河南省创新发展联盟2021-2022学年高一下学期第三次联考试题 数学 Word版含答案

2021~2022 年度下学年创新发展联盟高一年级联考（三） 数 学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知复数 ，则 （ ） A．8－i B．8＋i C．－4－i D．－4＋i 2．下列几何体中，棱数最少的是（ ） A．三棱柱 B．四棱台 C．四棱锥 D．五棱锥 3．在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c．若a＝2b，则 （ ） A． B． C．2 D． 4 已知复数 ，则z 的实部是（ ） A．－3 B．－2 C．1 D．2 5．如图，直角 是水平放置的一个平面图形的直观图， ， ，则原图 形的面积是（ ） A．8 B． C．16 D． 6．已知复数3＋2i 是方程 的一个根，则实数a＝（ ） A．－5 B．5 C．－6 D．6 7．在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c．根据下列条件解三角形，其中有两解 的是（ ） A．a＝6，b＝5，B＝45° B．c＝6，A＝60°，B＝45° C．a＝6，b＝7，B＝30° D．a＝6，b＝7，C＝60° 8．如图，在直三棱柱 中， ， ，D，E 分别是棱 ， 上的动点，则 的最小值是（ ） A． B．5 C．7 D． 9．已知向量 ， ，若向量 ， 的夹角是锐角，则m 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c．若 ，则△ABC 的形状 一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 11．若圆锥的高的平方等于其底面圆的半径与母线长的乘积，则称此圆锥为“黄金圆锥”．现 有一个侧面积为 的黄金圆锥，则该黄金圆锥的体积是（ ） A． B． C． D． 12．已知△ABC 的面积为16，D，E 分别是线段AC，BD 上的点（不包含端点），且 ， ，若△ABE 的面积是2，则x＋2y 的最小值是（ ） A．4 B． C．6 D．8 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．一艘轮船向正东方向航行，在A 处看，灯塔B 在船的北偏东60°方向上，航行30 千米后到 达C 处，在C 处看，灯塔B 在船的北偏西75°方向上，则此时船与灯塔B 之间的距离是______千 米． 14．已知向量 ， ，若 ，且 ，则mn＝______． 15．若复数z 满足 ，则 的最大值为______． 16．如图，在正方体 中，E 为棱BC 的中点，F 为棱 上的一点（不包含端点），且 ，过点A，E，F 作该正方体的截面．若所得截面是 五边形，则 的取值范围是______． 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 已知复数 ． （1）若z 是纯虚数，求m 的值； （2）若z 在复平面内对应的点在第二象限内，求m 的取值范围． 18．（12 分） 帐篷是撑在地上遮蔽风雨、日光，并供临时居住的棚子，多用帆布做成，连同支撑用的东西， 可随时拆下转移，如图1 所示．一个普通的帐篷可视为一个长方体与一个直三棱柱的组合，如图 2 所示，已知 米， 米， 米，且∠AFB＝120°． （1）求该帐篷的表面积（不包含地面部分）； （2）求该帐篷的体积． 19．（12 分） 已知复数 （a， ，且b≠0）． （1）若a＝2，b＝1，求 的值． （2）若 是实数，求 ． 20．（12 分） 如图，△ABC 是某小区的一个休闲区，应小区业主的要求，该小区物业公司计划将该休闲区修建 成如图所示的平面四边形ABCD．已知 ，BC＝4，∠ADC＝60°， （1）若BC＝CD，求△ACD 的面积； （2）求 的最大值． 21．（12 分） 在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，AC 上，且 ， ， ，P 是CD，EF 的交点．设 ， ． （1）用 ， 表示 ， ； （2）求 的值． 22．（12 分） 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ．