版块6 密度 专题6-2 密度相关计算 （学生版） 初中物理尖子生自主招生培优讲义83讲

专题6-2 密度相关计算 知识·解读 题型一 “隐含条件”——抓不变量 物理问题中的有些条件需要仔细审题才能确定，这类条件称为隐含条件。因此寻找隐含条 件是解决这类问题的关键。以密度知识为例，密度计算题形式多样，变化灵活，但其中有 一些题具有这样的特点：即质量、体积、密度中的某个量在其他量发生变化时保持不变。 抓住这一特点，就掌握了求解这类题的规律。 体积不变的问题 例1、 一个瓶子最多能装05kg 的水，它最多能装______kg 的水银；最多能装______m3 的酒精．（ρ 水银=136×103kg/m3，ρ 酒精=08×103kg/m3） 【答】 68；5×10-4． 【解析】“最多能装”即装满瓶子，由最多装水量可求得瓶子的容积为解：由 得 ， 则一瓶水的体积：V 水= = =5×10-4m3， 由题意可知，V 水银=V 水， 由 得m=ρV， 则一瓶水银的质量：m 水银=ρ 水银V 水银=136×103kg/m3×5×10-4m3=68kg， 质量不变的问题 例2、质量为450g 的水的体积为______m3，这部分水结成冰后，其体积______m3．（ρ 冰=09×103kg/m3） 【答】 450；500． 【分析】质量不变的问题，利用质量不变根据密度公式求解。水结成冰后，密度减小 【解析】解：①∵ ， ∴水的体积为V 水= = =450m3； ②水结成冰后，其体积为V 冰= = =500m3． 密度不变的问题 例3、有一块花岗岩碑石，其体积是40m3，为了计算它的质量，取一小块作为这块碑石 第 1 页 / 共 12 页 的样品，测出它的质量为28g，体积为10m3．求： （1）这块碑石的密度是多少？（2）这块碑石的质量是多少吨？ 【答】 28×103Kg/m3；112t． 【解析】法一：（1）碑石的密度： = =28g/m3=28×103Kg/m3 由m=ρV=28×103Kg/m3×40m3=112×103Kg=112t 法二：密度不变的问题，利用密度不变常通过列比例式的方法求解。 此题目中的隐含条件是石碑和样品属于同种物质，密度相同，而不同的是它们的体积和质量。依 据题意可知，样品体积为： → = =112×103Kg=112t 答：（1）这块碑石的密度是28×103Kg/m3；（2）这块碑石的质量是112t。 总结：总学会用密度公式进行求解，学会掌握密度、质量、体积三个物理量中某一量不变，找另外两 个量间关系的方法处理问题。在密度一章习题的解题过程中，经常会遇到这种情况，有些解题的必要 条件，题中并未明确给出，而是隐含在字里行间，给解题增加了一定的难度。 挖掘隐含条件，采用合 适方法，是解好这类题的关键。由于密度公式中涉及质量 、密度 、体积三个物理量，下面就从这三 方面谈谈密度计算中隐含条件的挖掘。 题型二 有关密度的图像问题 此问题一般是给出质量一体积图像，判断或比较物质密度。解答时可在横 坐标(或纵坐标)任选一数值，然后在纵坐标(或横坐标)上找到对应的数值， 进行分析比较。 例4、甲、乙两种物质的质量和体积关系图像如图所示，由图像可知 （ ） 、ρ 甲：ρ 乙=4：1 B、ρ 甲：ρ 乙=l：4 、若V 甲=V 乙，则m 甲<m 乙 D、若m 甲=m 乙，则V 甲>V 乙 【答】 ． 【解析】 体积一定时，物体的质量与密度成正比，由图象可知甲的斜率大于乙的斜率，所以甲的密度 大于乙的密度，为正确答 例5、（多选）为测量某种液体的密度，小明利用天平和量杯测量了液 体和量杯的总质量m 及液体的体积V，得到了几组数据并绘出了 m‒V 图象，如图所示．