高中物理新教材同步必修第一册 第3章 4 第2课时 力的效果分解法和力的正交分解法

第2 课时 力的效果分解法和力的正交分解法 [学习目标] 1.学会根据力的效果分解力.2.初步理解力的正交分解法.3.会根据不同给定条件 分解力． 一、按效果分解力 导学探究 1．如果不受限制，分解同一个力能作出多少平行四边形？有多少组解？ 答案 无数个 无数组 2．已知合力F 和两分力的方向(如图1)，利用平行四边形定则，能作多少平行四边形？两分 力有几组解？ 图1 答案 1 个 1 组 3．如图2 甲所示，小明用斜向上的力拉行李箱，其简化图如图乙所示，拉力会产生两个效 果，如何分解拉力，写出两个分力大小． 图2 答案 如图所示，F1＝Fcos θ，F2＝Fsin θ 4．如图3，将一质量为m 的木块放在倾角为θ 的斜面上，木块的重力产生哪两个效果，如 何分解重力，写出两个分力的大小． 图3 答案 一个效果使木块沿斜面下滑，另一个效果使木块压紧斜面． G1＝mgsin θ，G2＝mgcos θ 知识深化 1．按效果分解 (1)分解原则：根据力的作用效果确定分力的方向，然后再画出力的平行四边形． (2)基本思路 2．两种常见典型力的分解实例 实例 分析 地面上物体受到斜向上的拉力F 可分解为水平向前的力F1 和竖直向上的力F2，F1＝Fcos θ，F2＝Fsin θ 放在斜面上的物体的重力产生两个效果：一是使物体具有 沿斜面下滑的趋势；二是使物体压紧斜面；F1＝mgsin α， F2＝mgcos α 如图4 所示，一质量分布均匀的小球静止在固定斜面和竖直挡板之间，各接触面均 光滑，小球质量为m＝100 g，按照力的效果作出重力及其两个分力的示意图，并求出各分 力的大小．(g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 图4 答案 见解析图 0.75 N 1.25 N 解析 把球的重力沿垂直于斜面和垂直于挡板的方向分解为力G1和G2，如图所示： G1＝Gtan 37°＝100×10－3×10×0.75 N＝0.75 N； G2＝＝ N＝1.25 N. 在日常生活中，力的分解有着广泛的应用，如图5 甲用斧子把木桩劈开，已知两个 侧面之间的夹角为2θ，斧子对木桩施加一个向下的力F 时，产生了大小相等的两个侧向分 力F1、F2，由图乙可得下列关系正确的是( ) 图5 A．F1＝F2＝ B．F1＝F2＝ C．F1＝F2＝ D．F1＝F2＝ 答案 A 解析 根据力的平行四边形定则，力F 与它的两个分力如图所示，由几何关系知F1＝F2 ＝，故A 正确． 二、力的正交分解法 1.力的正交分解法 把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解的方法叫力的正交分解法． 如图6 所示，将力F 沿x 轴和y 轴两个方向分解，则 图6 Fx＝Fcos α Fy＝Fsin α 2．正交分解法求合力 (1)建立直角坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x 轴和y 轴的选择应使尽量 多的力在坐标轴上． 图7 (2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x 轴和y 轴上，并求出各分力的大小， 如图7 所示． (3)分别求出x 轴、y 轴上各分力的矢量和，即：Fx＝F1x＋F2x＋…，Fy＝F1y＋F2y＋…. (4)求共点力的合力：合力大小F＝，设合力的方向与x 轴的夹角为α 则tan α＝. 在同一平面内的三个力F1、F2、F3的大小依次为18 N、40 N、24 N，方向如图8 所 示，求它们的合力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 图8 答案 50 N，方向与F1相同 解析 建立直角坐标系，把F2分解 F2x＝F2cos 37°＝32 N F2y＝F2sin 37°＝24 N Fy＝F2y－F3＝0 Fx＝F2x＋F1＝50 N 所以合力F＝Fx＝50 N，方向与F1相同． 