辽宁省大连市2022-2023学年高二上学期12月期末数学试题

高二数学试卷 第1 页（共5 页） 大连市2022～2023 学年度第一学期期末考试 高二数学 命题人：大连市第二十四中学 李响 校对人：赵文莲 大连市第三中学 何艳国 注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2.本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分， 共150 分， 考试时间120 分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8 小题,每题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1．若直线l 的方向向量是 (1, 3) e = ，则直线l 的倾斜角为 A．6  B．3  C．2 3  D．5 6  2．已知空间向量a   1,2,x  ，  b   3, 6, 3   ，且 / / a b，则x  A．9  B．1  C．1 D．9 3．已知椭圆 ) 0 ( 1 : 2 2 2 2     b a b y a x C 的左、右焦点分别为 1 F ， 2 F ，上、下顶点分别为A ， B ，若四边形 1 2 AF BF 为正方形，则椭圆C 的离心率为 A．1 2 B． 2 2 C． 3 2 D． 2 4． 已知三棱锥  O ABC 中， 点M ， N 分别为AB ， OC 的中点， 且 =   OA a ， =   OB b ，    OC c ， 则    NM A．   1 2 b c a   B．  1 + 2 a b c  C．  1 + 2 a b c  D．  1 2 a b c   5．已知圆C 的圆心在直线 2 ( 0) y x x   上，若圆C 与x 轴交于A，B 两点，圆C 与y 轴 交于C，D 两点，则 A．  AB CD B． = AB CD C．  AB CD D．  AB CD 6．已知一个动圆P 与两圆 2 2 1 : ( 2) 1    C x y 和 2 2 2 : ( 2) 4    C x y 都外切，则动圆P 圆 心的轨迹方程为 A． 2 2 4 4 =1 0) 15 y x x   （ B． 2 2 4 4 =1 15 y x  C． 2 2 4 4 =1 0) 9 7 x y x   （ D． 2 2 4 4 =1 9 7 x y  高二数学试卷 第2 页（共5 页） 7． 若四棱柱 1 1 1 1 ABCD ABC D  的所有棱长均为2， 且 1 1 60      A AB A AD BAD ， 则 1 A 到平面ABCD的距离为 A． 6 3 B． 6 2 C．2 6 3 D． 3 8．已知F 为抛物线 2 : 4  C y x 的焦点，直线: ( 1)   l y k x 与C 交于A，B 两点(A 在B 的 左边） ，则4  AF BF 的最小值是 A．10 B．9 C．8 D．5 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9．已知向量 (2, 1,2) a   ， (2,2,1) b  ，   4,1,3 c  ，则 A． = a b B．   2, 1,2    c b C．a b  D．向量, , a b c 共面 10．如图，下列各正方体中，O 为下底面的中心，M，N 为顶点，P 为所在棱的中点，则 满足 >=90 MN OP      ， 的是 A B C D 11．已知圆C： 2 2 2 8 0 x y x     ，直线l : ( 1) 1 y k x   ，则 A．圆C 的圆心为 （-1,0) B．点 （-1，1） 在l 上 C．l 与圆C 相交 D．l 被圆C 截得的最短弦长为4 12． 在正三棱柱 1 1 1 ABC A B C - 中， 1 1 AB AA  ， 点P 满足 1 BP BC BB          ， 其中   0,1  ，   0,1  ，则 A．当 1 时， 1 + AP PB 的最小值为 5 B．当 1 时，三棱锥 1  P A AB 的体积为定值 C．当 1 2  时，存在两个点P ，使得 1 A P BP  D．当 1 2  时，有且仅有一个点P ，使得 1 A B 平面 1 AB P 第II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13． 已知平行六面体 1 1 1 1 ABCD ABC D  ， 1 1 AC AB AD mAA           ， 则m 的值为___________． 14．已知双曲线   2 2 2 2 : 1 0, 0 x y C a b a b     的一条渐近线方程为 3  y x ，则C 的离心率 为_______． 公众号高中僧试题下载 高二数学试卷 第3 页（共5 页） 15．已知圆台的上、下底面半径分别是10 和20，它的侧面积为900，则此圆台的母线 与下底面所成角的余弦值为_______________． 16．抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后 的反射线都与抛物线的对称轴平行.已知抛物线 x y C 4 : 2  的焦点为F ，直线 5 :  y l ，点P ，Q 分别是C ,l 上的动点，若Q 在某个位置时，P 仅存在唯一的位 置使得PF PQ  ，则满足条件的所有PQ 的值为_______． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． （10 分） 已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b     ． 请从下面三个①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题． ① 3 b  ；②离心率为2；③与椭圆 2 2 1 5 x y   的焦点相同． （1）求C 的方程； （2）直线: 3 l y x   与C 交于A，B 两点，求AB 的值． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 18． （12 分） 如图，四棱锥P ABCD  ，底面ABCD 为正方形，PB⊥平面ABCD，E 为线段PB 的 中点． （1）证明：AC⊥PD； （2）若 2 =2 PB AB  ，求直线DE 与平面PCD所成角的正弦值． E A B P D C 高二数学试卷 第4 页（共5 页） 19． （12 分） 已知点(4,2) 在抛物线 2 : 2 C x py  上，直线l 与C 交于A，B 两点，O为坐标原点， 且  90  AOB ． （1）求抛物线C 的焦点到准线的距离； （2）求AOB  面积的最小值． 20． （12 分） 在某地举办的智能AI 大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图） ，AB 的长 为9 米，AD的长为18 米．在AB 边上距离A 点6 米的F 处有一只电子狗，在距离A 点 3 米的E 处放置一个机器人． 电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍， 如果同时出发， 机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点） ， 那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点． （1）判断点A是否为失败点（不用说明理由） ； （2）求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S ； （3）若P 为矩形场地AD 边上的一动点，当电子狗在线段FP 上都能逃脱时，求AP AD 的取值范围． 高二数学试卷 第5 页（共5 页） 21.（12 分） 如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点.以DE 为折 痕将四边形ABED 折起，使A ，B 分别到达 1 A ， 1 B ，且平面  ED B A 1 1 平面CDE .设P 为线段CE 上一点，且 1 A ， 1 B ，P ，F 四点共面. （1）证明： ∥ E B 1 平面 DF A 1 ； （2）求CP的长； （3）求平面 PF B A 1 1 与平面CDE 所成角的余弦值. 22. (12 分) 已知椭圆 ) 0 ( 1 : 2 2 2 2     b a b y a x C 的左、 右焦点分别为 1 F ， 2 F ， 且 2 2 1  F F .过 2 F 的 一条斜率存在且不为零的直线交C 于M ，N 两点， 1 MNF  的周长为4 2 . （1）求C 的方程； （2）设M 关于x 轴的对称点为P，直线PN交x 轴于点Q ，过Q 作C 的一条切线， 切点为T .证明： N TF P TF 2 2    .