浙江省温州市2021-2022学年高一上学期期末教学质量统一检测 数学（A卷）(0001)

2021 学年第一学期温州市高一期末教学质量统一检测 数学试题（A 卷） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4 页，满分150 分，考试时间120 分钟． 考生注意： 1.考生答题前，务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的答字笔或钢笔填写在答题卷上． 2.选择题的答案须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡 皮擦净． 3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区城内，答案写在本试题 卷上无效． 选择题部分 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 已知 ， ，则 是（ ） A. R B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A，B，再求两集合的交集 【详解】由 ，得 ，所以 ， 由于 ，所以 ， 所以 ， 故选：B 2. 已知函数 ，则 是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数解析式中自变量的范围，先求 ，再求 即可. 【详解】由题设， ， ∴ . 故选：C. 3. 设 ，则a，b，c 的大小关示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出结果. 【详解】因为 ， ， ， 所以 ． 故选：D． 4. 函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得 ，即得. 【详解】由题可得 ，解得 ， ∴函数 的定义域为 . 故选：A. 5. 已知 ， ，则“ 使得 ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】依据子集的定义进行判断即可解决二者间的逻辑关系. 【详解】若 使得 ，则有 成立； 若 ，则有 使得 成立. 则“ 使得 ”是“ ”的充要条件 故选：C 6. 已知函数 ，若特它的图象向左平移 个单位，再将横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）， 则得到的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换即可得出结果. 【详解】由题意知，将函数 图象向左平移 个单位，得 ， 再将横坐标变为原来的 (纵坐标不变)，得 ， 故选：A 7. 在经济学中，供应和需求是一对矛盾．考虑某种商品的市场，当该商品的价格上升时，商家的供应量会 增加，而消费者的需求量会减小．反之，如果价格降低，则供应量减小，需求量增加．习惯上以纵轴t 表 示商品的价格（单位：元/件），横轴s 表示商品的量（单位：件），则供应量、需求量与价格的关系可以 在同一坐标系中用两条曲线表示，分别称为供应曲线、需求曲线．为刺激经济，政府给消费者发放消费券， 或者给商家提供一定的金额进行补贴．在商品价格不变的情况下，给消费者发放补贴会增加需求量，给商 家发放补贴会增加供应量．如图所示，下列说法正确的是（ ） A. P 是供应曲线，当政府给商家补贴a 元/件时，供应曲线向上平移a 个单位 B. P 是需求曲线，当政府给消费者补贴a 元/件时，需求曲线向上平移a 个单位 C. Q 是供应曲线，当政府给商家补贴a 元/件时，供应曲线向上平移a 个单位 D. Q 是需求曲线，当政府给消费者补贴a 元件时，需求曲线向上平移a 个单位 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出P 为供应曲线.，Q 应为需求曲线，然后根据政府给消费者补贴a 元/件，判断出B、D； 根据政府给商家补贴a 元/件，判断出A、C. 【详解】对于A：当商品的价格上升时，商家的供应量会增加，反之，如果价格下降，则供应量会减小， 表明商品的价格与供应之间呈正比，因此P 为供应曲线.当政府给商家提供一定金额的补贴时，在商品价格 不变的情况下，会增加商品的供应量，因此，当政府给商家补贴a 元时，供应曲线P 应该向下平移a 个单 位，而不是向上平移，向上平移意味着供应的减少，故A 项错误； 对于B：当商品的价格上升时，消费者的需求量会减小，反之，如果价格降低，则需求量会增加，因此商 品的价格与需求之间呈反比，而曲线P 表示商品的价格与商品的量呈正比，因此曲线P 应为供应曲线，而 不是需求曲线，故B 项错误； 对于C：当商品的价格上升时，商家的供应量会增加，反之，如果价格下降，则供应量会减小，因此商品 的价格与供应之间呈正比，而曲线Q 表示商品的价格与商品的量呈反比，因此曲线Q 应为需求曲线，而不 是供应曲线，故C 项错误； 对于D：当商品的价格上升时，消费者的需求量会减小，反之，如果价格降低，则需求量会增加，表明商 的价格与需求之间呈反比，因此曲线Q 应为需求曲线.当政府给消费者发放补贴时，在商品价格不变的情况 下，会增加商品的需求量，因此，当政府给肖费者补贴a 元时，需求曲线会向上平移a 个单位，表示商品 需求量的增加，故D 项正确. 故选：D 8. 已知函数 ，若 在定义域上恒成立，则 的值是（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质可知 在 上 ，在 上 ，结合题设条件，必有 与 的零点相同， 进而求出参数a、b，即可得解. 