如图9 所示，甲、乙、丙三个物体质量相同，与地面间的动摩擦因数均相同，受到 三个大小相同的作用力F，当它们滑动时，下列说法正确的是( ) 图9 A．甲、乙、丙所受摩擦力相同 B．甲受到的摩擦力最大 C．乙受到的摩擦力最大 D．丙受到的摩擦力最大 答案 C 解析 将甲、乙图中的F 沿水平方向和竖直方向正交分解，则三个物体对地面的压力分别 为FN 甲＝mg－Fsin θ，FN 乙＝mg＋Fsin θ，FN 丙＝mg，因它们均相对地面滑动，由Ff＝μFN知， Ff 乙>Ff 丙>Ff 甲，故C 正确． 三、力的分解中定解条件讨论 把力按照题中给定的条件分解．若代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段能构成平 行四边形(或三角形)，说明合力可以分解成给定的分力，即有解；若不能，则无解．常见的 有几种情况． 已知条件 分解示意图 解的情况 已知两个分力的方向 唯一解 已知一个分力的大小和方 向 唯一解 已知一个分力(F2)的大小和 另一个分力(F1)的方向 ①F2＜Fsin θ 无解 ②F2＝Fsin θ 唯一解 ③Fsin θ＜F2＜F 两解 ④F2≥F 唯一解 一个成人与一个小孩分别在河的两岸拉一条船，船沿河岸前进，成人的拉力为F1＝ 400 N，方向如图10 所示(未画出小孩的拉力方向)，要使船在河流中平行于河岸行驶．求小 孩对船施加的最小力F2的大小和方向． 图10 答案 200 N 方向垂直于河岸 解析 为使船在河流中平行于河岸行驶，必须使成人与小孩的合力平行于河岸方向，根据三 角形定则，将F2的起点与F1的“箭头”相连，只要F1的起点与F2的“箭头”的连线落在平 行于河岸的方向上，F1、F2的合力F 的方向就与河岸平行，如图所示，当F2垂直于河岸时， F2最小，得F2min＝F1sin 30°＝400× N＝200 N. 即小孩对船施加的最小力F2的大小为200 N，方向垂直于河岸． 1．(力的效果分解)将处于静止状态的物体所受重力按力的效果进行分解，图中错误的是( ) 答案 C 解析 图C 中重力的两个效果分别是使物体挤压斜面和竖直面，两分力应分别垂直于斜面 和竖直面． 2.(力的效果分解)如图11 所示，小明在倾斜的地面上使用一台没有故障的体重秤，那么测出 来的体重示数比他实际体重( ) 图11 A．偏大 B．偏小 C．准确 D．不准确，但无法判断偏大还是偏小 答案 B 解析 在倾斜的地面上使用一台体重秤测体重，该情景可简化为斜面模型，人站在斜面上， 受到的支持力大小等于重力G 垂直于斜面的分力，为Gcos θ(θ 为斜面的倾角)，故人对体重 秤的压力大小等于Gcos θ，该力小于重力，即测出的体重比实际体重小，选项B 正确． 3.(力的正交分解)如图12 所示，重为30 N 的物体A 放于水平桌面上，现用大小为20 N、方 向与水平方向成30°角的力拉物体A，物体A 仍保持静止，则物体A 对桌面的压力大小为( ) 图12 A．30 N B．20 N C．10 N D．0 答案 B 解析 将拉力F 沿水平方向和竖直方向分解，如图所示， 则F2＝Fsin 30°＝20× N＝10 N， 故桌面对A 的支持力大小FN＝G－F2＝20 N， 由牛顿第三定律知FN′＝FN＝20 N，B 项正确． 4．(力的分解的讨论)已知两个共点力的合力大小为50 N，分力F1的方向与合力F 的方向成 30°角，分力F2的大小为30 N，则( ) A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的 C．F2有两个可能的方向 D．F2可取任意方向 答案 C 解析 如图所示，以F 的“箭头”为圆心，以F2的大小30 N 为半径画一个圆弧，与F1所在 直线有两个交点，因此F2有两个可能的方向，F1的大小有两个可能的值，C 正确． 考点一 按效果分解力 1．如图1，将F 沿水平和竖直方向分解，则其竖直方向的分力为( ) 图1 A．Fsin θ B．Fcos θ C. D. 