浙江省温州市2021-2022学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题

2021 学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测 数学试题（A 卷） 选择题部分 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 直线 的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出斜率，然后利用斜率与倾斜角的关系，得到倾斜角. 【详解】 的斜率为-1，设倾斜角为 ，则 ，解得： . 故选：D 2. 已知空间向量 ， ， ，则 （ ） A. 4 B. -4 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量平行求出x,y，进而求得答案. 【 详 解 】 因 为 ， 所 以 存 在 实 数 ， 使 得 ，则 . 故选：A. 3. 抛物线 的焦点到双曲线 的一条渐近线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线方程和双曲线方程分别可知焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距 离公式可得答案. 【详解】抛物线 的焦点为 ， 双曲线 的一条渐近线可设为 ，即 ，焦点 到 的距离为 . 故选：A. 4. 圆 与 的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线 的距离，再结合勾股定理即可完成弦长的求解. 【详解】已知圆 ，圆 ， 两圆方程作差，得到其公共弦的方程为： ： ， 而圆心 到直线 的距离为 ， 圆 的半径为 ，所以 ，所以 . 故选：D. 5. 在等差数列 中， 为 的前n 项和， ， ，则无法判断正负的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列， ， ，可以求出 ，且 ， ， ，从 而判断出 ， ， 的正负，选出正确答案. 【详解】设公差为 ，因为 ， ，可知： ，且 ， ，所以 ，从而 ， 不确定正负， ， 故选：B 6. 四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，且面 面ABEF，M 为线段AF 上的点，当M 从A 向 F 运动时，点B 到平面MEC 的距离（ ） A. 越来越大 B. 越来越小 C. 先增大再减小 D. 先减小再增大 【答案】A 【解析】 【分析】利用等体积法得出 ，设 ，利用余弦定理以 及三角形的面积公式得出随着的增大， 逐渐变小，进而得出点B 到平面MEC 的距离的变 化. 【 详 解 】 设 ， ， 则 ， ， ， ， ， 即 ，设点B 到平面MEC 的距离为 ，则 ，即 ，随着的增大， 逐渐变小， 则点B 到平面MEC 的距离越来越大. 故选：A 7. 如图，某绿色蔬菜种植基地在A 处，要把此处生产的蔬菜沿道路 或 运送到形状为四 边形区域 的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点 沿道路 运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路 运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】设 是界限上的一点，则 ，即 ，再根据双曲线的定义即可得出答案. 【详解】解：设 是界限上的一点， 则 ， 所以 ，即 ， 在 中， ， 所以点 的轨迹为双曲线， 即该界线所在曲线为双曲线. 故选：C. 8. 设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P 是椭圆上一点， ， ，则椭圆的离心率的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的定义和余弦定理可表示出 ，从而可得 ，再利用换元法 将 转化为二次函数的形式，求出二次函数的最小值即可 【详解】设 ，令 ，则 ， ， 所以 ，所以 ， 在 中， ，则由余弦定理得 ， 所以 ， 所以 ， 令 ，由 ，可得 ，则 ， 所以当 ，即 时， 取得最小值 ， 所以的最小值为 故选：A 二、选择题：本题共四小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求的，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9. 已知四面体 ，所有棱长均为2，点 分别为棱 的中点，则下列结论正确的 是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据异面直线的定义可判断A 是错误的，BC 选项为向量的数量积运算，关键是分解到 合适的基向量来处理，D 选项注意 的两种不同的表达式的运用. 