福建省龙岩第一中学2022-2023学年高一上学期第一次月考（实验班）数学试题(1)

龙岩一中2022-2023 学年第一次月考 高一实验班数学试题 全卷满分150 分，考试时间120 分钟 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 第Ⅰ卷（选择题 共60 分） 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．给出下列关系：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中正确的个数（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知命题 ： ，x2−x+1<0 ，则 为（ ） A． ，x2−x+1≥0 B． ，x2−x+1≥0 C． ，x2−x+1≥0 D． ，x2−x+1≥0 3．若a>b>0 ，则下列结论一定成立的是（ ） A． 1 a > 1 b B． b a > a b C． b a > b+1 a+1 D．a+ 1 b >b+ 1 a 4． “ ”的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 5．已知 ， ，且 ，则 的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 6．设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则一定有（ ） A． B． C． D． 7．已知函数 ．若 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．设函数值为整数的单调递增函数 满足：对任意 ，均有 ，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分， 有选错的得0 分. 9．下列四个命题中的假命题为（ ） A．∃x∈{−1,1,0}，2x＋1>0 B．集合 与集合 是同一个集合 C．“A∩B 为空集”是“A 与B 至少一个为空集”的充要条件 D．命题p：x2−5 x+6≥0 . 命题q： x>4 . 则 p 是q 的充分不必要条件 10.下列对应中是函数的是（ ） A.x→y ，其中y=2x+1,x∈{1,2,3,4}，y={x|x<10,x∈N}； B.x→y ，其中y2=x ，x∈[0,+∞)，y∈R ； C.x→y ，其中y 为不大于x 的最大整数， ，y∈Z ； D.x→y ，其中 ，x∈N ¿ ，y∈N ¿ . 11．已知幂函数 ，下列关于 的结论正确的是( ) A． 是奇数时， 是奇函数 B． 是偶数， 是奇数时， 是偶函数 C． 是奇数， 是偶数时， 是偶函数 D． 时， 在 上是减函数 12．对于定义在D 函数f ( x)若满足: ①对任意的 ，f ( x)+f (−x)=0 ; ②对任意的x1∈D ，存在x2∈D ，使得 . 则称函数f ( x)为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（ ） A．f ( x)=2 x B． C．f ( x)=1 x D． 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分． 13．如果不等式 的解集{x|x> 1 a}，则a 的取值范围是_________. 14．已知集合 ， ，则 =_____． 15．记 表示 中的最小值，设函数 ，则 的最大 值为___________， 的解集为___________. 16．设[ x ]表示不大于x 的最大整数，则下列说法不正确的是__________ ①[−x]=−[ x] ②[ x ]+[x+ 1 2]=[2 x ] ③[x ]+[ y ]≥[x+ y ] ④[x ] 2−[x ]−2≤0 的解集是{x|−2<x<3} 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10 分） 已知集合 ，集合 ． (1)求 ； (2)求 的所有子集，并求出它的非空真子集的个数. 18．（本小题满分12 分） 已知函数 （其中 ）． (1)当 时，解关于x 的不等式 ； (2)若 的解集为 ，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分12 分）已知函数 (1)证明： 为偶函数； (2)判断 的单调性并用定义证明； (3)解不等式 20．（本小题满分12 分） 某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量a 万件与月促销费用x 万元（ ）满足关系式 （k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1 万件.已知 生产该产品每月固定投入为8 万元，每生产一万件该产品需要再投入5 万元，厂家将每件产品的销售 价定为 元，设该产品的月利润为y 万元.（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用） (1)将y 表示为x 的函数； (2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？ 21．（本小题满分12 分） 已知f ( x)是定义在R 上的函数，且f ( x)+f (−x)=0 ，x>0 时，f ( x)=2 x−x2 ， (1)求函数f ( x)的解析式； (2)设g(x)=¿{f (x),x∈[1,+∞)¿¿¿¿，且 在R 上单调递减，求m 的取值范围. 22．（本小题满分12 分） 定义函数= 与 在区间I 上是同步的：对 ，都有不等式 恒成立． (1)函数 与g( x)=2 x+b 在区间 上同步，求实数b 的取值范围； (2)设a<0 ，函数 与g( x)=2 x+b 在以a,b 为端点的开区间上同步，求 的最大值. 龙岩一中2022-2023 学年第一次月考高一实验班数学试题 参考答案 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．A 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．D 8．A 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分， 有选错的得0 分. 9．BCD 10．AC 11AB． 12．ABC 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分． 13． 14． 或 15． 4 16．①③④ 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10 分） （1）解得 ，所以A∩B={1,2}；A∪B={0,1,2,3,4} ；5 分 （2） 的子集为Φ，{1}，{2}，{1,2} ，非空真子集有2 个. 10 分 18．（本小题满分12 分） （1）当 时，由 得 ， ，解得 ， 4 分 所以不等式 的解集为 . 5 分 （2）依题意 恒成立， 即 恒成立， 6 分 当 时， 不恒成立，不符合题意. 7 分 当 时， 不恒成立，不符合题意. 8 分 当 时，要使 恒成立， 则需 ， 10 分 ，解得 . 所以 的取值范围是 . 12 分 19．（本小题满分12 分） （1）解：证明： 的定义域为 ， 又 ，故 为偶函数 3 分 （2）解： ，所以 为 上的增函数， 证明： 任取 ， ，且 ， 7 分 ∵ ，∴ ，又 ， ∴ ，即 ， ∴ 为 上的增函数 9 分 （3）解：不等式 ， 等价于 即 ，∵ 为 上的增函数， ∴ ，解得 ，故不等式的解集为 12 分 20．（本小题满分12 分） (1)由题意知当 时， ，代入 则 ，解得 ， . 2 分 利润 ， 4 分 又因为 ， 所以 ， . 6 分 (2)由（1）知 ， 8 分 因为 时， ， 因为 ，当且仅当 时等号成立. 10 分 所以 ， 故月促销费用为2 万元时，该产品的月利润最大，最大为6 万元. 12 分 21．（本小题满分12 分） (1)由题意，任取 ，则 ，故有 ， 因为 是定义在R 上的函数，且 ，即函数 是定义在R 上的奇函数， 2 分 时， ，又 时， ，即 ， 4 分 所以 ． 6 分 (2)当 时， ，在 单调递减， 7 分 又当 时， ，且 在R 上单调递减， 8 分 所以 ， 10 分 解得 ， 即m 的取值范围为 . 12 分 22．（本小题满分12 分） 因为 ，且 ，故 ， 2 分 所以 恒成立，即 ，故 4 分 (2)①当b<a 时，∵f（x）和g（x）在（b，a）上是同步的， ∴ ，在（b，a）上恒成立，即 ， ，恒成立， b<a<0 ∵ ，∴ ，2x＋b<0，∴ ， ，∴ ， ∴ 6 分 ②当a<b<0 时， f ∵（x）和g（x）在（a，b）上是同步的， ∴ ，在（a，b）上恒成立，即 ， ，恒成立， b<0 ∵ ，∴ ，2x＋b<0，∴ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ． 8 分 ③当a<0<b 时，∵f（x）和g（x）在（a，b）上是同步的， ∴ ，在（a，b）上恒成立，即 ， ，恒成立，∵b>0，而x＝0 时， ，不符合题意． 10 分 ④当a<0＝b 时，由题意 ， ，恒成立， ∴ ，∴ ，∴ ， 综上可知 的最大值为 ． 12 分