四川省成都外国语学校2021-2022学年高二下学期期中 数学（文）

成都外国语学校2021-2022 学年度下期半期考试 高二文科数学 第I 卷（选择题，共60 分） 一、选择题（本题共12 个小题，每题5 分，共60 分，请将答案涂在答题卡上） 1．向量 所对应的复数是（ ） A． B． C． D． 2．由① 是一次函数；② 的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个 “三段论”形式的正确推力，则作为大前提、小前提和结论的分别是（ ） A．②①③ B．③①② C．①②③ D．③②① 3．用反证法证明“关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根”时，反设是“关于x 的一 元二次方程 ” （ ） A．有两个相等实数根 B．无实数根 C．无实根或有两个相等实数根 D．只有一个实数根 4．要得到函数 ， 的图象，只需将函数 ， 的图象（ ） A．纵坐标伸长到原来的2 倍，横坐标不变 B．横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变 D．横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变 5．已知 在 上是增函数，则实数a 的最大值是（ ） A．0 B．1 C．3 D．4 6．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 ， ，则由观测的数据得到线性回归方 程可能为（ ） A． B． C． D． 7．若椭圆C 的参数方程为 （ 为参数），则椭圆C 的焦距为（ ） A．4 B． C． D．2 8．下列三个数： ， ， ，大小顺序正确的是（ ） A． B． C． D． 9．函数 的部分图像是（ ） A． B． C． D． 10．若函数 在R 上无极值，则实数a 的取值范围（ ） A． B． C． D． 11．在直角坐标系 中，过点 的直线l 的参数方程为 （t 为参数），直线l 与曲线 交于A，B 两点，则 的值是（ ） A．1 B．3 C． D．4 12．已知函数 ，若不等式 恒成立，则a 的最大值为（ ） A．e B． C．2 D．1 第Ⅱ卷（非选择题，共90 分） 二、填空题：（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13．函数 ，其导函数为 ，则 ______． 14．设复数z 满足 （i 为虚数单位），则 ______． 15．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数 的值分别约为0.96 和0.85，则拟合效果 更好的模型是______． 16．已知 ， ， （ ）是函数 （ 且 ）的3 个零点， 则 的取值范围是______． 三、解答题：（本题有6 个小题，共70 分） 17．（10 分）（1）在极坐标系中，已知点 ，请将P 点的极坐标化为直角坐标； （2）在平面直角坐标系中，求曲线 经过伸缩变换 后的曲线方程． 18．（12 分）在极坐标系下，已知圆 和直线 ． （1）求圆C 和直线l 的直角坐标系方程； （2）当 时，求直线l 与圆C 公共点的一个极坐标． 19．已知函数 在 处取得极值． （1）求 的解析式； （2）当 时， 的图象与 的图象有两个公共点，求m 的取值范围． 20．（12 分）已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）求证： ． 21．（12 分）为推动实施健康中国战略，手机APP “ ” 推出了多款健康运动软件，如微信运动，某运动品牌公 司140 “ ” 名员工均参与了微信运动，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000 步及以上的 “ ” “ ” 员工授予该月运动达人称号，其余员工均称为参与者，下表是该运动品牌公司140 名员工2021 年1 月5 “ ” 日获得运动达人称号的统计数据： 月份x 1 2 3 4 5 “运动达人”员工数y 120 105 100 95 80 （1）求y 关于x 的线性回归方程 ； （2）为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在3 月份的运动数据进行分析，统计结果如下： 运动达人 参与者 合计 男员工 60 20 80 女员工 40 20 60 合计 100 40 140 请根据上标判断是否有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？ 参考公式： ， ； ． 0.10 0.05 0.025 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 22．（12 分）已知函数 ，其中e 是自然对数的底数． （1）当 时，求 在 处的切线方程； （2）若存在 ， （ ），使得 ，且 ，求a 的取值范围． 高二下期半期考试题（文数答案） 1．D 2．B 3．C 4．B 5．C 6．A 7．D 8．A 9．B 10．D 11．B 12．D 13． 14．2 15．甲 16． 17．【详解】（1）P 的直角坐标为 ． （2）设圆 上任一点为 ，伸缩变换后对应的点的坐标为 ， 则 所以 ，即 ． 所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆 ． 18．【答案】（1） ， ；（2） ． 【详解】（1）圆 ，∴圆O 的直角坐标方程为： ，即 ， 直线 ，即 ， ∴直线l 的直角坐标方程为： ，即 ． （2）由 得 故直线l 与圆O 的公共点的一个极坐标为 ． 19．【答案】（1）∴ ；（2） ． 【详解】（1） ， ∵ 在 处取得极值，∴ ， ∴ ，解得： ，∴ （2） ， ∴当 时， ；当 时， ， ∴ 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 又 ， ， ，所以 ． 20．【答案】（1） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2）见解析． 【详解】（1）依题意知函数的定义域为 ，∵ ， 由 ，得 ；由 ，得 ∴ 的单调增区间为 ，单调减区间为 ． （2）设 ， ∴ ， ∵当 时， ，当 时， ， ∴ 在 上为减函数， 上为增函数， ∴ ，即 ． 21．【答案】（1） （2）没有95%的把握认为获得“运动达人”与性别有关 【解析】（1） ， ， ， ， ∴ ， 由 过 ，故 ，∴ ． （2） ， ∴没有95%的把握认为获得“运动达人”与性别有关． 22．【答案】（1） （2） 【解析】（2）不妨设 ， ， 所以关于t 的方程 有正实数解， 所以 ， 即 有正实数解， 设 ， 则 ， ，所以 单调递增， 所以 ， ①当 时， ，所以 单调递增，所以 ，不合题意； ②当 时，存在 ，使得 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ， 所以存在 ，使得 ，符合题意． 综上，a 的取值范围为 ．