山东省东营市2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高二数学 2022.7 一､单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知数列 ，则 是这个数列的（ ） A. 第1011 项 B. 第1012 项 C. 第1013 项 D. 第1014 项 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得数列的通项，再令 ，解之即可得解. 【详解】解：由数列 ， 可得 ， 令 ，解得 ， 所以 是这个数列的第1012 项. 故选：B. 2. 一学习小组10 名学生的某次数学测试成绩的名次由小到大分别是2，4，5，x，10，14，15，39，41， 50，已知该小组数学测试成绩名次的40%分位数是8.5，则x 的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分数位的定义进行计算即可. 【详解】依题意 是整数，那么40%分位数8.5 就是第 ，第 位数的平均值，根据选项可知， ，于是 ，解得 . 故选：B. 3. 如图，直线l 和圆C，当l 从l0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时， 它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像 即可. 【详解】观察可知面积S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”， 对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D 符合要求. 故选D. 【点睛】本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和 计算求解能力. 4. 已知正项等比数列 中，公比 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件列方程求出 ，从而可求出 【详解】因为 ， 所以 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 故选：A 5. 在一次劳动实践课上，甲组同学准备将一根直径为 的圆木锯成截面为矩形的梁. 如图，已知矩形的宽为 ，高为 ，且梁的抗弯强度 ，则当梁的抗弯强度 最大时，矩形的宽 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易得 再求导分析 的单调性与取最大值时 的值即可 【详解】由题意， ，故 ，故当 时， ，当 时， ，故当 时 取最大值. 故选：D 6. 数列 满足 ，则 （ ） A. 2022 B. 2020 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐项计算，确定 的周期，再求和即可 【详解】由题意， ， ， ， ， 故 的周期为4.又 ， 故 故选：C 7. 为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构随机调查了100 人，得到如下数据： 幸福感强 幸福感弱 阅读量多 40 20 阅读量少 15 25 则下列说法正确的是（ ） 参考数据： A. 在犯错误的概率不超过 的前提下，可以认为阅读量多少与幸福感强弱有关 B. 有 的把握认为阅读量多少与幸福感强弱有关 C. 若一个人阅读量多，则有 的把握认为此人的幸福感强 D. 在阅读量多的人中随机抽取一人，此人是幸福感强的人的概率约为 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立性检验公式求得 ，结合表格即可判断ABC；根据频率与频数的关系，可求解判断D 【详解】 ， 对ABC， ， 在犯错误的概率不超过 的前提下，可以认为阅读量多少与 幸福感强弱有关，故A 对，BC 错； 对D，在阅读量多的人中随机抽取一人，此人是幸福感强的人的概率 ，故D 错， 故选：A 8. 设 ，随机变量的分布列为： 0 1 则当 在 上增大时（ ） A. 单调递增，最大值为 B. 先增后减，最大值为 C. 单调递减，最小值为 D. 先减后增，最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差公式，结合二次函数性质可得. 【详解】由题知 ，解得 ， 所以 所以 由二次函数性质可知， 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以当 时， 有最小值 . 故选：D 二､多项选择题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分；有选错的得0 分. 9. 