福建省龙岩第一中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题

试卷第1页，共4页 龙岩一中2022-2023 学年第一次月考 高一数学试题 全卷满分150 分，考试时间120 分钟 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项” ． 第Ⅰ卷（选择题 共60 分） 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1．给出下列关系：①π R  ；② 3 Q ；③3 Z ；④| 3| N ；⑤0Q，其中正确的个数（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知命题p ： 1 x ， 0 1 2   x x ，则 p 为（ ） A． 1 x ， 0 1 2   x x B． 1 x ， 0 1 2   x x C． 1 x ， 0 1 2   x x D． 1 x ， 0 1 2   x x 3．若 0  b a ，则下列结论一定成立的是（ ） A． b a 1 1  B． b a a b  C． 1 1   a b a b D． a b b a 1 1    4．函数  2 1 x f x x   的图象大致是（ ） A． B． C． D． 5．“ 2 2 5 3 0 x x    ”的一个必要不充分条件是（ ） A． 1 3 2 x    B．1 6 x   C． 1 3 2 x   D． 1 0 2 x    试卷第2页，共4页 6．若 0 x  ，则 1 2 4 x x   有（ ） A．最小值1  B．最小值3  C．最大值1  D．最大值3  7．对于函数  b f x ax x   ，下列说法正确的是（ ） A．若 0 a  ， 0 b  ．则函数 ) (x f 的最小值为 2ab B．若 0 a  ， 0 b  ，则函数 ) (x f 的单调递增区间 , , b b a a                    C．若 0 a  ， 0  b ，则函数 ) (x f 是奇函数 D．若 0 a  ， 0  b ，则函数 ) (x f 是单调函数 8．已知函数  2 1 , ( 1) 4 3, ( 1) x x f x x x x         ．若 ( ( )) 0 f f m  ，则实数m 的取值范围是（ ） A．[ 2,2]  B．[ 2,2] [3, )    C．[ 2,2 2 ]   D．[ 2,2 2 ] [4, )     二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9．右图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A．    A B B C    B． ) ( C A C B U   C．   B A C   D． ) ( C A B CU   10．下列四个命题中的假命题为（ ） A．   0 , 1 , 1   x ，2x＋1>0 B．所有素数都是奇数 C． “ B A 为空集”是“ A 与B 至少一个为空集”的充要条件 D．命题p： 0 6 5 2   x x . 命题q： 4  x . 则p 是q 的充分不必要条件 11.下列对应中是函数的是（ ） A. y x  ，其中 } 4 , 3 , 2 , 1 { , 1 2    x x y ， } , 10 { N x x x y    ； B. y x  ，其中 x y  2 ， ) , 0 [   x ， R y  ； C. y x  ，其中y 为不大于x 的最大整数，x R  ， Z y  ； 试卷第3页，共4页 D. y x  ，其中 1 y x   ，  N x ，  N y . 12．对于定义在D 函数 ) (x f 若满足: ①对任意的x D  ， 0 ) ( ) (    x f x f ; ②对任意的 D x  1 ，存在 D x  2 ，使得     1 2 1 2 2 2 f x f x x x    . 则称函数 ) (x f 为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（ ） A． x x f 2 ) (  B．  2 2 0 1 1 0 x x f x x x        ， ， C． x x f 1 ) (  D．  1 1 x f x x    第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分． 13．如果不等式 1 ax 的解集       a x x 1 ，则a 的取值范围是_________. 14．已知集合   1 1 A x x    ，   1, B y y x x A     ，则 B CU =_____． 15．已知正实数, a b 满足 4 1 1 1 a b b     ，则 2 a b  的最小值为__________. 16．设 ] [x 表示不大于x 的最大整数，则下列说法不正确的是__________ ① ] [ ] [ x x    ②   x x x 2 2 1         ③  y x y x    ④  0 2 2   x x 的解集是  3 2    x x 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17． （本小题满分10 分） 已知集合 { 5} A x Z x     ∣ 0 ，集合 {01,2} B  ， ． (1)求A B A B  ， ； (2)求A B  的所有子集，并求出它的非空真子集的个数. 