AD 所成的角为  90 B．直线 C B1 与平面 1 ACD 所成角的余弦值为3 3 C． ⊥ D B1 平面 1 ACD D．点 1 B 到平面 1 ACD 的距离为2 3 12. 下列结论错误的是( ) A．过点 ) 0 , 2 ( ), 3 , 1 ( − − B A 的直线的倾斜角为 ° 45 B．直线 0 2 2 = − −y x 与直线 0 1 4 2 = + −y x 之间的距离为 5 C．已知点 ) 3 , 2 ( ), 1 , 3 ( B A ，点P 在y 轴上，则 PB PA + 的最小值为 29 D． 已知两点 ) 2 , 3 ( ), 4 , 3 ( B A − ， 过点 ) 0 , 1 ( P 的直线l 与线段AB 没有公共点， 则直线l 的斜率 的取值范围是 ) , 1 ( ) 1 , ( +∞ − −∞  . 三、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，把答案填在答题卡中的横线上) 13．现采用随机模拟的方法估计一位射击运动员三次射击恰有两次命中的概率：先由计算机随机 产生0 到9 之间取整数的随机数，指定1,2,3,4,5,6,7 表示命中，8,9,0 表示不命中，再以三个 随机数为一组，代表三次射击的结果．经随机模拟产生了如下20 组随机数： 012 926 321 127 571 488 807 458 566 623 948 227 194 925 562 912 734 413 137 741 根据以上数据，估计该运动员三次射击恰好有两次命中的概率为_________． 14．已知空间向量 ) , 2 , 4 ( ), 2 , 1 , 3 ( x b a − = = → → ，且 → → ⊥b a ，则 = + → → | | b a _________． 15．如图所示，三棱柱 1 1 1 C B A ABC − 中， N M , 分别是 1 1 1 C B B A 和 上的点，且 M A BM 1 3 = ， N B N C 1 1 2 = 。设 ) , , ( 1 R z y x AC z AB y AA x MN ∈ + + = → → → → ，则 z y x + + 的值为 _________． 16．已知 R m∈ ，动直线 0 2 : 1 = − −my x l 过定点A ，动直线 0 3 2 4 : 2 = + − + m y mx l 过定点 B ，若直线1 l 与2 l 相交于点M （异于点 B A, ） ，则MAB ∆ 周长的最大值为_________． 四、解答题(本大题共6 小题，第17 小题10 分，其余各小题每题12 分，共70 分。解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤） 17． （满分10 分）如图所示，在平行六面体 D C B A ABCD ′ ′ ′ ′ − 中， 2 = = AD AB , 3 = ′ A A , ° ° = ′ ∠ = ′ ∠ = ∠ 60 45 A DA A BA BAD ， . （1）求 ； → → ′ ⋅ ′ C A B B （2）求线段 C A ′的长。 18． （满分12 分）一个袋子中有2 个红球，n 个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球。 （1）当 3 = n 时，求第二次取出绿球的概率； （2）若两次取到的球颜色不同的概率为21 10 ，求n 的值。 19． （满分12 分） 已知ABC ∆ 的顶点 ) 4 , 3 ( B ，AB 边上的高所在直线为 0 3 : 1 = − + y x l ，BC 边 上的中线所在直线为 0 7 3 : 2 = − + y x l ，E 为AB 的中点。 （1）求点E 的坐标； （2）求过点E 且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线l 的方程。 20． （满分12 分）2021 年孝感万达广场停车场临时停车按时段收费，收费标准为每辆汽车一次停 车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3 元(不足1 小时的部分按1 小时计 算)。现有甲、乙两人在该停车场临时停车， 两人停车时间互不影响且都不超过2.5 小时。 （1）若甲停车的时长在不超过半小时、半小时以上且不超过1.5 小时、1.5 小时以上且不超 过2.5 小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、 乙两人停车付费之和为6 元的概率。 （2）若甲、乙停车半小时以上且不超过1.5 小时的概率分别为4 1 、3 1 ，停车1.5 小时以上且 不超过2.5 小时的分别概率为12 5 、6 1 ，求甲、乙两人临时停车付费不相同的概率。 21． （满分12 分）已知直线l 的方程为 . 0 3 = − − + m my x 点P 的坐标为 ) 0 , 2 ( ． （1）证明：直线l 一定经过第一象限； （2）设直线l 与x 轴、y 轴分别交于 B A, 两点，当点P 到直线l 的距离取得最大值时，求 PAB ∆ 的面积。 22． （满分12 分）如图，在四棱锥 ABCD P − 中， ABCD PA 平面 ⊥ ， ° = ∠ 90 ADC ， BC AD // ， 2 = = = CD AD PA , 4 = BC ，E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且 PC PF 4 1 = ． （1）求证：平面 ⊥ PCD 平面PAD ； （2）求二面角 P AE F − − 的正弦值； （3）设点G 在PB 上，且 ) ( , R PB BG ∈ = λ λ , 若 内 在平面 直线 AEF AG ，试求实数λ 的值。