设 为实数，直线 能作为曲线 的切线，则曲线 的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知， 有解，然后逐个分析求解即可 【详解】因为直线 能作为曲线 的切线， 所以 有解， 对于A，由 ，得 ，由 ，得 ，解得 ， 所以直线 能作为曲线 的切线，所以A 正确， 对于B，由 ，得 ，由 ，得 ， 化简得 ，因为 ，所以方程无解，所以直线 不能作为曲线 的切线，所以B 错误， 对于C，由 ，得 ，由 ，得 ，解得 ，所以直线 能 作为曲线 的切线，所以C 正确， 对于D，由 ，得 ，由 ，得 ，解得 ，所以直线 能作 为曲线 的切线，所以D 正确， 故选：ACD 10. 某电视台举办才艺比赛，比赛现场有9 名评委评分，场外观众采用网络评分，比赛评分采取10 分制， 某选手比赛后，现场9 名评委原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到7 个有效评分如表所示，对 观众网络评分按 分成三组，其频率分布直方图如图所示： 现场评委 A B C D E F G 有效评分 则下列说法正确的是（ ） A. 现场评委的7 个有效评分与9 个原始评分的中位数相同 B. 由图可估计网络评分的众数为8 C. 在去掉最高分和最低分之前9 名评委原始评分的极差一定不小于 D. 场外观众网络评分的均值大于现场评委有效评分的均值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图结合评分表计算中位数、众数、极差、均值即可判断. 【详解】解：去掉9 个原始评分中的一个最高分和一个最低分，不会改变该组数据的中位数，A 正确； 由图估计网络评分的众数9.5，B 错误； 7 个有效评分极差为 ，在去掉最高分和最低分之前，9 名教师原始评分的极差大于0.7，C 正 确； 现场评分均值为 ， 网络评分均值为 ，D 错误； 故选：AC． 11. 甲､乙､丙､丁､戊共5 位志愿者被安排到A，B，C，D 四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安 排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ） A. 不同的安排方法共有210 种 B. 甲志愿者被安排到A 学校的概率是 C. 若A 学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120 种 D. 在甲志愿者被安排到A 学校支教的前提下，A 学校有两名志愿者的概率是 【答案】AD 【解析】 【分析】先将5 人分成4 组，然后排入4 所学校即可判断A； 分甲学校只有一个人和甲学校只有2 个人，两种情况讨论，求出甲志愿者被安排到A 学校的排法，再根据 古典概型即可判断B； 先将A 学校的两名志愿者排好，再将剩下的3 名志愿者海路其他3 所学校即可判断C； 求出甲志愿者被安排到A 学校的排法，然后再求出在甲志愿者被安排到A 学校支教的前提下，A 学校有两 名志愿者的排法，从而可判断D. 【详解】解：甲､乙､丙､丁､戊共5 位志愿者被安排到A，B，C，D 四所山区学校参加支教活动， 则共有 种安排方法，故A 错误； 甲志愿者被安排到A 学校， 若甲学校只有一个人，则有 种安排方法， 若甲学校只有2 个人，则有 种安排方法， 所以甲志愿者被安排到A 学校有 种安排方法， 所以甲志愿者被安排到A 学校的概率是 ，故B 正确； 若A 学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有 种，故C 错误； 甲志愿者被安排到A 学校有 种安排方法， 在甲志愿者被安排到A 学校支教的前提下，A 学校有两名志愿者的安排方法有24 种， 所以在甲志愿者被安排到A 学校支教的前提下，A 学校有两名志愿者的概率是 ，故D 正确. 故选：AD. 12. 如图， 是一块半径为1 的圆形纸板，在 的左下端前去一个半径为 的半圆后得到图形 ，然后依 次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形 ， ，记纸板 的周长为 ，面积为 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆， 再分别写出 和 的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可 【详解】根据题意可得纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，故 ，即 ，故 ， ， ， … ，累加可得 ，所以 ，故A 正确，C 错误； 又 ，故 ，即 ，故D 正确； 又 ， ， … ，累加可得 ，故 正确，故B 正确； 故选：ABD 三､填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 已知数列 满足 ,则 ___________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据递推公式直接求解可得. 