试卷第4页，共4页 18． （本小题满分12 分） 已知函数    2 2 2 f x ax a x     （其中 R a  ） ． (1)当 3 a 时，解关于x 的不等式  0 f x  ； (2)若  7 4 f x  的解集为R ，求实数a 的取值范围． 19． （本小题满分12 分） 已知函数  3 7 2 x f x x    ， ] 1 , 1 [  x (1)用单调性定义证明  f x 在[ 1,1]  上单调递减，并求出其最大值与最小值： (2)若  f x 在[ 1,1]  上的最大值为m ，且 ( 0, 0) a b m a b     ，求 4 b a b  的最小值. 20． （本小题满分12 分） 某厂家拟进行某产品的促销活动， 根据市场情况， 该产品的月销售量a 万件与月促销费用x 万元 （ 0 x  ） 满足关系式 10 1 k a x   （k 为常数） ，如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1 万件.已知生产该产 品每月固定投入为8 万元，每生产一万件该产品需要再投入5 万元，厂家将每件产品的销售价定为 9 6 a        元，设该产品的月利润为y 万元.（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用） (1)将y 表示为x 的函数； (2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？ 21． （本小题满分12 分） 已知 ) (x f 是定义在R 上的函数，且 0 ) ( ) (    x f x f ， 0  x 时， 2 2 ) ( x x x f   ， (1)求函数 ) (x f 的解析式； (2)设             ) 1 , ( , 3 2 ) 6 ( ) , 1 [ ), ( ) ( 2 x m x m x x x f x g ，且 g x 在R 上单调递减，求m 的取值范围. 22． （本小题满分12 分） 定义函数=  f x 与 g x 在区间I 上是同步的：对x I ，都有不等式  0 f x g x  恒成立． (1)函数    2 0 f x x ax a a     与 b x x g  2 ) ( 在区间  1,上同步，求实数b 的取值范围； (2)设 0  a ，函数  2 3 f x x a   与 b x x g  2 ) ( 在以 b a, 为端点的开区间上同步，求a b  的最大值. 答案第1页，共4页 龙岩一中2022-2023 学年第一次月考高一数学试题 参考答案 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1．A 2．B 3．D 4．B 5．B 6．D 7．C 8．D 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9．AC 10．BCD 11．AC 12．ABC 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13． 0 a  14． 2 x x 或  0 x  15．8 16．①③④ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17． （本小题满分10 分） （1）解得 { 5}={1,2,3,4} A x x      ∣ 0 ，所以 } 4 , 3 , 2 , 1 , 0 { } 2 , 1 {    B A B A ；  ；5 分 （2）A B  的子集为 } 2 , 1 { } 2 { } 1 { ， ， ，  ，非空真子集有2 个. 10 分 18．（本小题满分12 分） （1）当 3 a 时，由  2 3 5 2 0 f x x x     得 2 3 5 2 0 x x    ，    3 1 2 0 x x    ，解得 1 2 3 x   ， 4 分 所以不等式  0 f x  的解集为 1 2,3        . 5 分 （2）依题意    2 7 2 2 4 f x ax a x      恒成立， 即   2 1 2 0 4 ax a x     恒成立， 6 分 当 0 a  时， 1 2 0 4 x    不恒成立，不符合题意. 7 分 当 0 a  时，   2 1 2 0 4 ax a x     不恒成立，不符合题意. 8 分 当 0 a  时，要使   2 1 2 0 4 ax a x     恒成立， 则需   2 2 1 2 4 0, 5 4 0 4 a a a a         ， 10 分 答案第2页，共4页    1 4 0 a a    ，解得1 4 a   . 所以a 的取值范围是  1,4 . 12 分 19．