湖南师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题（原卷版）

湖南师大附中2021-2022 学年度高一第二学期期中考试 数 学 （考试范围：必修二第六、七、九、十章、第八章1~3 节及必修一函数） 时量：120 分钟 满分：150 分 一、选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1. 复数 的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量 ， ， ，则 与 的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，下列结 论中正确的是（ ）． A. A 与B 互为对立事件 B. A 与B 互斥 C. A 与B 相等 D. 4. 如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB，AC 于不同的两点M，N．设 ， ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 5. 已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，设 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲、 乙两赌徒约定先赢满 局者，可获得全部赌金 法郎，当甲赢了 局，乙赢了 局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分 配比较合理的是（ ） A. 甲 法郎，乙 法郎 B. 甲 法郎，乙 法郎 C. 甲 法郎，乙 法郎 D. 甲 法郎，乙 法郎 7. 某班有n 位同学，统计一次数学测验的平均分与方差．在第一次计算时漏过了一位同学的成绩，算得 位同学的平均分和方差分别为 、 ，所以只好再算第二次，算得n 位同学的平均分和方差分别为 、 ，若已知该漏过了的同学的得分恰好为 ，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，直三棱柱 的底面为直角三角形， ， ， ，P 是 上一动点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9. 下列关于复数的命题是真命题的是（ ） A. B. 若 ，则 C. 若 ，则z 是纯虚数 D. 对任意实数 ，都有 是虚数 10. 某企业2021 年12 个月的收入与支出数据的折线图如图所示． 已知：利润 收入 支出，根据该折线图，下列说法正确的是( ) A. 该企业2021 年第一季度的利润约是105 万元 B. 该企业2021 年第一季度的利润低于第二季度的利润 C. 该企业2021 年4 月至7 月的月利润持续增长 D. 该企业2021 年11 月份的月利润最大 11. 如图所示，已知正方体 的棱长为2， ， 分别是 ， 的中点， 是线段 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点P 与A，B 两点不重合时，平面 截正方体所得的截面是五边形 B. 平面 截正方体所得的截面可能是三角形 C. 一定是锐角三角形 D. 面积的最大值是 12. 已知向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 B. C. ，有 D. 若 ， ，则 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中随机抽测了60 根棉花的纤维长度（单位： mm），按从小到大排序结果如下： 25 28 33 50 52 58 59 60 61 62 82 86 113 115 140 143 146 170 175 195 202 206 233 236 238 255 260 263 264 265 293 293 294 296 301 302 303 305 305 306 321 323 325 326 328 340 343 346 348 350 352 355 357 357 358 360 370 380 383 385 由此，你估计这批棉花的 第95 百分位数为________． 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为 ，第二次出现的点数记为 ，则 的概 率为________． 15. 在 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 ，且 ， 若BC 边上的中线长 ，则 的面积为________． 16. 在棱长为 的正方体空盒内，有四个半径为 的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶 点的三个面相切，另有一个半径为 的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切， 无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大值为________；大球体积的最小值为________． 四、解答题（本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在 中，向量 ，向量 ，且满足 ． （1）证明 ，并求角 的大小； （2）求 的 取值范围． 19. 如图，在直三棱柱 中，底面 是正三角形， ， 边上的中点为 D． （1）求四棱锥 的体积； （2）求三棱柱 截去三棱锥 后所得几何体的表面积． 21. 从某种产品中抽取100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95， 105) [105，115) [115，125] 频数 6 26 38 22 8 （1）根据上表补全所示的频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标值的 平均数、方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)及中位数(保 留一位小数)； （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要 占全部产品的80%”的规定？ 23. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题 的方式，从题库中随机出 道题，编号为 ， ， ，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下： ①选手每答对一道题目得 分，每答错一道题目扣 分； ②选手若答对第 题，则继续作答第 题；选手若答错第 题，则失去第 题的答题机会，从第 题开始继续答题；直到 道题目出完，挑战结束； ③选手初始分为 分，若挑战结束后，累计得分不低于 分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即 将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为 ，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃 任何一次作答机会，求： （1）挑战结束时，选手甲共答对 道题的概率 ； （2）挑战结束时，选手甲恰好作答了 道题的概率 ； （3）选手甲闯关成功的概率 ． 24. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形 ， 已知 ， ， 是以 为直角顶点的直角三角形．拟修建两条小路 、 （路的宽度忽略不计），沿路径 从 处到 处比沿路径 和 从 处到 处近 米. （1）若 ，求 的值和 的长度； （2）设 与 交于点 ，若 ，现公园管理方为了建一个更大的圆形花坛，应该选择 的内切圆还是 的内切圆？ 26. 已知函数 ． （1）当 时，写出 的单调区间（不需要说明理由）； （2）当 时，解不等式 ； （3）若存在 ， ，使得 ，求实数 的取值范围．