三明市普通高中 2021—2022 学年第一学期期末质量检测高二数学试卷

数学试卷 第1 页共6 页 准考证号_______________姓名______________ （在此卷上答题无效） 三明市普通高中2021—2022 学年第一学期期末质量检测 高二数学试题 本试卷共6 页．满分150 分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生 要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名 是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用0.5 毫米黑色签字笔在 答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，仅有一 项是符合题目要求的。 1．直线 1 0 x y   的倾斜角为 A．1 B．1  C．4  D．3π 4 2．已知双曲线 2 2 : 1 4 x y C m  的渐近线方程是 2 3 y x  ，则m  A．3 B．6 C．9 D．16 9 3．已知圆 2 2 : 4 0 M x y y    与圆 2 2 : 2 2 1 0 N x y x y     ，则圆M 与圆N 的位置 关系是 A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 4．在四面体O ABC  中，设OA    a ，OB    b ，OC    c ， 3 OE EA      ，若F 为BC 的 中点，P 为EF 的中点，则OP    A．3 1 1 8 4 4   a b c B．1 1 1 3 4 4   a b c C．2 1 1 3 4 4   a b c D．1 3 1 4 8 4   a b c 数学试卷 第2 页共6 页 5．函数  y f x  的图象如图所示， ( ) f x ¢ 是( ) f x 的导函数，则下列数值排序正确的是 A． ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 f f f f < - < B． ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 f f f f < < - C． ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 f f f f < < - D．( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 f f f f - < < 6．已知等比数列 n a 满足 2 2 a  ， 2 4 6 42 a a a    ，则 6 8 10 a a a    A．168 B．210 C．672 D．1050 7．已知直线   : 3 l y x c   过椭圆   2 2 2 2 1 0     x y a b a b 的左焦点F ，与椭圆在x 轴 上方的交点为， P Q 为线段PF 的中点，若OQ c  ，则椭圆的离心率为 A． 3 1 2  B． 3 1  C． 2 2 D．1 2 8．瑞士数学家欧拉(LeonhardEuler)1765 年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出： 任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．后人称这条直线为欧拉线．已知 ABC △ 的顶点     2,0 , 0,2 A B ，其欧拉线方程为2 2 0 x y    ，则顶点C 的坐标是 A．18 16 , 5 5       B．16 18 , 5 5       C．36 50 , 13 13       D．50 36 , 13 13       二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求。全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分。 9．已知正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则 A．点 1 C 的坐标为  2,0,2 B．   1 2, 2, 2 C A     C． 1 BD 的中点坐标为  1,1,1 D．点 1 B 关于y 轴的对称点为  2,2, 2   数学试卷 第3 页共6 页 10．已知两条直线1 :( 2) 3 2 0 l a x y a     ，2 : 6 0 l x ay    ，则下列结论正确的是 A．当 1 2 a  时，1 2 l l  B．若1 2 l l ∥ ，则 1 a 或 3 a  C．当 2 a  时，1 l 与2 l 相交于点 10 4 , 3 3         D．直线1 l 过定点 4 2, 3         11．已知数列 n a 的前n 项和为 n S ，下列说法正确的是 A．若 2 2 1 n S n n   ，则 n a 为等差数列 B．若 2 1 n n S  ，则 n a 为等比数列 C．若 n a 为等差数列，则  2 n a 为等比数列 D．若 n a 为等差数列， 8 9 7 S S S   ，则 7 8 9 10 a a a a    12．已知抛物线 2 4 y x  的焦点为F ，准线与x 轴交于点P ，直线x my n   与抛物线 交于 , M N 两点，则下列说法正确的是 A． 2 0 m n   B． | 2 | M N MN x x    C．若 2 PM PN      ，则 2 MF NF  D．若 1 n  ，则 MPF  的最大值为3  三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．已知平面 , 的法向量分别为 1 (1, ,4) y  n ， 2 ( , 1, 2) x   n ，若   ， 则x y  的值为________． 14．函数 ( ) ln  f x x x 的导函数 ( )   f x ________． 15．若方程 2 2 ( 1) ( 3) ( 1)( 3) m x m y m m       表示的曲线是双曲线，则实数m 的取值 范围是______；该双曲线的焦距是________． 数学试卷 第4 页共6 页 16．设P 为圆   2 2 : 4 4 C x y    上一动点，Q 为直线: 7 0 l x y    上一动点，O 为 坐标原点，则 2 PO PQ  的最小值为________． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． （10 分） ABC △ 的三个顶点分别为 (1,3), (3, 1), (4,0) A B C  ． （1）求 ABC △ 的外接圆M 的方程； （2）设直线: 2 1 0 l x y   与圆M 交于 , P Q 两点，求| | PQ 的值． 18． （12 分） 已知等差数列 n a 的公差为整数， n S 为其前n 项和， 3 7  a ， 1 2 3 105  a a a ． （1）求 n a 的通项公式； （2）设 1  n n b S ，数列 n b 的前n 项和为 n T ，求 8 T ． 数学试卷 第5 页共6 页 19． （12 分） 已知动点M 到点 1 0, 2 F       的距离与它到直线 1 2 y  的距离相等． （1）求动点M 的轨迹C 的方程； （2）过点 1 1 ( , ) 2 P  作C 的两条切线 , PA PB ，切点分别为 , A B ，求直线AB 的方程． 20． （12 分） 如图，四棱锥P ABCD  的底面是正方形，PD 底面ABCD ，M 为BC 的中点， 2 3 PN PA      ， 2 PD DC   ． （1）证明：DN PM  ； （2）设平面PAB 平面PCD l ，求l 与平面MND 所成角的正弦值． 数学试卷 第6 页共6 页 21． （12 分） 某企业2021 年年初有资金5 千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率 可达到50%．每年年底扣除下一年的消费基金1.5 千万元后，剩余资金投入再生产． 设从2021 年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为 1 a ， 2 a ， 3 a ，． （1）写出 1 a ， 2 a ， 3 a ，并证明数列{ 3} n a  是等比数列； （2）至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21 千万元？   lg 2 0.3010,lg3 0.4771   22． （12 分） 已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     过点 (0, 2) A ，且与双曲线 2 2 4 2 1 x y   有相同 的焦点． （1）求椭圆C 的方程； （2）设 , M N 是椭圆C 上异于A 的两点，且满足 1 MA NA k k  ，试判断直线MN 是否 过定点，并说明理由．