已知 ，且 ． （1）求角C 的大小； （2 ）若对任意的 ， 恒成立，且函数 有最小值 ，求m 的值． 2021~2022 年度下学年创新发展联盟高一年级联考（三） 数学参考答案 1．B 由题意可得 ，则 ． 2．C 四棱台有12 条棱，四棱锥有8 条棱，三棱柱有9 条棱，五棱锥有10 条棱，则棱数最少的 是四棱锥． 3．A 由正弦定理可得 ． 4．B 由题意可得 ，则z 的实部是－ 2． 5．B 由题意可得直角 的面积为 ，则原图形的面积为 ． 6．C 由题意可得 ，即 ，解得a＝－6． 7．A 对于A，因为 ，所以 ，则角A 有两解：对于B，因为A＝ 60°，B＝45°，所以C＝75°，所以只有一解；对于C，因为 ，且 ， 所以角A 只有一解；对于D， ，所以只有一解． 8 ．D 如图，将三棱柱 的侧面展开，当A ，D ，E ， 四点共线时， 取得最小值，且最小值为 ． 9．C 因为 ， ，所以 ，因为向量 ， 的夹角是锐角，所以 ， 解得 ，且 ． 10．A 因为 ，所以 ，所以 ，所 以 ， 整 理 得 ．因为 ， ，所以 ， 所以 ，则 ，即 ，故 是等腰三角形． 11．D 设该黄金圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，高为h，则该黄金圆锥的侧面积是 ，故 ．由黄金圆锥的定义可得 ，则 ．由圆锥的性质可 得 ，则 ，解得 ，故该黄金圆锥的体积是 ． 12．D 因为 ，所以 ，则 ，故 ．因 为 ，所以 ，则 ，故 ，因为△ABE 的 面积是2，所以 ，所以 ．由题意可知 ， ，所以 ， 当且仅当 时，等号成立． 13 ． 由题意可知AC ＝30 千米，∠BAC ＝30° ，∠ABC ＝135° ．由正弦定理可得 ，则 千米． 14 ． 2 因 为 ， 所 以 n ＝ 2m ． 因 为 ， 所 以 ，则 ．当m＝1 时，n＝2， 则mn＝2；当m＝－1 时，n＝－2，则mn＝2．综上，mn＝2． 15．8 设 （x， ），由题意可得 ，即点 在圆心为 ，半径r 为3 的圆上运动，而 表示的是点 到原点 的距离， 则 的最大值为 ． 16． 当 时，如图1，截面为平行四边形AEGF；当 时，如图2，截面为五 边形AEGHF，故 的取值范围是 ． 17．解：由题意可得 ， 则z 的实部为 ，虚部为 ． （1）因为z 是纯虚数，所以 ，解得m＝－4． （2）由题意可得 ，解得 ． 18．解：在△ABF 中，由余弦定理可得 ， 则 （米）． （1）直三棱柱部分的表面积 （平方米）． 长方体中盖了帆布的面积 （平方米）． 故该帐篷的表面积 （平方米）． （2）直三棱柱部分的体积 （立方 米）， 长方体部分的体积 （立方米）． 故该帐篷的体积 （立方米）． 19．解：（1）因为a＝2，b＝1，所以z＝2＋i， 则 ， 故 ． （2）因为 ，所以 因为 是实数，所以 ，即 ． 因为 ，所以 ，所以 ， 则 ． 20．解：（1）在△ACD 中，由余弦定理可得 ， 即 ，即 ， 解得AD＝6 或AD＝－2（舍去）． 故△ACD 的面积为 ． （2）在△ACD 中，由余弦定理可得 ， 即 ． 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立． 21．解：（1）因为 ，所以 ， 则 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 则 ． （2）因为E，P，F 三点共线，所以 ． 因为C，P，D 三点共线，所以 ． 则 解得 ． 故 ． 22．解：（1）因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 或 ． 因为 ，所以 ，所以 ． （2 ）因为对任意的 ， 恒成立，所以 ， 即 ，解得 ，所以 ． 由（1）可知 ，则 ． 设 ，则 ， ， 因为 ，所以 ，所以 ． 设函数 ，则其图象的对称轴方程为 ． ①当 ，即 时， 在 上单调递增， 则 ，不符合题意； ②当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递 增， 则 ，解得 （ 舍去），符合题意； ③当 ，即 时， 在 上单调递减， 则 ，解得 ，不符合题意。 综上， ．