山东省德州市2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高二数学试题 第Ⅰ卷（共60 分） 一、选择题（本大题共8 个小题，每题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的） 1. 已知函数 ，则 （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，将 代入即可求得答案. 【详解】由题意得， ， 故 ， 故选：A 2. 在数列 中， ， ，若 ，则 （ ） A. 508 B. 507 C. 506 D. 505 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得到数列 是等差数列，求得其通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意可得， ，即 ， 故数列 为等差数列，则 ， 故令 ， 故选：C 3. 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，随机选取了4 天的用电量与当 天气温，由散点图可知用电量y（单位：度）与气温x（单位：℃）之间具有相关关系，已知 ， ，由数据得线性回归方程： ，并预测当气温是5℃的时候用电量为（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知样本中心为 ，又回归方程必过样本中心可知， ，再将 代入回归 方程，即可求出结果. 【详解】因为 ， ， 所以 ， ，所以样本中心为 ， 由回归方程必过样本中心可知，所以 ，得 ， 所以 ， 当 时， . 故选：B. 4. 设 为等比数列 的前n 项和，若 ， ，则 （ ） A. B. 2 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知先求出数列的首项和公比，即可利用求和公式求出. 【详解】设等比数列 的公比为 ， 则 ，解得 ， 则 ， ， 所以 . 故选：C. 5. 已知函数 的图像在点 处的切线与直线 垂直，则实数a 的值为（ ） A. 3 B. 2 C. -2 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】求得f(x)的导数,可得切线的斜率,再列方程可得所求值. 【详解】 的导数为 ，可得f(x)在x=1 处的切线的斜率为4+a. 因为直线 的斜率为 ，所以4+a=7，解得：a=3. 故选：A 6. 以下四个命题错误的为（ ） A. 在一个 列联表中，由计算得 的值，若 的值越大，则两个变量有关的把握就越大 B. 以模型 去拟合一组数据时，为 了求出回归方程，设 ，将其变换后得到线性方程 ，则 ， C. 在回归直线方程 中，变量x 每增加1 个单位时，y 平均增加2 个单位 D. 若变量y 和x 之间的相关系数为 ，则变量y 和x 之间具有很强的线性相关，而且是负相关 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立性检验的思想判断A，对拟合曲线两边取对数，再根据指数与对数的关系计算即可判断 B，根据回归方程的意义及相关系数的概念判断C、D； 【详解】解：对于A：分类变量 与 的随机变量 越大， 说明“ 与 有关系”的可信度越大，则两个变量有关的把握就越大，故A 正确； 对于B： ， 两边取对数，可得 ， 令 ，可得 ， ， ， ， ．故B 正确； 对于C：在回归直线方程 中，变量 每增加个单位时， 平均减少 个单位，故C 错误； 对于D：相关系数 ，说明变量y 和x 之间具有很强的线性相关，而且是负相关，故D 正确； 故选：C 7. 在等差数列 中，前n 项和为 ，若 ， ，则在 ， ，…， 中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由 ， ，知 ，得 最大值是 ，从而判断结果． 【详解】∵等差数列前n 项和 ， 由 ， ，得 ， ∴ ， 故 为递减数列，当 时， ；当 时， ，所以 最大值是 ， 则当 时， 且单调递增，当 时， ，∴ 最大． 故选：B． 8. 已知函数 ， ，若 有两个零点，则k 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得 ，即 与 有两个交点． 【详解】令 ，则 与 有两个交点， 则 设直线与 相切时，切点坐标为 ，则斜率 则切线方程为 ∵切线过原点 ，代入得 ，解得 ∴ ，因为 与 有两个交点，所以 故选：D． 二、多选题（本大题共4 个小题，每题5 分，共20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的不得分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若数列 是等差数列，则 为等比数列 B. 若数列 是等比数列，则 为等差数列 C. 若数列 满足 ，则 为等比数列 D. 若数列 是等差数列， ，则 为等差数列 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等比数列定义可判断AC，对于B 当 不恒成立时根据对数意义即可判断结果，由等差 定义可判断D． 【详解】对于A，设数列 的公差为 ，则 ，首项为 所以 为等比数列，故A 正确； 对于B，当 恒成立时，设公比为 ，有 则 为等差数列，当 不恒成立时，设 则 无意义，故B 不成立； 对于C，若 或 时， 不是等比数列，故C 不成立； 对于D，设数列 的公差为 ，由 所以 为等差数列，故D 正确； 故选：AD 10. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复合函数的求导法则可判断各选项的正误. 【详解】 ， ， ， ， 故选：AC. 11. 