宜春市2021～2022学年下学期期末质量检测高二年级数学（理）试卷

宜春市2021～2022 学年下学期期末质量检测 高二年级数学（理）试卷 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．复数 满足 (i 为虚数单位），则在复平面内复数 对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若 ，则下列命题正确的是 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ， ，则 3．根据分类变量 与 的观察数据计算得： .根据下表给出的 独立性检验中的小 概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．有 的把握认为变量 与 独立 B．有 的把握认为变量 与 不独立 C．变量 与 不独立，这个结论犯错误的概率不超过2.5% D．变量 与 独立，这个结论犯错误的概率不超过2.5% 4．在同一坐标系中，将曲线 变为曲线 的一个伸缩变换是 A． B． C． D． 5．将一枚均匀的骰子连续投掷两次，记两次向上的点数之和为随机变量 ，则 A． B． C． D． 6．如右图所示圆柱的轴截面 的周长为定值，则 A．圆柱的体积有最小值，此时高与底面圆的直径之比为 B．圆柱的体积有最小值，此时高与底面圆的半径之比为 C．圆柱的体积有最大值，此时高与底面圆的直径之比为 D．圆柱的体积有最大值，此时高与底面圆的半径之比为 7．随机变量 的分布列如下： 0 则当 取最大值时， A． B． C． D． 8．自2020 年“新冠”出现后，全国人民“众志成城，齐心抗疫”．许多志愿者挺身而出，现安 排4 名男性志愿者，3 名女性志愿者站成一排将逐一进行核酸检测，要求男女相间且女性甲要 在女性乙之前检测，则不同的安排方法的种数是 A．36 种 B．72 种 C．108 种 D．144 种 9．若二项式 展开式中各项的二项式系数的和为512，且 为曲线 与 轴围成的平面图形面积，则下列说法正确的是 A． B．展开式中常数项为第6 项 C．展开式中系数绝对值最大的项为第3 项 D．从展开式中随机抽取一项，则事件“抽到无理项”的概率为 10．在数学史上记载了众多科学家根据生活中的一些数学问题制作了许多经典的数 学模型，如研究随机现象规律的“高尔顿钉板”模型．某游乐场根据“高尔顿 钉板”模型，仿作了一款如图的游戏机，玩家投入一枚游戏币后，机器从上方 k 随机放下一颗半径适当的小球，假设小球从最上层3 个缝隙落下的概率都相等，小球第一次 与第2 层的一障碍物随机（图中圆点）碰撞且碰撞下落过程中等可能地从左边或右边继续下 落，于是又碰到下一层的一障碍物，如此继续下去，最后落入编号①，②，…，⑧的槽内． 设小球落入编号②的槽内概率为 ，落入编号⑥的槽内概率为 ，则 A． B． C． D． ， 大小关系不定 11 ．设函数 ，若关于 的不等式 的解集为： ，且 ，若 的极大值为 ，极小值为 ，则 = A． B． C． D． 12．函数 满足 （ 为自然数的底数），且当 时，都有 （ 为 的导数），则下列判断正确的是 A． B． C． D． 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．函数 ，则 在 处的切线方程为 . 14．韩愈诗云"莫以宜春远，江山多胜游"描述的是风光秀丽的宜春明月山风景区，经统计每天去 宜春明月山风景区的旅客人数 是服从正态分布 的一个随机变量，设一天 中的旅客人数不超过1100 人的概率为 ，则 的值为 .（若 ，则 ， ， ） 15．将没有重复数字且能够被5 整除的5 位数的正整数从小到大进行排序，则第2022 个是 . 16．若函数 在 上不存在零点，则实数a 的取值范是 . 三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 根据条件，分别求解： （1）求 展开式中 的系数； （2）求值： ． 18．（12 分） 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为: （ 为参数），在以 为极点， 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，点 的极坐标为 ． （1）写出曲线 的普通方程，并判断点 与曲线 的位置关系； （2）设直线： 与曲线 交于 两点，求 的值． 19．（12 分） 平面内，定点 ， 的坐标分别是 ， ，动点 ，设函数 ． （1）求不等式 的解集； （2）若函数 的最小值为 ，且正实数 满足： ，试比较 的大小，并说明理由． 20．（12 分） 一不透明箱内装有2 个红球，1 个白球，1 个黑球，这4 个球的大小、形状均相同，甲现从 中任意不放回地随机抽取小球，每次取1 个，直至取到黑球为止． （1）求此过程中恰好把2 个红球全部取出的概率； （2）记取到一个红球得2 分，取到一个白球得1 分，取到黑球得0 分，设甲取到黑球时的 得分数为随机变量 ，求 的分布列及 ． C C C 21．（12 分） 2022 年2 月4 日至2 月20 日第24 届冬奥会在北京举 行，本届冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不 断，一个原因是主办方的广泛宣传．某课外学习小组通 过收集整理出了宣传力度（ ）与好评量（ ）之间的 散点图（如右图所示），根据散点图中的数据，令 ， 统计整理得到 与 的如下数据表（如下图所示），现计划用 或 建立y 关 于x 的回归方程． 10.15 109.94 3.04 0.16 13.94 -2.1 11.67 0.21 21.22 （1）设 与 的相关系数分别为 ， ，求 ， 的值并根据其 意义判断哪种模型更合适建立y 与x 的回归方程，请求出该方程； 附：参考数据和公式： ， ，回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： ， ，相关系数 计算公式： ． （2）为发挥线上购物的优越性，现主办方在某网购平台推出一款以“冰墩墩”为原型的纪 念品进行售卖，网购平台为提高销售量，组织 三家网店开展“秒杀”抢购活动．其 中甲在 家抢购一个订单，乙在 家抢购一个订单，丙在 家抢购一个订单，若三人在三 家网店订单“秒杀”成功的概率均为 ，且三人是否抢购成功互不影响，记三人抢购到的 订单总数为随机变量 ． （）求 的分布列及 ； （ ）若每个订单由 个“冰墩墩”构成，记三人抢购到的“冰墩墩”总数量 为 ，假设 ，求 取最小值时正整数 的值． 22．（12 分） 已知函数 （为自然对数的底数）. （1）求函数 的单调递增区间； （2）若不等式 在 上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明： ．