下列说法正确的是（ ） ．该液体密度为1g/m3 B．该液体密度为125 g/m3 ．量杯质量为40 g D．60 m3的该液体质量为60 g 第 2 页 / 共 12 页 【答】 D． 【解析】（1）设量杯的质量为m 杯，液体的密度为ρ，读图可知，当液体体积为V1=20m3时，液 体和杯的总质量m 总1；当液体体积为V1=80m3时，液体和杯的总质量m 总2，列方程组求出液体密 度和量杯质量；（2）当液体的体积V3=60m3，利用m=ρV 求液体质量． 【解答】解：（1）设量杯的质量为m 杯，液体的密度为ρ， 读图可知，当液体体积为V1=20m3时，液体和杯的总质量m 总1=m1+m 杯=40g 可得：ρ×20m3+m 杯=40g，﹣﹣﹣① 当液体体积为V1=80m3时，液体和杯的总质量m 总2=m2+m 杯=100g 可得：ρ×80m3+m 杯=100g，﹣﹣﹣② ① ② ﹣ 得： 液体的密度ρ=1g/m3，故正确，B 错误；代入①得m 杯=20g，故错误； （2）当液体的体积V3=60m3，液体质量：m3=ρ×V3=1g/m3×60m3=60g，故D 正确． 题型三 多物质问题 例6、一个空瓶子的质量是150g，当装满水时，瓶和水的总质量是400g；当装满另一种 液体时，瓶和液体的总质量是350g 已知水的密度为10×103 kg/m3，则： (1)这个瓶子的容积是多少？(2)液体的密度是多少？ 【答】250 m3； 08 g/m3 【解析】(1)10×103 kg/m3=10 g/m3 瓶中水的质量m 水=400 g-150 g=250 g 瓶子的容积V=m 水/ρ 水=250 g/(10 g/m3)=250 m3； (2)瓶中液体的质量m 液=350 g-150 g=200 g 液体的密度ρ 液=m 液/V=200 g/(250 m3)=08 g/m3 例7、如图所示为我国自行研制的拥有自主知识产权的“神龙一号”飞机，设计 师为了减轻飞机的质量，将一些钢制零件改成铝制零件，使其质量减小了 104 kg ，则制造这些铝制零件所需铝的质量为多少？(ρ 钢=79×103 kg/m3，ρ 铝=27×103 kg/m3) 【答】54 kg 【解析】由题知： m 钢-m 铝=104 kg，即ρ 钢V-ρ 铝V=104 kg， 代入物理量得79×103 kg/m3×V-27×103 kg/m3×V=104 kg， 解得V=20×10-2 m3， 故制造这些零件所需铝的质量m 铝=ρ 铝V=27×103 kg/m3×20×10-2 m3=54 kg 题型四 空心问题 第 3 页 / 共 12 页 例8 、为了判断一个铁球是不是空心的，某同学测得如下数据( 已知ρ 铁 =79×103kg/m3)： (1) 该铁球是空心的，还 是实心的？ (2)若铁球是空心的，空心部分的体积是多少？ 【答】空心； 50 m3 【解析】（1)79×103 kg/m3=79 g/m3 铁的体积V 铁=m/ρ 铁=79 g/(79 g/m3)=100 m3; 铁球的体积V 球=750 m3-600 m3=150 m3； 因为V 球大于V 铁，所以铁球是空心的； (2)空心部分体积V=V 球-V 铁=150 m3-100 m3=50 m3 说明：对于判断是否空心问题，除了可以比较体积，也可以比较质量或者密度，但是一般要结合第二 问，看是否还要求空心部分的体积，或者多出的质量等等，要具体问题具体分析，选择一个合适快捷 