【详解】由题设， 定义域为 ， 令 ，可得 或 ， ∴ 在 上 ，在 上 ， 若 ， ∴要使 在 定义域上恒成立，则在 上 ，在 上 ， ∴ 或 也是 的零点，则： ，无解； ，可得 ； ，无解； ∴ . 故选：C. 【点睛】关键点点睛：将原函数拆分为 、 ，根据对数函数的性质及题设恒 成立条件，判断拆分后子函数的零点关系. 二、选择题：本题共四小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求的，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9. 下列各式的值为1 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：直接判断出 即可判断； 对于B：计算出 即可判断； 对于C：直接计算出 即可判断； 对于D：利用换底公式直接计算出 即可判断. 【详解】 ， . 对于A：因为 ，所以 .故A 错误； 对于B：因为 ，所以B 错误； 对于C： .故C 正确； 对于D： .故D 正确. 故选：CD 10. 已知实数a，b，c 满足： 且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：利用不等式的乘方直接判断； 对于B：由 即可判断； 对于C：取特殊值 ，否定结论； 对于D：由 即可判断. 【详解】因为实数a，b，c 满足： 且 ，所以a、b、c 同号. 对于A：若 ， ，则 ，所以 ；若 ， ，则 ， 所以 ；故A 正确； 对于B：因为 ，所以 ，所以 成立.故B 正确； 对于C：可取 ，则 ，所以 不成立.故C 错误； 对于D：因为 ，所以 .因为 ，所以 . 故D 错误. 故选：AB 11. 已知函数 ，则（ ） A. 最小正周期为 B. 关于直线 对称 C. 在 上单调递减 D. 最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式、二倍角公式和辅助角公式求出 ，利用正弦函数的 性质依次求出最小正周期、最大值、对称轴和单调减区间即可. 【 详 解 】 ， 所以函数 的最小正周期为 ，最大值为，故AD 错误； 令 ，即对称轴为 ，故B 正确； 令 ，解得 ， ， 当 时，函数 的单调减区间为 ， 又 ，所以 在 上单调递减，故C 正确. 故选：BC. 12. 已知函数 ，则（ ） A. 当 时，函数 有且仅有一个零点 B. 当 时，函数 没有零点 C. 当 时，函数 有两个不同的零点 D. 当 ，函数 有四个不同的零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】函数 的零点，即方程 的根，这是本题的关键入手点. 【详解】由 ， 得 选项A：当 时， 即 . 方程 有唯一根 ，方程 无根. 则函数 有且仅有一个零点. 选项A 判断正确； 选项B：当 时， 即 ， 方程 无根，方程 无根. 则函数 没有零点. 选项B 判断正确； 选项C：当 时， 即 ， 方程 有二相异根，方程 无根. 则函数 有两个不同的零点. 选项C 判断正确； 选项D：当 时， 即 ， 方程 有二相异根， 方程 需分类：当 时有唯一根 （此时方程 有二相异根 、 ）；当 时有二相异根；当 时无根. 则函数 当 时有二个不同零点；当 时有四个不同零点；当 时有两个不同 的零点. 选项D 判断错误. 故选：ABC 【点睛】函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合 函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同 的值，就有几个不同的零点． 非选择题部分 三、填空题：本题共四小题，每小题5 分，共20 分． 13. 函数 且 过定点________． 【答案】 【解析】 【分析】令 ，求得 的值，再代入函数 的解析式可求得定点的坐标. 【详解】令 ，可得 ， . 因此，函数 的图象过定点 . 故答案为： . 14. 已知 ，则 ________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先利用诱导公式对 变形，再以二倍角公式进行代换求值即可解决. 【详解】 故答案为： 15. 若正数a，b 满足 ，则 的最小值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用基本不等式可得： ，将 转化成 ；进而 ，解得 ，检验等号成立即可． 【详解】因为 为正数，所以 成立，所以 因为 ，所以 ， 由 为正数，得 ， 所以 ， 当且仅当 即 等号成立， 即 ，解得 ，所以 的最小值为3. 故答案为：3 16. 写出同时满足以下三个条件的一个函数 ＝________． ① ； ② ； ③ 且 ． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】由题可知函数为奇函数，再结合幂函数的性质即得. 【详解】∵ ， ∴函数 为奇函数，又 ， ∴由幂函数的性质可知，函数可为 ，函数为奇函数， ， 又当 时， 且 ， ，即 ， ∴ . 故答案为： . 【点睛】本题为开放性试题，结合奇函数的概念及幂函数的性质，可得函数可为 ，然后证明即 得. 四、解答题：本题共6 小题．