山东师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试卷

1 2021 级2022-2023 学年9 月学业水平测试数学试题 （满分150 分 限时120 分钟） 一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1． 在四面体P ABC  中，E 是PA 的中点，F 是BC 的中点， 设 , , PA a PB b PC c            ， 则EF    A． 1 1 1 2 2 2 a b c       B． 1 1 2 2 a b c      C． 1 1 2 2 a b c      D．1 1 1 2 2 2 a b c      2．若直线a 与b 的方向向量为 (2 m x   ，1，3) ， (1 n   ，2y  ，9) ，且a 与b 平行，则x y   A． 3 2  B． 4 3  C． 2 3  D． 3 4  3．平行六面体 1 1 1 1 ABCD A B C D  的底面ABCD 是边长为1的菱形，侧棱长为2 ，且 1 1 60 C CB C CD BCD     ，则线段 1 A C 的长度是 A． 6 B． 34 2 C．3 D．11 4．过点 ( 1,2) P  的直线l 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且P 恰好是线段AB 的中点，则 直线l 的斜率为 A．1 2 B． 1 2  C．2  D．2 5． 如图， 正四棱柱 1 1 1 1 ABCD A B C D  中， 2 AB  ， 若直线 1 BC 与直线AC 所成的角为60，则直线 1 AB 与平面 1 1 ACC A 所成的角为 A．30 B．45 C．60 D．90 6． 已知点 (1,2) P ， 向量 ( 3,1) m   ， 过点P 作以向量m 为方向向量的直线为l ， 则点 (3,1) A 到 直线l 的距离为 A． 3 1  B． 3 1 2  C．2 3  D．2 3  7． 已知直线1 : 1 0 l x my   过定点A ， 直线2 : 3 0 l mx y m     过定点B ， 1 l 与2 l 相交于点P ， 则 2 2 | | | | PA PB   A．10 B．13 C．16 D．20 2 8．如图，在三棱锥P ABC  中，点G 为 ABC  的重心，点M 在PG 上，且 3 PM MG  ， 过点M 任意作一个平面分别交线段PA ，PB ，PC 于点D ，E ， F ，若PD mPA      ，PE nPB      ，PF tPC      ，则1 1 1 m n t   的值为 A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．下列说法中，正确的有 A．过点 (1,2) P 且在x 轴，y 轴截距相等的直线方程为 3 0 x y    B．直线 2 y kx   在y 轴的截距是2 C．直线 3 1 0 x y   的倾斜角为30 D．过点(5,4) 且倾斜角为90的直线方程为 5 0 x   10．下列关于空间向量的命题中，正确的有 A．若非零向量, , a b c   满足 , a b b c     ，则有 / / a c   B．若向量, a b   与空间任意向量都不能构成基底，则 / / a b   C．空间向量 ( 2, 1,1), (3,4,5) a b      夹角的余弦值为 3 6  D．已知 ( 1,1,2), (0,2,3) a b     ，若ka b    与2a b    垂直，则 3 4 k  11．已知直线l 过点 (3,4) P 且与点 ( 2,2) A  ， (4, 2) B  等距离，则直线l 的方程可以是 A．2 3 18 0 x y    B．2 2 0 x y    C．3 2 18 0 x y    D．2 2 0 x y    12．如图，在棱长为2 的正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中，点E ，F 分别是棱 1 BB ， 1 1 B C 的中点， G 是棱 1 CC 上的动点，则下列说法正确的是 A．当G 为 1 CC 中点时，直线 / / AG 面 1 A EF B．当G 为 1 CC 中点时，直线AG 与EF 所成的角为30 C．若H 是棱 1 AA 上的动点，且 1 C G AH  ，则平面 1 ACD 平面 1 B HG D．当G 在棱 1 CC 上运动时，直线AG 与平面 1 1 AA D D 所成的角的最大值为45 3 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．已知四面体ABCD 的所有棱长都是2，点E 是AD 的中点，则BA CE      ． 14．一条光线经过点 (2,3) A 射到直线 1 0 x y   上，被反射后经过点 (1,1) B ，则入射光线所在 直线的一般式 ．．． 方程为 ． 15． 已知二面角 l    为120， 在与的交线上取线段 9 AB  ， 且AC ，BD 分别在平面和内，它们都垂直于交线AB ，且 4 AC  ， 12 BD  ，则CD 的长为 ． 16． 直线l 过点(1,2) 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点， 则 AOB △ 面积的最小值为 ，当 AOB △ 面积取最小值时，直线l 的一般式 ．．． 方程是 ． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． （10 分） 已知两条直线1 : (1 ) 1 0 l x a y a     ，2 : 2 6 0 l ax y    ． （aR ） （1）若1 2 l l  ，求a 的值； （2）若1 2 / / l l ，求1 l ，2 l 之间的距离． 18． （12 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1 ABC A B C  中，AB BC  ， 1 2 AA AB   ． （1）若三棱锥 1 1 B A AC  的体积为2 2 3 ，求线段BC 的长； （2）在（1）的条件下，求二面角 1 1 A B C A   的大小． 19． （12 分） 已知 ABC  的顶点 (5,1) B ，AB 边上的高所在的直线方程为 2 5 0 x y    ． （1）求直线AB 的一般式 ．．． 方程； （2）在下列两个条件中任选一个，求直线AC 的一般式 ．．． 方程． ①角A 的平分线所在直线方程为 2 13 0 x y    ； ②BC 边上的中线所在的直线方程为2 5 0 x y    ． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ） 4 20． （12 分） 如图，在四棱锥P ABCD  中，底面ABCD 为平行四边形， 45 DAB   ，PD 平面ABCD ， AP BD  ． （1）证明：BC 平面PDB ， （2）若 2 AB  ，PB 与平面APD 所成角为45，求点B 到平面 APC 的距离． 21． （12 分） 已知在长方形ABCD 中， 2 2 2 AD AB   ，点E 是AD 的中点，沿BE 将平面ABE 折起，使 平面ABE 平面BCDE ． （1）求证：在四棱锥A BCDE  中，AB AC  ； （2） 在线段AC 上是否存在点F ， 使二面角A BE F   的余弦值为3 13 13 ？若存在， 找出点F 的位置；若不存在，请说明理由． 22． （12 分） 在正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中． （1）已知 2 AB  ，E ，G 分别为棱 1 CC ， 1 1 A D 中点． （ⅰ）若过点G 的截面与平面BDE 平行，求此截面的面积； （ⅱ）若F ，H 分别是棱CD ，AD 上动点，且GF EH  ，求线段FH 长度的最小值； （2） 若正方体各个顶点都在平面的同侧， 且A ，B ，C ， 1 A 四点到平面的距离分别为1， 2，3，5，试求 1 AC 与平面所成角的正弦值．