答案 A 解析 将F 按作用效果分解为水平方向和竖直方向的分力，根据平行四边形定则，竖直方 向上的分力为Fsin θ，故A 正确，B、C、D 错误． 2.如图2，静止在斜面上的重物的重力可以分解为沿斜面方向向下的分力F1和垂直于斜面方 向的分力F2，关于这两个分力，下列说法正确的是( ) 图2 A．F1作用在物体上，F2作用在斜面上 B．F2的性质是弹力 C．F2就是物体对斜面的正压力 D．F1和F2是与物体的重力等效的力，实际存在的就是重力 答案 D 解析 物体受重力、支持力与摩擦力．而F1、F2是重力的两个分力，实际不存在，物体实 际受到的就是重力，作用在物体上，所以A 错误，D 正确； F2是使物体紧压斜面的分力，不是物体对斜面的正压力，根据平衡条件，F2与斜面对物体 的支持力相等，所以B、C 错误． 3.小明想推动家里的衣橱，但使出了很大力气也推不动，他便想了个妙招，如图3 所示，用 A、B 两块木板，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中央一站，衣橱居然被推动了！下 列说法正确的是( ) 图3 A．这是不可能的，因为小明根本没有用力去推衣橱 B．这是不可能的，因为无论如何小明的力气也没那么大 C．这有可能，A 板对衣橱的推力有可能大于小明的重力 D．这有可能，但A 板对衣橱的推力不可能大于小明的重力 答案 C 解析 由小明所受重力产生的效果分解，小明的重力可分解为沿两个木板方向的分力，由于 两个木板夹角接近180°，根据平行四边形定则，可知分力远大于小明的重力，选项C 正确． 4.(2019·沈阳市期中)如图4 所示为斧头劈柴的剖面图，BC 边为斧头背，AB、AC 边为斧头的 两刃面．要使斧头更容易劈开木柴，需要( ) 图4 A．BC 边短一些，AB 边也短一些 B．BC 边长一些，AB 边短一些 C．BC 边短一些，AB 边长一些 D．BC 边长一些，AB 边也长一些 答案 C 解析 如图所示，斧头对木柴的作用力按力的作用效果可分解为对木柴两端的两个压力，两 压力大小相等、与斧头的AB、AC 边相互垂直，由几何关系可知，当BC 边短一些，AB 边长 一些时，两力之间的夹角更大，则在合力不变的情况下两分力更大，即斧头更容易劈开木柴， C 正确，A、B、D 错误． 考点二 力的正交分解 5.如图5 所示，物块m 静止于一斜面上，斜面固定．若将斜面的倾角θ 稍微增大一些，物块 m 仍静止在斜面上，则( ) 图5 A．斜面对物块的摩擦力变小 B．斜面对物块的摩擦力变大 C．斜面对物块的支持力变大 D．物块所受的合外力变大 答案 B 解析 物块m 静止不动，受力平衡，可对物块受力分析：重力mg、支持力FN和摩擦力Ff， 将重力G 沿平行斜面方向和垂直斜面方向分解，由平衡条件得知：FN＝mgcos θ Ff＝mgsin θ 则知，θ 稍微增大一些，FN变小，Ff变大，故A、C 错误，B 正确；物块m 始终静止在斜面 上，合力始终为零，故D 错误． 6.(多选)如图6 所示，质量为m 的物体放在水平桌面上，在与水平方向成θ 角的拉力F 作用 下保持静止，已知物体与桌面间的动摩擦因数为μ，下列判断正确的是( ) 图6 A．物体对地面的压力为mg B．物体受到地面的支持力为mg－Fsin θ C．物体受到的摩擦力为F D．物体受到的摩擦力为Fcos θ 答案 BD 解析 对物体受力分析，如图所示： 物体对地面的压力与地面对物体的支持力是作用力与反作用力，而支持力FN＝mg－F·sin θ，故A 错误，B 正确； 物体受到的摩擦力为Ff＝Fcos θ，故C 错误，D 正确． 考点三 力的分解的讨论 7.如图7 所示，将一个已知力F 分解为F1和F2，已知F＝10 N，F1与F 的夹角为37°，则F2 的大小不可能是(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( ) 图7 A．4 N B．6 N C．10 N D．100 N 答案 A 解析 根据力的合成与分解，只有当F2与F1垂直时，F2最小，此时F2＝Fsin 37°＝10×0.6 N＝6 N，所以不可能是4 N，故选A. 8．