【详解】 平面 ， 平面 ，且 ，由异面直线的定义可知， 是异 面直线，故A 选项错误； ，于是 ，B 选项正确； ， ，C 选项错误； ，注意到点 分别为棱 的中点，则 ，两式相 加得 ，D 选项正确. 故选：BD. 10. 函数 的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出函数的导函数 ，根据函数 的图像可知 ，将 用 表示，分析从而可得出答案. 【详解】解： ， 由图可知， ， 则 ，故C 正确； ， ， 两式相减得 ，即 ， ，则 ， 所以 ，则 ，所以 ，故AB 正确； 则 ，故D 错误. 故选：ABC. 11. 小明从家里到学校行走的路程S 与时间t 的函数关系表示如图，记t 时刻的瞬时速度为 ， 区间 ， ， 上的平均速度分别为 ， ， ，则下列判断正确的有（ ） A. B. C. 对于 ，存在 ，使得 D. 整个过程小明行走的速度一直在加快 【答案】ABC 【解析】 【分析】可通过题意，分别表示出 ， ， ，再根据选项A、B 进行比大小，即可确定；选 项C 可根据图像，曲线与直线的交点，即可判断，选项D，可以观察曲线在各点处的切线方程的 斜率，即可判断. 【详解】由题意可知： ， ， ， 有图像可知 且 ，因此 ，而 ，所以 ，因此 ，此时 ，所以A 选项正确； 由 ，可化为 ，故 成立，选项B 正确； 选项C，有图像可知，直线与曲线的交点为 ，故存在 ，使得 ，即 当 时， ，故C 选项正确； 选项D，t 时刻 瞬时速度为 ，判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程 的斜率，有图像可知，当 时，切线方程的斜率最大，故而在此时，平均速度最快，因此， 选项D 不正确； 故选：ABC 12. 集合 ．记 中的最大元素为 ， 中的 元素之和为 ，记集合A 的元素个数为 ，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得 ，从而确定正确答案. 【详解】对于集合 ，元素如下： 的元素 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.03125 0 0 0 1 0 0.0625 0 0 1 0 0 0.125 0 1 0 0 0 0.25 1 0 0 0 0 0.5 0 0 0 1 1 0.09375 0 0 1 0 1 0.15625 0 1 0 0 1 0.28125 1 0 0 0 1 0.53125 0 0 1 1 0 0.1875 0 1 0 1 0 0.3125 1 0 0 1 0 0.5625 0 1 1 0 0 0.375 1 0 1 0 0 0.625 1 1 0 0 0 0.75 0 0 1 1 1 0.21875 0 1 0 1 1 0.34375 1 0 0 1 1 0.59375 0 1 1 0 1 0.40625 1 0 1 0 1 0.65625 1 1 0 0 1 0 78125 0 1 1 1 0 0.4375 1 0 1 1 0 0.6875 1 1 0 1 0 0.8125 1 1 1 0 0 0.875 0 1 1 1 1 0.46875 1 0 1 1 1 0.71875 1 1 0 1 1 0.84375 1 1 1 0 1 0.90625 1 1 1 1 0 0.9375 1 1 1 1 1 0.96875 所以 ， ， ，所以A 错误，BC 正确. 对于集合 ，元素如下： 的元素 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0.5 0 1 0 0 0 0 0.25 0 0 1 0 0 0 0.125 0 0 0 1 0 0 0.0625 0 0 0 0 1 0 0.03125 0 0 0 0 0 1 0.015625 1 1 0 0 0 0 0.75 1 0 1 0 0 0 0.625 1 0 0 1 0 0 0.5625 1 0 0 0 1 0 0.53125 1 0 0 0 0 1 0.515625 0 1 1 0 0 0 0.375 0 1 0 1 0 0 0.3125 0 1 0 0 1 0 0.28125 0 1 0 0 0 1 0.265625 0 0 1 1 0 0 0.1875 0 0 1 0 1 0 0.15625 0 0 1 0 0 1 0.140625 0 0 0 1 1 0 0.09375 0 0 0 1 0 1 0.078125 0 0 0 0 1 1 0.046875 1 1 1 0 0 0 0.875 1 1 0 1 0 0 0.8125 1 1 0 0 1 0 0.78125 1 1 0 0 0 1 0.765625 1 0 1 1 0 0 0.6875 1 0 1 0 1 0 0.65625 1 0 1 0 0 1 0.640625 1 0 0 1 1 0 0.59375 1 0 0 1 0 1 0.578125 1 0 0 0 1 1 0.546875 0 1 1 1 0 0 