某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000 万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年 底需从利润中取出200 万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n 年之后，该项目的资金为 万元．（取 ， ），则下列叙述正确的是（ ） A. B. 数列 的递推关系是 C. 数列 为等比数列 D. 至少要经过6 年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2 倍）的目标 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可得 ， ，利用数列分析运算． 【详解】根据题意：经过1 年之后，该项目的资金为 万元，A 正确； ，B 不正确； ∵ ，则 即数列 以首项为1200，公比为1.2 的等比数列，C 正确； ，即 令 ，则 至少要经过6 年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2 倍），D 正确； 故选：ACD． 12. 函数 ，下列说法正确的有（ ） A. 最小值为 B. C. 当 时，方程 无实根 D. 当 时，若 的两根为 ， ，则 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得其单调性，画出函数图象，进而判断出ABC 的正误．对于D，当 时，若 的两根为 ， ，则 ，下面给出证明构造函数 ， ．利用导数研究函数的单调性及其与最值即可得出结 论． 【详解】解： ，定义域 ， ， 或 时， ；当 时 ． 和 时，函数 单调递减； ，函数 单调递增． 画出函数图象如下所示： 对于A．可得 时， ，因此函数 无最小值； 对于B． ，函数 单调递增， ， ）， ，因此B 正确； 对于C．当 时，方程 有一个实根，因此C 不正确； 对于D．当 时，若 的两根为 ， ，则 ，下面给出证明：不妨设 ， 要证明 ，即证明 ，即证明 ， 构造函数 ， ， ． ， ， ， ， ， ，即 成立，因此当 时，若 的两根为 ， ，则 ，故D 正确． 故选：BD． 第Ⅱ卷（共90 分） 三、填空题（共4 个小题，每题5 分，共20 分） 13. 已知数列 的递推公式 ，且首项 ，则 ______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用递推公式逐项计算可得出 的值. 【详解】因为数列 的递推公式 ，且首项 ， 则 ， ， . 故答案为： . 14. 若函数 在区间 上的最大值和最小值分别记为M，N，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出单调性，即可得出最值. 【详解】 ，令 ，解得 ， 当 ， ， 单调递增，当 ， ， 单调递减， 因为 ， ， ， 所以 ， ，所以 . 故答案为： . 15. 若函数 在区间 内不单调，则k 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求解出 ，采用分类讨论的方法分析 的单调性，从而求解出满足题意要求的 的取值 范围. 【详解】因为 ，且 ， 当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，不符合； 当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减，不符合； 当 时，若 ，则 ，若 ，则 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，符合题意， 综上可知： . 故答案为： . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，其中涉及到根据单调性求解参数范围，难度一般.本例中的 “不单调”问题也可以先转化为“单调”问题，求出结果后再取其补集也能得到对应结果. 16. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广 泛，若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列．如果函数 ，数列 为牛顿数列，设 ，且 ， ．数列 的前 项和为 ，则 ______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先由题设得到： ，进而求得 ，从而有 ，即可得数列 数列 是首项为，公比为 的等比数列，再利用等比数列的前 项和公式求得结果． 【详解】∵ ，∴ ， 又∵ ， ∴ ， ， ∴ ， 又 ∴ ， 又 ，且 ， 所以 ， ∴数列 是首项为，公比为 的等比数列， ∴ 的前 项和为 ，则 . 故答案为 ： . 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分，解答题应写出文字说明，推理证明或演算步骤） 17. 已知数列 的前 项和为 ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，其前 项和为 ，求 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由 可求得数列 的通项公式； （2）求得 ，利用裂项相消法可求得 . 【小问1 详解】 解：由题意可知， ， 当 时，有 ， 又因为 ，所以 时， 也成立, 所以 的通项公式为 . 【小问2 详解】 由（1）知 ，所以 所以 . 18. 今年两会期间，国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣．某中 学体育组对高二的 名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图（引体向上个 数记为整数）．