【详解】由题知 ， . 故答案为：9 14. 的展开式中 的系数为___________.（用数字作答） 【答案】15 【解析】 【分析】结合二项式展开项通项公式 ，即可求出对应的展开项以及系数 【详解】由二项式展开项通项公式可得， ， ，故所求 系数为15， 故答案为：15 15. 对一个物理量做 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果，已知测量结果 服从正 态分布 ，为使测量结果 在 的概率不小于 ，则至少测量__________ _次.（参考数据：若 ，则 . 【答案】32 【解析】 【分析】因为 ，得到 ， ，要使误差 在 的概率不小于0.9545， 则 ，得到不等式计算即可. 【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差 在 的概率不小于0.9545， 则 且 ， ， 所以 ，解得 ，所以至少要测量32 次. 故答案为：32 16. 设函数 是 的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数 的图像都有对称中心 ，其中 满足 . 已知三次函数 ，若 ，则 ___________；若 ， 分别满足 方程 ，则 ___________. 【答案】 ①. . ②2 【解析】 【分析】由题，求出 ，通过 可求得对称中心 ，由 可知 和 关于 对称，即可求 的值； 构造 ，同理求出对称中心 ，通过讨论 的单调性说明 是一一对应 的函数，即可由 ，得出 和 关于 对称，即可求 的 值. 【详解】由题， ， ，由 可得 ， 的图像的对称中 心为 ，即 ， ，所以 和 关于 对称，故 ； 令 ，同理可求 的对称中心， ， ，由 可得，对称中心为 ，即 ， ，故 ， 由 ，故 单调递增，即 是一一对应的函数，故 和 关于 对称，故 ， 故答案为： ；2 四､解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知数列 满足 ，设 . （1）证明：数列 为等比数列； （2）设数列 ，记数列 的前 项和为 ，请比较 与1 的大小. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由 ，可得 ，再根据等比数列的定义可证得结论， （2）由（1）可得 ，从而可得 ，则 ，然后利用裂项相消法 可求出 ，从而可与1 比较大小 【小问1 详解】 证明：因为 ，所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以数列 是以1 为首项， 为公比的等比数列 【小问2 详解】 由（1）可得 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 18. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线的斜率为4. （1）求切线的方程； （2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的 几何意义先求解 的值，然后得到切点坐标，即可得到切线的方程； （2）化简不等式，分离常数 ，即 ，构造函数 ，利用导数求解函数 的最大值即可. 【小问1 详解】 解：函数 的定义域为 ， ， 由题意知， ，所以 ， 故 ，所以 ，切点坐标为 故切线的方程为 ． 【小问2 详解】 解：由（1）知， ， 所以 ，可化为： ， 即 在 上恒成立， 令 ，则 ， 当 时， ， 在 上单调递增， 当 时， ， 在 上单调递减， 所以当 时，函数 取得最大值 ， 故当 时， 在 上恒成立， 所以实数 的取值范围是 . 19. 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地. 为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶饮，按事先拟定的价格进行试销，得到销售数据 ，如下表所示： 试销单价 （元） 20 25 3 0 35 40 45 销量 （壶） 88 8 6 76 73 68 参考数据： . （1）已知变量 具有线性相关关系，求销量 （壶）关于试销单价 （元）的线性回归方程 和 的值； （2）用 表示根据线性回归方程得到的与 对应的销量的估计值，当销售数据 中 与估计值 满 足 时，则称该销售数据 为一组“理想数据”.现从6 组销售数据中任取2 组，求抽取的2 组 销售数据中至少有1 组是“理想数据”的概率. 附：回归直线方程 的斜率 ，截距 . 