0.4375 0 1 1 0 1 0 0.40625 0 1 1 0 0 1 0.390625 0 1 0 1 1 0 0.34375 0 1 0 1 0 1 0.328125 0 1 0 0 1 1 0.296875 0 0 1 1 1 0 0.21875 0 0 1 1 0 1 0.203125 0 0 1 0 1 1 0.171875 0 0 0 1 1 1 0.109375 0 0 1 1 1 1 0.234375 0 1 0 1 1 1 0.359375 0 1 1 0 1 1 0.421875 0 1 1 1 0 1 0.453125 0 1 1 1 1 0 0.46875 1 0 0 1 1 1 0.609375 1 0 1 0 1 1 0.671875 1 0 1 1 0 1 0.703125 1 0 1 1 1 0 0.71875 1 1 0 0 1 1 0.796875 1 1 0 1 0 1 0.828125 1 1 0 1 1 0 0.84375 1 1 1 0 0 1 0.890625 1 1 1 0 1 0 0.90625 1 1 1 1 0 0 0.9375 0 1 1 1 1 1 0.484375 1 0 1 1 1 1 0.734375 1 1 0 1 1 1 0.859375 1 1 1 0 1 1 0.921875 1 1 1 1 0 1 0.953125 1 1 1 1 1 0 0.96875 1 1 1 1 1 1 0.984375 所以 ，D 选项正确. 故选：BCD 非选择题部分 三、填空题：本题共四小题，每小题5 分，共20 分． 13. 已知直线 与直线 平行，则实数 ______． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论 ， 两种情况，结合直线平行的知识得出实数 . 【详解】当 时，直线 与直线 垂直； 当 时， ，则 且 ，解得 . 故答案为： 14. 写出一个具有下列性质①②的数列 的通项公式 ______，① ；② 单调递增． 【答案】n.（答案不唯一） 【解析】 【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质①得到首项与公差的关系，然后根据性质 ②得到答案. 【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d ，由性质①可得： ，再根据②可知，显然 满足题 意. 故答案为：n.（答案不唯一） 15. 如图，一个小球从10m 高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的 ，若已知小球经过 的路程为 ，则小球落地的次数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】设小球从第（n-1）次落地到第n 次落地时经过的路程为 m，则由已知可得数列 是从第2 项开始以首项为 ，公比为 的等比数列，根据等比数列的通项公式求得 ，再设 设小球第n 次落地时，经过的路程为 ，由等比数列的求和公式建立方程求解即可. 【详解】解：设小球从第（n-1 ）次落地到第n 次落地时经过的路程为 m ，则 当 时，得出递推关系 ， 所以数列 是从第2 项开始以首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，且 ， 设小球第n 次落地时，经过的路程为 ，所以 ， 所以 ，解得 ， 故答案为：4. 16. 对任意 ，若不等式 恒成立，则实数a 的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】可对原不等式进行变形，两边同除 ，提取同类项，即可化成有相同变量的函数关系， 然后换元构造函数，通过求解函数的最小值，来确定实数a 的取值范围，从而求解出答案. 【详解】原不等式 ， ，可化为 ， 即 ， 设 ，其中 ，则 ， 所以 上单调递减，在 上单调递增，所以 ， 所以设 ， ① 时， ， 在 上单调递增， 所以 的最小值为 ，符合题意； ② ， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的最小值为 ，而 ，所以 ，与条件矛盾，故不 成立； 所以实数a 的最大值为e. 故答案为：e. 【点睛】如果在条件给的式子中出现了 和 或 和 这些项，我们可以将 变 成 ，然后利用对数的运算进行组合，通过换元，即可消掉 ，变换成只包含一个变量的函 数关系，使得题目变得简单. 四、解答题：本题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知圆C 与y 轴相切于点 ，且被x 轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2． （1）求圆C 的方程； （2）已知点 ，是否存在弦 被点P 平分？若存在，求直线 的方程；若不存在，请 说明理由． 【答案】（1） . （2） . 