河北省张家口市重点高中2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题

高二上学期开学考试 数学试题 一、选择题： 1、设mR，复数z=m²-1+（m-1）i 表示纯虚数，则m 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 0 2、若向量a，b 满足=3，a⋅（b-a）= --1，则a 与b 的夹角为（ ） A. 30° B.45° C.60° D.90° 3．某企业开展“学党史庆建党 周年”活动，为了解该企业员工对党史的学习情况，对 该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在 四个区间内，根据调查结果得 到如下统计图.已知该企业男员工占 ，则下列结论正确的是（ ） A．男、女员工得分在 区间的占比相同 B．在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数 C．得分在 区间的员工最多 D．得分在 区间的员工占总人数的 4、已知向量a=（1 , 2），b=（2， x），且a⋅b= --1，则x 的值等于（ ） A . B. - C. D. - 5、若a 为实数，且 = 3 +i, 则a=( ) A. -4 B. -3 C. 3 D. 4 6．若 ， ， ， ， 为空间直线， ， 为平面，则下列说法错误的是（ ） A． ， ，则 B． ， ， ，则 C． ， ， ，则 D． ， 是异面直线，则 ， 在 内的射影为两条相交直线 7、在△ABC 中，cosA= ，a= ，b= ，则B 等于（ ） A. 45°或135° B. 135° C. 45° D. 60° 8、设平面向量a=（1 , 2），b=（-2，y），若a∥b 则=（ ） A. B. C. D. 9、已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形 成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A. B. C. π D. π 10．已知在一次射击预选赛中，甲，乙两人各射击10 次，两人成绩的条形统计图如图所示， 则下列四个选项中判断正确的是（ ） A．甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位 数 C．甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 11．在△ABC 中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，已知 ， ， 且 ，则（ ） A． cosB= B． C． D． 12．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童 有外接球，且 ， ， ， ，平面 与 平面 间的距离为，则该刍童外接球的体积为 A． B． C． D． 二、填空题： 13、样本中有5 个个体，其值分别为a，0,1,2,3，若该样本平均数为1，则样本方差为 。 14、已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH:HB=1:2，AB⊥平面，H 为垂足，截球O 所得截 面的面积为π，则球O 的表面积为 。 15、一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出 发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为m，则圆锥底面圆的 半径为 。 16．在棱长为1 的正方体 中， 为线段 上的动点， 下列说法正确的是 ⑴．对任意点 ， 平面 ⑵．三棱锥 的体积为 ⑶．线段 长度的最小值为 ⑷．存在点 ，使得 与平面 所成角的大小为 三、解答题 17． 的内角 的对边分别为 ，已知 ． （1）求 ； （2）若 ， 面积为2，求 ． 18 在直三棱柱ABC-中，∠BAC=90°，AB=AC=A. （1）求证：A⊥平面 （2）若D 为的中点，求AD 与所成角的正弦值。 19．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100 户居民去年一年的月均用电量， 发现他们的用电量都在50kW·h 至350kW·h 之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图 如图所示． （I）求a 的值； （Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW·h 的户数； （III）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定 价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位： kW·h）的建议，并简要说明理由． 20．在 中,内角A,B,C 及其所对的边a,b,c 满足:C 为钝角, . (1)求证: ; (2)若 ,求a 的取值范围. 21．在矩形ABCD 中，AB＝1，BC＝2，E 为AD 的中点，如图1，将 沿BE 折起， 使得点A 到达点P 的位置（如图2），且平面PBE⊥平面BCDE （1）证明：PB⊥平面PEC； （2）若M 为PB 的中点，N 为PC 的中点，求三棱锥M﹣CDN 的体积. 22．在四棱锥 中， 平面 ， AB∥DC ， ， ， ， 是 的中点， 在线段 上，且满足 . （1）求证： DE∥平面 ； （2）求二面角 的余弦值； （3）在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的余弦值是 ，若存在， 求出 的长；若不存在，请说明理由. 数学答案 一． 选择题： 1.B 2.C 3.A 4.D 5. D 6. D 7. C 8. A 9.B 10.C 11. D 12.C 二．填空题。 13. 2 14. 15. m 16.⑴⑵⑶ 三．解答题。 17.解：（1） ，∴ ，∵ ， ∴ ，∴ ，∴ ； （2）由（1）可知 ， ∵ ，∴ ， ， ∴ ． 18. 19. 解: （1）因为 ，所以 ； （2）根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW·h”的频率为 ， 所以用电量大于250kW·h 的户数为： ， 故用电量大于250kW·h 有 户； （3）因为前三组的频率和为： ， 前四组的频率之和为 ， 所以频率为 时对应的数据在第四组， 所以第一档用电标准为： kW·h. 故第一档用电标准为 kW·h. 20. （1）证明：由 ，得 . 在 中，因为 ，所以 . 所以 ， 整理得 . 因为C 为钝角，所以 ，所以 ， 故 . （2）由正弦定理及（1）得 . 因为 ，所以 . 因为C 为钝角， 所以 ， 即 ， 所以 ，所以a 的取值范围为 . 21.解：（1）证明：由题意，得 ， ∴BE2+CE2＝BC2，即BE⊥CE， 又∵平面PBE⊥平面BCDE，交线为BE， ∴CE⊥平面PBE，∴CE⊥PB， 又 ， ∴PB⊥平面PEC； （2）取BE 中点O，连接PO，∵PB＝PE， ∴PO⊥BE，且 ， 又∵平面PBE⊥平面BCDE，交线为BE， ∴PO⊥平面BCDE， ∵M 为PB 的中点，N 为PC 的中点， 22. 解：详解：（1）证明：取 的中点 ， 的中点 ，连接 和 ， ∴CD∥AB 且 ， ∴ ， 分别为 ， 的中点. 且 ∴ 且 ，四边形 为平行四边形， ∴ ， 平面 ， 平面 ， ∴DE∥平面 . （1）由题意可得 ， ， 两两互相垂直，如果，以 为原点， ， ， 分别是 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ∴ ，令 ∴ 又 ，∴ ，∴ 平面 ∴ ∥平面 （2）设点 坐标为 则 ， ， 由 得 ，∴ 设平面 的法向量为 ， 由 得 即 令 ∴ 则 又由图可知，该二面角为锐角 故二面角 的余弦值为 （3）设 ， ，∴ ∴ ∴ ∵ 与平面 所成角的余弦值是 ∴其正弦值为 ∴ ，整理得： ，解得： ， （舍） ∴存在满足条件的点 ， ，且