【答案】（1） ； ； （2） 【解析】 【 分析】（1）根据题干中所给数据，分别计算 ，根据 解得 ，然后求解斜率和截距即可得到回归直 线方程； （2）根据题意计算出满足“理想数据” 的 情况，利用古典概型的概率公式计算即可. 【小问1 详解】 解：由题意得， ， 由 ，可求得 ， 所以 ， ， 故所求的线性回归方程为 ． 【小问2 详解】 解：当 时， 当 时， 当 时， 当 时， 当 时， 当 时， ． 与销售数据对比可知满足 的共有4 组： 、 、 、 ． 从6 组销售数据中任意抽取2 组的所有可能结果有 种， 其中2 组数据中至少有一组是“理想数据”的结果有 种， 所以抽取的2 组销售数据中至少有1 组是“理想数据”的概率为 ． 20. 设 为数列 的前 项和，已知 ，且满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）若等差数列 的前 项和等于 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2）当n 为 奇数时， ；当n 为偶数时， . 【解析】 【分析】（1）利用 的关系先求得递推公式，然后由累乘法可得； （2）根据已知列方程可得 的通项公式，然后分n 为奇数和偶数对 的前n 项和. 【小问1 详解】 因为 …① 所以当 时， …② - ①②可得： ，整理可得 则 所以 ，所以当 时 易知 时上式也成立，所以数列 的通项公式为 【小问2 详解】 记等差数列 的公差为d， 由题可得 ，即 所以 ，解得 ，所以 所以 所以 当n 为奇数时， ； 当n 为偶数时， . 21. 为了促进消费，某超市开展购物抽奖送积分活动，顾客单次购物消费每满100 元，即可获得一次抽奖的 机会，假定每次中奖的概率均为 ，不中奖的概率均为 ，且各次抽奖相互独立.活动规定：第1 次抽奖时， 若中奖则得10 分，不中奖得5 分；第2 次抽奖时，需要从以下两个方案中任选一个：方案一：若中奖则得 30 分，不中奖得0 分；方案二：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5 分.当抽奖次数大于两次时， 执行第2 次抽奖所选的方案，直到抽奖结束. （1）甲顾客单次消费了200 元，获得了两次抽奖机会. ①若甲顾客在第二次抽奖时选择了方案二，求甲顾客第一次未中奖且第二次中奖的概率并求此时的得分； ②若以甲顾客两次抽奖累计得分的期望为决策依据，甲顾客应该选择哪一个方案？请说明理由； （2）乙顾客单次消费了1100 元，获得了11 次抽奖机会，记乙顾客11 次抽奖共中奖k 次的概率 为 ，求 的最大值点 【答案】（1）①甲顾客第一次未中奖且第二次中奖的概率为 ，此时得分为 ；②选择方案一，理由见 解析 （2） 或 【解析】 【分析】（1）分别求得两个方案的累计积分的期望值即可进行选择； （2）易得中奖情况满足二项分布，根据二项展开式的通项的最大值大于等于前后两项列不等式求解即可 【小问1 详解】 ①由题意，甲顾客第一次未中奖且第二次中奖的概率为 ，此时得分为 ； ②若甲第2 次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为 ，则 的可能取值为40，35，10，5． ， ， ， ， 所以 ． 若甲第2 次抽奖选方案②，两次抽奖累计积分为 ，则 的可能取值为30，15，10， 则 ， ， ， ， 因为 ，所以应选择方案①． 【小问2 详解】 由题意， ，可得最大值点 满足 ，即 ，化简可得 ，解得 ，故 或 22. 已知函数 ，且点 在函数 的图像上，记 ， 其中 是自然对数的底数， ， （1）求实数 的值并求函数 的极值； （2）当 时，证明：函数 有两个零点 ，且 . 【答案】（1） ；当 时，函数 的极小值为 ；当 时，函数 的极小 值为 ，函数 没有极大值. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意代入 即可解得 ，分类讨论 的取值范围，利用导数求解函数 的单调性，进而求得极值； （2）根据函数 的单调性结合零点存在定理可判断函数 在 内有一个零点 ，当 时， ，构造函数 ，利用导数证明 ，即可得到 在 上有一个零点 ，即可得到 ，进而证明不等式. 【小问1 详解】 解：由题意知， ，所以 ， 此时 ， ，则 ， 若 ，令 ，得 ， 当 时， ，函数 单调递增， 当 时， ，函数 单调递减， 故当 时，函数 取得极小值，所以 ， 同理，若 ，当 时，函数 取得极小值，此时 ， 综上，当 时，函数 的极小值为 当 时，函数 的极小值为 ，函数 没有极大值. 【小问2 详解】 解：当 时，由（1）知，函数 在 上单调递减，在 单调递增， 所以函数 最多有两个零点，又 ， ， 所以函数 在 内有一个零点 ， 又当 时， ，而 ， 令 ，所以 ， 所以函数 在 上单调递增，则 ， 所以 ，所以 在 上有一个零点 ， 综上，当 时，函数 有且仅有两个零点 ， ，且 ， 故 ．