【解析】 【分析】（1）由已知得圆心C 在直线 上，设圆C 与x 轴的交点分别为E、F，则有 ， ，圆心C 的坐标为(2,1)，由此求得圆C 的标准方程； （2）假设存在弦 被点P 平分，有 ，由此求得直线AB 的斜率可得其方程再检验， 直线AB 与圆C 是否相交即可. 【小问1 详解】 解：因为圆C 与y 轴相切于点 ，所以圆心C 在直线 上， 设圆C 与x 轴 交点分别为E、F，由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得 ， 所以 ，圆心C 的坐标为(2,1)， 所以圆C 的方程为 ； 【小问2 详解】 解：因为点 ，有 ，所以点P 在圆C 的内部， 假设存在弦 被点P 平分，则 ，又 ，所以 ，所以直线AB 的 方程为 ，即 ， 检验，圆心C 到直线AB 的距离为 ，所以直线AB 与圆C 相交， 所以存在弦 被点P 平分，此时直线 的方程为 . 18. 如图，三棱锥 中， 为等边三角形，且面 面 ， ． （1）求证： ； （2）当 与平面BCD 所成角为45°时，求二面角 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，则 ，由面面垂直的性质可得 面 ，从而可得 ，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）取 的中点 ，连接 ，易得 两两垂直，由 面 ，可得 即为 与平面BCD 所成角的平面角，从而可得 ，以点 为原点，建立空间 直角坐标系，利用向量法即可得出答案. 【小问1 详解】 证明：取 中点 ，连接 ， 因为 为等边三角形，所以 ， 又因为面 面 ，面 面 ， 面 ， 所以 面 ， 又 面 ，所以 ， 因为 ， ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ； 【小问2 详解】 取 的中点 ，连接 ，则 ， 因为 ，所以 ， 又 面 ， 则 即为 与平面BCD 所成角的平面角， 所以 ，所以 ， 又 面 ，所以 ， 如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系， 设 ，则 ，所以 ， 则 ， 则 ， 设平面 的法向量 ， 则 ，可取 ， 设平面 的法向量 ， 同理可取 ， 则 ， 所以二面角 的余弦值为 . 19. 一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1 分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量 和水温与室温之差成正比． （1）求 分钟后的水温 ； （2）当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后 哪个时间段饮用最佳．（参考数据： ） 【答案】（1） ， （2）在水烧开后4 到7 分钟之间饮用最佳 【解析】 【分析】（1）根据题意先确定比例系数，再列出 分钟后的水温 和 之间的递推 关系式，构造等比数列，可求得 . （2）解关于n 的不等式，利用所给 ，通过对数运算，可求得答案. 【小问1 详解】 由每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比，可设比例系数为k， 则 ，故 ， 设一分钟后的水温为 ，则 ， 设 分钟后的水温为 ，则 ， ， 即 ，所以 ， 则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， 所以 ， 即 ，显然 也适合该式， 故 ， . 【小问2 详解】 由题意可令： ， 即 ， 两边取常用对数，则有 ， 即 ， 因为 ，故解得 ， 即在水烧开后4 到7 分钟之间饮用最佳. 20. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ． （1）求椭圆的方程； （2）直线 与椭圆交于B，C 两点，若 面积为 ，求m． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得 ，求出 即可得解； （2）设 ，联立 ，消 ，利用韦达定理求得 ， 再利用弦长公式求得 ，求出点 到直线 的距离 ，再根据 ，即可得出答案. 【小问1 详解】 解：根据题意可知： ，解得 ， 所以椭圆的方程为 ； 【小问2 详解】 解：设 ， 联立 ，消 整理得 ， 则 ，解得 ， ， 则 ， 点 到直线 的距离 ， 则 ，解得 ， 所以若 面积为 ， . 21. 如图，曲线 在点 处的切线交x 轴于点 ，过 作斜率为 的直线交曲 线于点 ；曲线在点 处的切线交x 轴于点 ，过 作斜率为 的直线交曲线于点 ，…依 次重复上述过程得到一系列点： ， ； ， ；…； ， ，…；记点 ． （1）求 ； （2）求 与 的关系式； （3）求证： ． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1 ）利用导数得出直线 的方程，求出 坐标，联