例9、现有一个质量为54 g、体积为50 m3的空心铝球若在空心铝球内注满某种液体后总 质量为78 g，已知ρ 铝=27×103kg/m3求： (1)所注入的液体的质量(2)所注入液体的密度 【答】24 g； 08 g/m3 【解析】(1)空心铝球中注入液体的质量m 液＝m 总-m 铝＝78 g-54 g＝24 g； (2)ρ 铝=27×103 kg/m3=27 g/m3， 所以空心铝球中铝的体积V 铝＝m 铝/ρ 铝＝54 g/（27 g/m3）＝20 m3； 空心铝球中注入液体的体积V 液＝V 总-V 铝＝50 m3-20 m3＝30 m3； 空心铝球中注入液体的密度ρ 液＝m 液/V 液＝24 g/30 m3=08 g/m3 题型五 物质含量问题 例10、小明是“保护母亲河青年志愿者”，他想测出黄河中水的含沙量(即1 m3的洪水中 所含泥沙的质量)他采集了40 dm3的水样，称得其总质量为4056 kg 已知泥沙的密度 为24×103kg/m3则小明测得的黄河水的含沙量是多少？ 【答】24 kg/m3 【解析】由题知：m 沙＋m 水＝4056 kg ① m 沙/(24×103 kg/m3)＋m 水/(10×103 kg/m3)＝40 dm3 ② 联立①、②成方程组，解得：m 沙＝096 kg，则含沙量096 kg/40 dm3＝24 kg/m3 例11、某校“STS”活动小组前往某酒厂参观，了解到白酒是把粮食里的酒精从酒糟中蒸 煮出来，然后再冷凝液化成液态酒精，再与水勾兑而成国家质量技术监督部门规定，生 第 4 页 / 共 12 页 铁球的质量 m/g 水的体积V/ mL 水和铁球的总体积V/mL 79 600 750 产白酒的厂家必须标明白酒的“度数”行业规定：白酒的“度数”是指气温在20 ℃时， 100 mL 酒中所含的酒精毫升数某同学买了一瓶白酒，瓶上标有“500 mL 45 度”， 已知ρ 水=10×103 kg/m3，ρ 酒精=08×103 kg/m3则： (1)瓶中酒的质量是多少千克？(2)这种酒的密度是多少？ 【答】455 g 【解析】(1)这瓶酒中酒精的体积V 酒精=45 mL/100 mL×500 mL=225 mL=225 m3， 这瓶酒中水的体积V 水=500 m3-225 m3=275 m3， ρ 水=10×103 kg/m3=10 g/m3,ρ 酒精=08×103kg/m3=08 g/m3, 这瓶酒的质量m=ρ 水V 水+ρ 酒精V 酒精=10 g/m3×275 m3+08 g/m3×225 m3=455 g； (2)这种酒的密度ρ=m/V=455 g/500 m3=091 g/m3 题型六 密度中的比例问题 例12、甲、乙两个物体的质量之比为3：2，体积之比为l：3，那么它们的密度之比为( ) ．1：2 B．2：1 ．2：9 D．9：2 法一：公式推导法 已知m 甲：m 乙=3：2； V 甲：V 乙=1：3； ρ 甲：ρ 乙= = ： = ：= 法二：赋值法 已知m 甲：m 乙=3：2； 假设m 甲=3，m 乙=2； V 甲：V 乙=1：3； 假设V 甲=1，V 乙=3； 则 = =3； = ρ 甲：ρ 乙=3：= 培优·训练 一、选择题 1、如图所示为探究甲、乙两种物质质量跟体积的关系时作出的图象，以下分析正确的是 （ ） 、同种物质的质量跟体积的比值是不同的 B、甲物质的质量跟体积的比值是05g/m3 第 5 页 / 共 12 页 、甲物质的质量跟体积的比值比乙物质的大 D、甲物质的质量跟体积的比值大于水的 密度 第1 题图 第2 题图 第3 题图 2、（多选）如图是甲、乙两种物质的m-V 图象，下列说法正确的是（ ） 同种物质的密度与质量成正比，与体积成反比 B 同种物质的质量与体积的比值是一定的，与质量和体积无关 甲物质的密度比乙物质的密度大 D 甲物质的密度为2kg/m3 3、如图所示是在“探究甲、乙两种液体质量跟体积关系”时做出的图像(已知不管两种液 体如何配制混合溶液,混合前后总体积不变)。