四川省成都外国语学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学（文）试题

（北京）股份有限公司 成都外国语学校2022—2023 学年度高二下3 月月考 数学试题（文科） 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共12 小题，每小题5 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数 等于（ ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 3．函数 （e 为自然对数的底数），则 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知x 与y 之间的一组数据： ， ， ， ，y 与x 的线性回归方程为 必过（ ） A． B． C． D． 5．若函数 有三个单调区间，则实数a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．若函数 在 上有极值点，则m 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过F 的直线与C 交于A，B 两点（点A 在第一象 限），与l 交于点D，若 ， ，则 （ ） （北京）股份有限公司 A． B．3 C．6 D．12 8．若函数 与 的图像有且仅有一个交点，则关于x 的不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 9．某同学根据以下实验来估计圆周率 的值，每次用计算机随机在区间 内取两个数，共进行了1000 次实验，统计发现这两个数与3 为边长能构成钝角三角形的情况有280 种，则由此估计 的近似值为（ ） A．3.12 B．3.13 C．3.14 D．3.15 10．已知函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ．若 ，且 ， 则使不等式 成立的x 的值可能为（ ） A． B． C． D．2 11．已知曲线 上一点 ，曲线 上一点 ，当 时，对于任意 ， 都有 恒成立，则m 的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 12．已知椭圆 ， ， 为C 的左、右焦点， 为C 上一点， 且 的内心为 ，若 的面积为 ，则n 的值为（ ） A． B．3 C． D．6 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分．把答案填在答题卡的相应位置．） 13．下面一段程序执行后的结果是______． （北京）股份有限公司 14．已知复数 是纯虚数，则 ______． 15．已知双曲线 上有不同的三点A，B，P，且A，B 关于原点对称，直线PA， PB 的斜率分别为 ， ，且 ，则离心率e 的取值范围是______． 16．已知函数 ，若关于x 的方程 有3 个不同的实数根，则a 的 取值范围为______． 三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10 分）已知函数 ，且 ． （1）求 的解析式； （2）求曲线 在 处的切线方程． 18．（本小题满分12 分）已知抛物线 的准线方程为 ． （1）求p 的值； （2）直线 交抛物线于A、B 两点，求弦长 ． 19．（本小题满分12 分）已知函数 ． （1）当 时，求函数 的单调区间； （北京）股份有限公司 （2）若函数 在区间 上单调递增，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分12 分）某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了50 名学生的成绩，这50 名学生的成 绩都在 内，按成绩分为 ， ， ， ， 五组，得到如图所示的 频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图估计该校高一年级本次考试成绩的中位数；（四舍五入保留1 位小数）； （2）用分层抽样的方法从成绩在 内的学生中抽取6 人，再从这6 人中随机抽取2 名学生进行调查， 求月考成绩在 内至少有1 名学生被抽到的概率． 21．（本小题满分12 分）已知点 ， ，动点P 满足 ． （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）设点 ，斜率为k 的直线l 与曲线C 交于M，N 两点．若 ，求k 的取值范围． 22．（本小题满分12 分）已知函数 ， ． （1）若 ，求a 的取值范围； （2）若函数 有两个不同的零点 ， ，证明： ． 成都外国语学校3 月月考数学（文科答案） 一、单选题 1．B 2．A 3．B 4．C 5．C 6．A 7．B 8．C 9．A 10．D 11．A 12．D 二、填空题 （北京）股份有限公司 13．10； 14．1；15． ； 16． 三、解答题 17．解：（1）因为 ，且 ，所以 ，解得 ，所以函数的解析 式为 ． （2）由（1）可知 ， ；又 ，所以曲 线 在 处的切线方程为 ，即 ． 18．解：（1）抛物线 的准线方程为 ，依题意， ，解得 ，所以p 的 值为2． （2）由（1）知，抛物线 ，设点 ， ，由 消去y 得： ， ，则 ， ，所以 ． 19．解：（1）函数 的定义域为 ，当 时， 求导得 ，整理得： ．由 得 ；由 得 从而，函数 减区间为 ，增区间为 （2）由已知 时， 恒成立，即 恒成立，即 恒成立，则 ． （北京）股份有限公司 令函数 ，由 知 在 单调递增，从而 ． 经检验知，当 时，函数 不是常函数，所以a 的取值范围是 ． 20．解：（1）由题意 ，解得 ； （2）在频率分布直方图中前两组频率和为 ，第三组频率为 ， 中位数在第三组，设中位数为x，则 ，解得 ； （3）由频率分布直方图成绩在 和 和频率分别是0.16 和0.08，共抽取6 人， 成绩在 上的有4 人，成绩在 上的有2 人，从6 人中任意抽取2 人共有 种方法，2 人成绩都 在 上的方法有 种， 月考成绩在 内至少有1 名学生被抽到的概率为 ． 21．解：（1）设动点 ，则 ， ， ，由已知，得 ，化简，得 ，故动点P 的轨迹C 的方程是 ． （2）当 时，设直线 ，将 代入 ，整理，得 ，设 ， ， ，整理，得 ， 设MN 的中点为Q， ， ，所以 ，由 ，得 ，即直线EQ 的斜率为 ，所以 （北京）股份有限公司 ，化简，得 ， 将 代入 式，解得 且 ．当 时，显然存在直线l，满足题设． 综上，可知k 的取值范围是 ． 22．解：（1）由题意得， ， ，令 ，则 ，∴ 在 上单调递增，且 ，∴当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，故当 时，函数 取得最小值 ，∵ ，∴ ，得 ． （2）证明：不妨设 ，由（1）得， 在 上单调递减，在 上单调递增，∴ ，故 ，∵ ， ∴ ，设 ， ，则 ，故 在 上单调递增，∴ ，故 ，即 ，又 在 上单调递减，∴ ，∴ ． （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司