体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组． （1）第一小组决定从单次完成 个引体向上的男生中，按照分层抽样抽取 人进行全面的体能测试， 从这 人中抽取 人进行个别访谈，求恰有一人单次能完成 个引体向上的概率； （2）第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，发现这 人中，体育优秀的学生占 总人数的 ，双优学生（体育与学业都优秀）占总人数的 ，体育成绩不优秀的学生中，学业优 秀与学业不优秀之比为 ．请你完成联表并判断是否有 的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？ 学业优秀 学业不优秀 总计 体育成绩不优秀 体育成绩优秀 总计 参考公式：独立性检验统计量 ，其中 ． 下面的临界值表供参考： 【答案】（1） （2）填表见解析，有的 把握认为体育锻炼与学业成绩有关 【解析】 【分析】（1）在所抽取的 人中，分别求出抽取的单次完成 个、 个、 个引体向上的人 数，利用古典概型的概率公式以及组合计数原理可求得所求事件的概率； （2）根据题中信息完善 列联表，计算出 的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1 详解】 解： ， 按照分层抽样抽取 人进行全面的体能测试， 其中抽取的 单次完成 个引体向上的人数为 ， 抽取的单次完成 个引体向上的人数为 ， 抽取的单次完成 个的引体向上的人数为 ， 记“恰有一人单次能完成 个引体向上”为事件 ，则 . 【小问2 详解】 解：列联表如下表所示： 学业优秀 学业不优秀 总计 体育成绩不优秀 体育成绩优秀 总计 因为 ， 所以有 的把握认为体育锻炼与学业成绩有关. 19. 已知函数 ． （1）若函数 在区间 上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）当 时，若函数 的图像与直线 有3 个不同的交点，求实数m 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得 在 恒成立，分离参数即可求解； （2）先求得 ，得出函数的单调性，数形结合即可求出. 【小问1 详解】 由题可知： 在 恒成立． 即 在 恒成立． 因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 ， 所以实数a 的取值范围是 ； 【小问2 详解】 由 ，解得 ，所以 ． 则 ， 令 得 或 ，令 得 ， 所以函数 在 上是增函数， 上是减函数， 上是增函数， 当 时， 取得极大值，故 的极大值为 ． 当 时， 取得极小值，故 的极小值为 ． 因为函数 的图像与直线 有3 个不同的交点，则 ． 20. 自公安部交通管理局部署全国公安交管部门开展“一盔一带”安全守护行动以来，德州市电动自行车 安全头盔平均佩戴率大幅提升．下表是德州市一主干路段对电动车驾驶人和乘坐人“不佩戴安全头盔”人 数统计数据： 月份 8 9 10 11 12 不佩戴安全头盔人数 160 120 100 70 50 附：回归方程 中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为 ， ． 相关系数 ， ． （1）请利用相关系数说明“不佩戴安全头盔”与月份有很强的线性相关关系（系数精确到0.01）； （2）求y 关于x 的回归方程． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）计算 的值，根据相关系数的公式求得相关系数，即可说明“不佩戴安全头盔”与月份 有很强的线性相关关系； （2）利用最小二乘法估计公式求得回归方程的系数，即得答案. 【小问1 详解】 由题意得， ， ， ， ， ， 则 ， 故不佩戴头盔与月份有很强的线性相关关系． 【小问2 详解】 ， ， 所以y 与x 之间线性回归方程为 . 21. 已知数列 是等差数列， 是等比数列，且 ， ， ， ． （1）求数列 、 的通项公式； （2）设 ，数列 的前n 项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立， 求实数 的取值范围． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列 ，等比数列 代入计算； （2）利用错位相减法可得 ，讨论n 的奇偶结合恒成立问题运算处理． 【小问1 详解】 因为数列 是等比数列，则可得 ，解得 所以 ． 因为数列 是等差数列，且 ， ，则公差 ， 所以 ． 故 ， 【小问2 详解】 由（1）得： ， 数列 的前n 项和为 ① 所以 ② 由①-②得： ， 所以 ． 不等式 恒成立，化为 成立， 令 且 为递增数列，即转化为 当 时， 恒成立，取 ，所以 ． 当 时， 恒成立，取 ， ，所以 ． 综上可得：实数 的取值范围是 ． 22. 设函数 ， ． （1）讨论函数 的单调性； （2）当 时，若关于x 的不等式 在 上恒成立，求实数b 的取值范 围． 【答案】（1）答案见详解； （2） ． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，讨论 与 即可分析其单调性； （2）法一：令 ，求导得 ，根据 的单调性分析 单调性，再求出 的最小值，从而得b 的取值范围；法二，令 ，则 在R 上恒成立，分离参数求函数最值即可． 【小问1 详解】 的定义域为 ， 当 时， ，故 在R 上递减． 当 时，令 得 ，令 得 综上可知： 时， 在 上单调递减 时， 在 上单调递减，在 单调递增 【小问2 详解】 当 时， ，所以 因为 在 恒成立，即 在 恒成立 法一：令 ， 令 ， ， 所以 在 单调递增，又 所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增 所以当 时， ，所以 法二：式化为 令 ， 则 在R 上恒成立，所以 令 ， ，令 所以 在 单调递减，在 单调递增， 所以 所以 ．