将力F 分解成F1和F2，若已知F1的大小以及F2与F 的夹角θ(θ 为锐角)，则错误的是( ) A．当F1<Fsin θ 时，无解 B．当F1＝Fsin θ 时，有一解 C．当F<F1时，有一解 D．当F1>Fsin θ 时，有两解 答案 D 解析 F1<Fsin θ 时，分力和合力不能构成三角形，无解，故A 正确． 当F1＝Fsin θ 时，两分力和合力恰好构成三角形，有唯一解，故B 正确． 当F>F1>Fsin θ 时，根据平行四边形定则，有两组解；若F1>F，只有一组解，故C 正确，D 错误． 9.如图8 所示，轻杆OB 左端用铰链与墙连接，与竖直方向的夹角为θ，右端用轻绳与墙连 接，轻绳OA 水平，质量为m 的物体悬挂在O 点，设轻绳OA 和轻杆OB 作用于O 点的弹力 分别为F1和F2，以下结果正确的是( ) 图8 A．F1＝mgsin θ B．F1＝ C．F2＝mgcos θ D．F2＝ 答案 D 解析 mg 可分解为沿绳向外的分力和沿杆斜向下的分力，如图所示， 则F1＝mgtan θ，F2＝， 故选D. 10.如图9 所示，将绳子的一端系在汽车上，另一端系在等高的树干上，两端点间绳长为10 m．用300 N 的拉力把水平绳子的中点往下拉离原位置0.5 m，不考虑绳子的重力和绳子的 伸长量，则绳子作用在汽车上的力的大小为( ) 图9 A．1 500 N B．6 000 N C．300 N D．1 500 N 答案 A 解析 由题意可知绳子与水平方向夹角的正弦值为sin α＝＝0.1，所以绳子的作用力为F 绳＝ ＝1 500 N，A 项正确，B、C、D 项错误． 11.如图10 所示，用绳AB 和BC 吊起一重物P 处于静止状态，AB 绳与水平面间的夹角为 53°，BC 绳与水平面的夹角为37°.求：当所挂重物质量为10 kg 时，AB 绳、BC 绳上的拉力 各为多大？(g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)． 图10 答案 80 N 60 N 解析 结点B 受到三根绳子的拉力处于平衡状态，BP 绳的拉力等于重物的重力mg，如图所 示，根据力的分解可得： F AB＝mgcos 37°＝10×10×0.8 N＝80 N FBC＝mgsin 37°＝10×10×0.6 N＝60 N. 12.如图11 所示，在水平地面上用绳子拉一质量m＝46 kg 的箱子，绳子与地面的夹角为 37°，拉力F＝100 N 时箱子恰好匀速移动．g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求： 图11 (1)箱子所受的摩擦力大小； (2)地面和箱子之间的动摩擦因数． 答案 (1)80 N (2)0.2 解析 (1)以箱子为研究对象，受力分析如图， 水平方向所受合力为零：Fcos 37°－Ff＝0 代入数据解得：Ff＝80 N (2)竖直方向所受合力为零：FN＋Fsin 37°－mg＝0 代入数据解得：FN＝400 N 由Ff＝μFN 可得：μ＝＝0.2. 13．(2019·西安一中模拟)如图12 所示是扩张机的原理示意图，A、B 为活动铰链，C 为固定 铰链，在A 处作用一水平力F，滑块就以比F 大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0 m，b＝0.05 m，F＝400 N，滑块与左壁接触，接触面光滑，则D 受到向上顶的力为(滑块和 杆的重力不计)( ) 图12 A．3 000 N B．2 000 N C．1 000 N D．500 N 答案 B 解析 将力F 按作用效果沿AB 和AC 两个方向进行分解，作出力的分解图如图甲所示． 则有2F1cos α＝F，则得F1＝F2＝ 再将F1按作用效果分解为FN和FN′，作出力的分解图如图乙所示． 则有FN＝F1sin α， 联立得FN＝ 根据几何知识得tan α＝＝10 得FN＝5F＝2 000 N，故选项B 正确．