则下列分析不正确的是（ ） 、若 ,则 B、甲物质的质量跟体积的比值比乙物质的质量跟体积的比值大 、若以 配制一种混合液,这种混合液的密度为 D、若以 配制一种混合液,这种混合液的密度为 4、甲物质的密度为5g/m3， 乙物质密度为2g/m3， 各取一定质量混合后密度为 3g/m3． 假设混合前后总体积保持不变，则所取甲、乙两种物质的质量之比是( ) 、5:2 B、2:5 、5:4 D、4:5 5、如图所示是，B，三种物质的质量m 与体积v 关系图线，由图可知，，B，三种物质的 密度ρ，ρB，ρ 和水的密度ρ 水=10g/m3）之间的关系是（ ） 、ρ＞ρB＞ρ 且ρ＞ρ 水 B、ρ＞ρB＞ρ 且ρ＞ρ 水 、ρ＜ρB＜ρ 且ρ＞ρ 水 D、ρ＜ρB＜ρ 且ρ＞ρ 水 第 6 页 / 共 12 页 第5 题图 第6 题图 6、在物理图像中不但纵坐标和横坐标分别代表一定的物理意义，而且斜率和面积也具有 特定的物理意义。 对图中的两个图像所含信息的理解，错误的是( ) 、图中的斜率越大，表示物质的密度越大 B、图中阴影部分面积表示该物质的密度大小 、图b 中水平直线表示物体做匀速直线运动 D、图b 中阴影部分面积表示该物体在对应时间内通过的路程 7、一只质量为60kg 的医用氧气瓶，刚启用时瓶内氧气密度为ρ．使用半小时，氧气瓶的 质量变为35kg，瓶内氧气的密度为 ，再使用一段时间，氧气瓶的质量变为20kg， 此时瓶内的氧气密度应为（ ） 、 B、 、 D、 8、现有密度分别为ρ1、ρ2（ρ1＜ρ2）的两种液体，质量均为m0， 某工厂要用它们按体 积比1：1 的比例配制一种混合液（设混合前后总体积保持不变），且使所得混合液的 质量最大。则这种混合液密度、按要求配制后剩下那部分液体的质量分别是（ ） 、混合液密度 、剩下液体质量 B、混合液密度 、剩下液体 质量 、混合液密度 、剩下液体质量 D 混合液密度 、剩下液体质 量 9、有两个完全相同的瓶子，一个装满水后质量为320 g，一个装满酒精后质量是280 g，那么(ρ 水＝10×103 kg/m3， ρ 酒精＝08×103 kg/m3)（ ） 、瓶子的质量是100 g B、瓶子的质量是40 g 、瓶子的容积是200 mL D、瓶子的容积是280 mL 第 7 页 / 共 12 页 10、有不规则形状的、B 两物体，其质量之比为3:1，将其分别投入装满水的量筒后，完 全浸入水中，溢出水的体积之比为5:2，则( ) 、B 的密度之比为5:6 B、B 的密度之比为6:5 、B 的密度之比为10:3 D、B 的密度之比为3:10 11、由不同物质组成的甲、乙两个体积相同的实心物体，质量之比为2：3，这两种物质 的密度之比是( )。 ．2∶3 B．3∶2 ．1∶1 D．以上答都不对 12、、b 是两个由同种材料制成的金属球，它们的质量分别为256g、120g，体积分别为 32m3、24m3． 