共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设 ，集合 ． （1）若 ，求 ； （2）若 ，求a 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求出集合A、B，再求 ； （2）先求出B，由 对a 进行分类讨论，求出a 的取值范围． 【小问1 详解】 当 时， ， 所以 . 【小问2 详解】 集合 ，所以 . 可化为 . 因为 ， 所以 且 . ①若 ，则 ，显然 ，应舍去； ②若 ，则 ，显然 ，应舍去； ③若 ，则 . 又 ，所以 因为 ，所以 ，解得： . 综上所述：a 的取值范围是 . 18. 如图，函数 的图象最高点M（2，2 ）与最低点N 的 距离 ． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若 ，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由最高点得 ，根据长度关系求解周期得 ，代入特殊点的坐标求解 ，从而 求得函数的解析式； （2）由（1）代入得 ，由角的范围求得 .再运用余弦两角差可求 得答案. 【小问1 详解】 根据题意，由 ，可得 ， 又 ， 所以 ， ∴ ，解得 . 又 ， ，且 ，∴ . 所以 ； 【小问2 详解】 由（1）知，函数 ， 所以 ，得 ， 又 ，所以 ，所以 ， 所以 . 19. 已知函数 且 ． （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）当 时，函数 的值城是[－1，1]．求实数a 的值． 【答案】（1）函数 为奇函数，证明见解析 （2）3 或 【解析】 【分析】（1）以奇函数定义证明函数 为奇函数即可解决； （2）按底数a 分类讨论，依据对数函数的单调性分别去求实数a 的值即可解决. 【小问1 详解】 函数 为 奇函数，证明如下： 由 ，解得 ，则函数 定义域为 故函数 为奇函数 【小问2 详解】 令 由 得， ， ， ，即 当 时， 在 上单调递减，值城是[－1，1] 则 ，解之得 当 时， 在 上单调递增，值城是[－1，1] 则 ，解之得 综上，实数a 的值为3 或 20. 已知函数 ． （1）求不等式 的解集； （2）若存在实数 ，使得不等式 成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】（1）由题可得 ，然后利用函数单调性即得； （2）由题可知 ，利用条件可得 ，通过换元构造函数求最值 即求. 【小问1 详解】 ∵ ，又 为增函数， ∴ 为增函数，又 ， ∴ ， ∴ ， ∴不等式 的解集为 ； 【小问2 详解】 ∵函数 为增函数， 当 时， ，故 ， 由存在实数 ，使得不等式 成立， ∴存在实数 ，使 成立， ， ， ∴ ， 令 ，当 时， ，故 ， 设 ，则函数 在 上单调递增， ， ∴ . 故实数m 的取值范围为 . 21. 如图，自行车前后轮半径均为rcm（忽略轮胎厚度），固定心轴间距 为3rcm，后轮气门芯P 的 起始位置在后轮的最上方，前轮气门芯Q 的起始位置在前轮的最右方．当自行车在水平地面上往前作匀速 直线运动的过程中，前后轮转动的角速度均为 ，经过t（单位：s）后P，Q 两点间距离为f（t）． （1）求f（t）的解析式： （2）求f（t）的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图建立平面直角坐标系，设经过了时间后 ，然后由题意表示出 两 点的坐标，再利用两点间的距离公式表示P，Q 两点间距离为f（t）即可， （2）利用三角函数的性质求解 的最值 【小问1 详解】 因为自行车在前进的过程中，两个轮子之间的距离保持不变，所以只考虑两个轮子的旋转情况，如图，以 为坐标原点，以直线 为 轴，过 点垂直于 的直线为 轴，建立平面直角坐标系，则 ，设经过了时间后 ， 因为当自行车在水平地面上往前作匀速直线运动时，前后轮上的点是顺时针转动，且前后轮旋转的角速度 相等， 所以 ， ， ， ， 所以 ， 所以 【小问2 详解】 由（1）可知 ， 因为当 时， ， 所以 ， 所以 22. 已知 与 均为定义在（－ ）上的 函数， 其中a，b 均为实数． （1）若g（x）存在最小值，求a 的取植范围； （2）设 ，若h（x）恰有三个不同的零点，求a 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将原函数降角升次，通过换元变成二次函数，研究二次函数的对称轴和区间的关系即可完 成求解； （2）根据 、 的奇偶性确定 的奇偶性，然后通过题意条件，进行分类讨论，列式即可求 解出a 的值. 【 小问1 详解】 ， 因为 ，所以，令 ， 则 在区间 上存在最小值， 即对称轴 ，即 ，解得 ， 故a 的取植范围为 ； 【小问2 详解】 ， 因为 ， 都是偶函数， 所以 在 上是偶函数，因为 恰有3 个零点，所以 ，则有： 或 . ①当 时，即 或 时， 因为当 ，令 ， 因为 ，解得 或 ， 所以 恰有3 个零点，即 满足条件； ②当 时，即 或 时，此时 ， 当 时， 只有1 个零点 ，且 ， 所以 恰有3 个零点等价于 恰有2 个零点， 所以 或 ，解得 或 当 时， 解得 或 ， 令 解得 或 （舍去）， 所以 的根为 ，因为 恰有3 个零点，所以 . 综上： . 【点睛】三角函数的单调区间在研究的时候，先观察式子中的项是否齐次，如果其次，一般情况是通过化 简合并成 这种形式，然后通过整体法来求解；如果不齐次，那么需要将式子进行变 形，先换成同元函数，然后再通过换元，一般情况下都是变成二次函数，需要注意的是，在使用换元的时 候一定要标注清楚新元的取值范围.