四川省成都外国语学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题

1 （北京）股份有限公司 成都外国语学校高一下期3 月月考 数学 一、单选题（本大题共8 小题，每小题5 分，共计40 分） 1．下列结论中，正确的是（ ）． A．零向量只有大小没有方向 B． C．对任一向量 ， 总是成立的 D． 与线段BA 的长度不相等 2．已知半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为（ ）． A．12 B．1.2 C．16 D．1.6 3．已知 ，则 （ ）． A． B． C． D． 4．若角θ 的终边经过点 ，则 （ ）． A． B． C． D． 5．已知函数 ，下面结论中错误的是（ ）． A．函数 的最小正周期为 B．函数 在区间 上是增函数 C．函数 的图像关于直线 对称 D．函数 是奇函数 6．已知 ，则 的值为（ ）． A． B． C． D． 2 （北京）股份有限公司 7．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）． A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位 C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位 8．已知函数 的最小正周期为T， ，且 的图像关于点 中心对称，若将 的图像向右平移 个单位长度后图像关于y 轴对称，则实数m 的 最小值为（ ）． A． B． C． D． 二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分．） 9．下列表示中正确的是（ ）． A．与 终边相同的角的集合是 ； B． ； C．在半径为6 的圆中， 弧度的圆心角所对的弧长为 ； D．第二象限角都是钝角； 10．已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）． A． B． C． D． 11．设a，b∈R，定义运算， ，已知函数 ，则（ ）． 3 （北京）股份有限公司 A． 是偶函数 B． 是 的一个周期 C． 在 上单调递减 D． 的最小值为－1 12．已知函数 ， ，若 ， ，使得 成立，且 在区间 上的值域为 ，则实数w 的取值可能是（ ）． A． B． C．1 D． 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共计20 分） 13．角α 的终边经过点 ，且 ，则b 的值为 ． 14．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若 图中所示的角为 ，且小正方形与大正方形面积之比为1：25，则 ． 15．若函数 在区间 上有3 个零点，则实数a 的取值范围是 ． 16．已知函数 的部分图象如图所示，函数 ， 在下面五个结论中， ① ； 4 （北京）股份有限公司 ②函数 的最小正周期是 ； ③若 时， ，则 ； ④把函数 图象上所有点横坐标缩短为原来的 得到的函数图象的对称轴与函数 图象的对 称轴完全相同； ⑤函数 在R 上的最大值为 ． 则以上结论正确的序号为 四、解答题（本大题共6 小题，共计70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说 明，证明过程或演算步骤．） 17．（10 分） 已知 ， ， ， ． （1）求 的值； （2）求 的值，并确定 的大小． 18．（12 分） （1）已知 ，求 的值； （2）已知 ，且 ，求 的值． 5 （北京）股份有限公司 19．（12 分） 已知函数 ． （1）利用“五点法”完成下面表格，并画出 在区间 上的图象； x 0 （2）解不等式 ． 20．（12 分） 已知函数 ，x∈R． （1）求函数 的单调递增区间； （2）求函数 在区间 上的最大值和最小值． 21．（12 分） 如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边 AD 落在半圆的直径上，另两点B，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20m． （1）如何选择关于点O 对称的点A，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？ （2）沿着AB，BC，CD 修一条步行小路从A 到D，如何选择A，D 位置，使步行小路的距离最远？ 6 （北京）股份有限公司 22．（12 分） 已知函数 ，且函数 的图象与函数 的图 象关于直线 对称． （1）若存在 ，使等式 成立，求实数m 的最大值和最小值 （2）若当 时不等式 恒成立，求a 的取值范围． 高一3 月月考数学答案 1．B 2．B 3．A 4．A 5．D 6．A 7．D 8．B 9．ABC 10．ABD 11．BC 12．CD 12．分析： 因为 ， ，使得 成立， 所以 ，即 ， 又由 在区间 上的值域为 ， 则 ， 综上 ，解得 此时 ， 因为 在区间 上的值域为 ， 所以 ，即 ， 7 （北京）股份有限公司 当 时， ， 所以 ，即 ．故选：CD． 13．－3 14． 15． 16．①②③⑤ 17．（1）∵ ，由 ， ∴ ， ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ． （2）由（1）可知， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 18．【详解】 8 （北京）股份有限公司 （1）由 知 ∴原式= （2）∵ ， ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 原式 19．【详解】 （1）由题意，列表如下： x 0 2 0 －2 0 画出 在区间 上的图象如图： 9 （北京）股份有限公司 （2）不等式 ，即 ，所以 ， 所以 ， ，即 ， ， 故 的解集为 ． 20． （1） ， 令 ， 解得 ， ， 所以函数 的单调递增区间为 ， ． （2）由已知 ，可得 ． 根据正弦函数的图象可得， 10 （北京）股份有限公司 当 ，即 时， 单调递增； 当 ，即 ， 单调递减． 又 ， ， ， 所以 ， ， 所以函数 在区间 上的最大值是 ，最小值是－1． 21． （1）连接OB，如图所示，设 ， 则 ， ，且 ． 因为A，D 关于原点对称，所以 ． 设矩形ABCD 的面积为S，则 ． 因为 ，所以当 ，即 时， （m2）． 此时 （m）． 故当A，D 距离圆心O 为 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400m2． （2）由（1）知 ， ， 所以 ． 又 ，所以 ， 11 （北京）股份有限公司 当 ，即 时， ， 此时 ， 即当A，D 距离圆心O 为 m 时，步行小路的距离最远． 22．【详解】 （1） ． 函数 的图象上取点 ， 关于直线 对称点的坐标为 ， 代入 ，可得 ， ，则 ， ∴ ， 等式 ，可化为 ， ∴ 时，m 的最小值为 ； 或2 时，m 的最大值为3； （2）当 时， ，即 ， 恒成立． 12 （北京）股份有限公司 所以（ⅰ）当 ， 时， ， 所以 ，即 ， 由于 ，所以 的最小值为 ， 所以 ； （ⅱ）当 ， ，不等式 化为 成立． （ⅲ）当 ， 时， ， 所以 ，即 ， 由于 ，所以 的最大值为 ， 所以 ． 综上所述，a 的取值范围是 ． 13 （北京）股份有限公司