（本小题满分12 分） （1）解：设 1 2 , x x 是区间[ 1,1]  上的任意两个实数，且 1 2 x x  ， 则             1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 7 2 2 3 7 3 7 3 7 2 2 2 2 x x x x x x f x f x x x x x                1 分          1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 3 6 7 14 3 7 6 14 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x               ， 3 分 因为   1 2 , 1,1 x x  且 1 2 x x  ， 所以    2 1 1 2 0, 2 2 0 x x x x      ， 所以   2 1 1 2 0 2 2 x x x x     ，即    1 2 f x f x  ， 所以函数  f x 在[ 1,1]  上单调递减， 4 分 所以   max 1 4 f x f    ，   min 10 1 3 f x f   . 6 分 （2） 解：由（1）知  f x 在[ 1,1]  上的最大值为 4 m  ， 所以 4( 0, 0) a b a b     ， 所以 4 1 a b a b b a a b b b b a        ， 8 分 因为 0, 0 a b   ，所以 0 0 b a a b   , ， 所以 1 2 1 4 a b a b b a b a b b a b a b a b          + =3， 10 分 当且仅当b a a b  ，且 4( 0, 0) a b a b     即=2 2 a b  ， 时等号成立， 所以 4 b a b  的最小值为3. 12 分 20．（本小题满分12 分） 答案第3页，共4页 (1)由题意知当 0 x  时， 1 a ，代入 10 1 k a x    则1 10 k   ，解得 9 k  ， 1 9 10 a x   . 2 分 利润 9 6 8 5 1 y a a x a x a              ， 4 分 又因为 1 9 10 a x   ， 所以 1 1 10 11 1 1 9 9 y a x x x x x           ， [0, ) x  . 6 分 (2)由（1）知   12 1 1 9 y x x      ， 8 分 因为 0 x  时， 1 1 x ， 因为 ( 1 6 1 9 ) 2 9 x x      ，当且仅当 2 x  时等号成立. 10 分 所以 12 6 6 y    ， 故月促销费用为2 万元时，该产品的月利润最大，最大为6 万元. 12 分 21．（本小题满分12 分） (1)由题意，任取 0 x  ，则 0 x  ，故有   2 2 f x x x    ， 因为  f x 是定义在R 上的函数，且    0 f x f x    ，即函数  y f x  是定义在R 上的奇函数， 2 分 0 x  时，    2 2 f x f x x x     ，又 0 x  时，   0 0 0 f f   ，即  0 0 f  ， 4 分 所以  2 2 2 0 2 0 x x x f x x x x        ， ， ． 6 分 (2)当   1, x    时，  2 ( 1) 1 g x f x x    ，在  1,单调递减， 7 分 又当   ,1 x   时， 2+ 6) 2 3 ( g x x m x m    ，且 g x 在R 上单调递减， 8 分 所以 6 1 2 1+ 6 2 3 1 m m m             ， 10 分 解得3 4 m   ， 即m 的取值范围为[3,4]. 12 分 答案第4页，共4页 22．（本小题满分12 分） 因为  2 2 ( 1) 0 f x x ax a x a x       ，且  0 f x g x  ，故 0 g x  ， 2 分 所以2 0 x b   恒成立，即  max 2 2 b x  ，故 2 b  4 分 (2)①当b<a 时，∵f（x）和g（x）在（b，a）上是同步的， ∴   0 f x g x   ，在（b，a）上恒成立，即   , x b a  ，   2 3 2 0 x a x b    ，恒成立， ∵b<a<0，∴   , x b a  ，2x＋b<0，∴   , x b a  ， 2 3 a x  ，∴ 2 3 b a b   ， ∴ 2 2 1 1 1 3 3 6 12 12 a b b b b              6 分 ②当a<b<0 时， ∵f（x）和g（x）在（a，b）上是同步的， ∴   0 f x g x   ，在（a，b）上恒成立，即   , x a b  ，   2 3 2 0 x a x b    ，恒成立， ∵b<0，∴   , x a b  ，2x＋b<0，∴   , x a b  ， 2 3 a x  ，∴ 2 3 a a  ， ∴ 1 0 3 a    ，∴ 1 3 b a   ． 8 分 ③当a<0<b 时，∵f（x）和g（x）在（a，b）上是同步的， ∴   0 f x g x   ，在（a，b）上恒成立，即   , x a b  ，   2 3 2 0 x a x b    ，恒成立，∵b>0，而x＝0 时，    2 3 2 0 x a x b ab     ，不符合题意． 10 分 ④当a<0＝b 时，由题意   ,0 x a  ，  2 3 2 0 x a x   ，恒成立， ∴ 2 3 0 x a   ，∴ 1 0 3 a    ，∴ 1 3 b a   ， 综上可知a b  的最大值为1 3 ． 12 分