在这两个金属球中，如果有一个是实心的，那么（ ） 、这个实心球是，金属的密度是8g/m3 B、这个实心球是，金属的密度是5g/m3 、这个实心球是b，金属的密度是8g/m3 D、这个实心球是b，金属的密度是 5g/m3 13、有质量相等的两个球，它们的体积比是V1：V2=1：5，材料的密度之比ρ1：ρ2=4： 1，其中有一个是空心的，已知其实心球的体积是V，则空心球的空心部分体积是是（ ） 、 B、 、 D、 14、质量为m1的液体甲与质量为m2的液体乙相混合，已知甲、乙两种液体的密度分别 为ρ1、ρ2，混合后液体的密度为（两种液体混合前后总体积不变）（ ） 、 B、 、 D、 15、用密度不同的两种液体装满两个完全相同的烧杯甲和乙，甲杯中两种液体的质量各占 一半，乙杯中两种液体的体积各占一半．两种液体的密度分别为ρ1和ρ2，且ρ1＜ρ2设 两种液体之间不发生混合现象，若甲、乙两杯内液体的密度分别为ρ 甲和ρ 乙，则( ) ．ρ 甲＜ρ 乙 B．ρ 甲＝ρ 乙 ．ρ 甲＞ρ 乙 D．无法确定 二、填空题 1 、一个装满调和油的瓶子标有“ 4kg/5dm3” 字样，由此可知这种油的密度约为 ______kg/m3，当油用完后，若用此空瓶装水，则最多可多装______kg 的水． 2、任何物质都是由极其微小的粒子组成，这些粒子保持了物质原有的性质，我们把它们 叫做__________。一个瓶子能盛1 kg 水，用这个瓶子能盛____________kg 水银。（水 银密度136×103kg/m3） 3、容器装满水后，容器和水的总质量为m1；若在容器内放一质量为m 的小金属块后再 加满水，总质量为m2；若在容器内放一质量为m 的小金属块和一质量也为m 的小金 第 8 页 / 共 12 页 属块B 后再加满水，总质量为m3，则金属块和金属块B 的密度之比为______．（用题 目中所给出的符号表示） 三、计算题 1、一个空瓶子的质量是150g，当装满水时，瓶和水的总质量是400g；当装满另一种液 体时，瓶和液体的总质量是350g。求：⑴这个瓶子的容积？⑵液体的密度？ 2、一块石碑的体积为20m3，为了计算它的质量，测得石碑岩石样品的质量为120g，用 量筒装入100ml 的水，然后将这块样品浸没在水中，此时水面升高到150ml．设 g=10/kg，试求： （1）石碑岩石样品的密度？； （2）这块石碑的质量？ 3、小华家的晒谷场上有一堆稻谷，体积为45m3，为了估测这堆稻谷的质量，他用一只空 桶平平地装满一桶稻谷，测得桶中的稻谷的质量为10kg，再用这只桶装满一桶水，测 得桶中水的质量为9kg，那么，这堆稻谷的总质量约为多少t？ 4、2010 年4 月，日本广岛大学高分子材料科研小组宣布，已研发出硬度相当于钢铁2～ 5 倍的聚丙烯塑料某汽车使用的是质量高达237 kg 的钢质外壳，若替换成等体积的聚 丙烯塑料材质，除增强车壳强度之外，还可减轻外壳质量问塑料外壳的质量为多大?(ρ 钢=79×103 kg/m3 ，ρ 塑=11×103 kg/m3 ) 第 9 页 / 共 12 页 5、用量杯盛某种液体，测得液体的体积V 和量杯的总质量m 的关系如图所示，则： (1)量杯的质量是多少？ (2)这种液体的密度是多少？ 6、用盐水选种，要求盐水的密度为11×103 kg/m3现配制了05 dm3的盐水，称得其质 量为06 kg，已知水的密度为10×103 kg/m3，则： (1)配制的盐水是否符合要求？ (2)若不符合要求，应加盐还是加水？ (3)应加盐或加水多少？ 第 10 页 / 共 12 页 7、甲液体的密度为08×103 kg/m3，用质量均为1 千克的水和