高二（上）期入学考试数学试题（创新班）（学生答案）

试卷第1页，共3页 （北京）股份有限公司 内江六中高二（上）期入学考试题（创新班参考答案） 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】C 【详解】设 ，则 ，故 ，由于线段 的中点坐标为 ，故由抛 物线对称性可知 斜率存在，即 ，且 ，故 ，即 ， 所以直线的斜率为.故选：C 6．【答案】B 7．【答案】A 【详解】连接AC， ，作 平面 ABCD，由正四棱台性质可知点E 在AC 上，因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，所以 ，易知四边形 为等腰梯形，所以 ，所以 ，因为上下底面面积分别为： ，所以四棱台的体积为 .故选：A 8．【答案】C 【详解】如下图所示，双曲线 的右焦点 ，渐近线的方程为 ， 由点到直线的距离公式可得 ，由勾股定理得 ，在 中， ， ，在 中， ， ， ， ，由余弦定理 得 ，化简得， ，即 ，因此，双曲线 的离心率为 ，故选：C． 【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：①直接求出 、，可计算出离心率； ②构造 、的齐次方程，求出离心率；③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解． 9．【答案】BD 【详解】若 ， ，则 或 ，故A 错误；设 ， ，因为 ，所以 ，又 ， ，所以 ，又因为 ， 为异面直线， ， ， ，则直线 与 必相交，所以 ，故B 正确；若 ， ，则 不一定成立，故C 错误； 试卷第2页，共3页 若 ， ， ， ， ， 两两垂直，则， ， 必相交于同一点 ，假设与 不垂直，则存在直线 ，使得 ， ，所以直线 与 可确定平面 ，且 ，这说明过 内的直线 可作两个平面与 垂直，而这是不可能的，所以假设不成立，即 ，同理可证 ， ，即， ， 两两垂直，故D 正确.故选：BD 10．【答案】ABD 11．【答案】BCD 【详解】A：若 与 共线，存在 使 ，则 无解，故不共线，错误；B：与 同向的单位向量是 ，正确；C： 由 ，则 在 方向上的投影向量是 ，正确；D：若 是面ABC 的一个法向量，则 ，令 ，则 ，正确.故选：BCD 12．【答案】BCD【详解】对A，由题意，圆 的半径为 ，且点 到直线 的距离为 ，所以 ，故A 错误；对B，由直线 的方程 ，可得直线 过定点 ，则圆心到直线 距离的最大值为圆心到点 的距离，即最大值为 ，故 B 正确；对C， 为 的值，因为圆 的半径为 ，可得 ，又 ，所以 ，所以 的最小值为 ， 故C 正确；对D， ，则 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 的值为，故D 正确.故选：BCD 三、填空题（满分20 分，每小题5 分） 13．【答案】 或 14．【答案】 【详解】直线 ，得 ，可知直线过定点 ， 如图，曲线 表示以 为圆心，2 为半径的上半圆．当直线与半圆相切 时， ，解得 ．曲线 与 轴负半轴交于点 ． 试卷第3页，共3页 （北京）股份有限公司 因为直线与曲线 有两个交点，所以 ．故答案为： . 15．【答案】 【详解】设 ，由 得 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以直线 或 ， 圆心 到直线 的距离 ，（圆心 到直线 的距离 ） 由圆的弦长公式： ，可得 .故答案为： 16．【答案】 【详解】因为 ， ， ，所以 ，在直三棱柱 中， ，易 得四边形 为正方形，又 ，因此平面 的中心即为直三棱柱 的外接球 的球心，取 中点 ，连结 ，易知 ，且 ，所以球 的半径等于 ，因此球的表面积为 .故答案为： . 四、解答题（满分70 分） 17．（本小题满分10 分）【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）在正方体 中， 且 ， 且 所以 且 ，则 .为平行四边形， 所以 ，又 平面 平面 ， 所以 平面 . ...................................................................................................5 分 （2）记点 到平面 的距离为 的面积为S，则由题意可知 . 在 中，由余弦定理得 ，则 ，所以 试卷第4页，共3页 ，则 ，又 ，所以 ， 即点 到平面 的距离为 .......................................................................................................................10 分 18．（本小题满分12 分）【答案】(1) ；(2) 和 . 【详解】（1）∵ ， ，故AB 的中点坐标为 ， ， ∴AB 的垂直平分线为： ，.................................................................................3 分 由 解得圆心 ，半径 故圆 的方程为 ；.............................................................................................................6 分 （2）若直线的斜率存在，方程可设为 ，即 圆心 到直线的距离为 ，解得 ， 所求的一条切线为 ；.................................................................................................................9 分 当直线的斜率不存在时，圆心 到 的距离为4，即 与圆相切......................................11 分 所以直线的方程为 和 ．.............................................................................................12 分 19．（本小题满分12 分）【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）在 中， ， ， ，则 ， 所以 ，则 ，所以 ，......................................................................................2 分 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，...........................................................................................................................................4 分 又 平面 ，所以平面 平面 ；.............................................................................................6 试卷第5页，共3页 （北京）股份有限公司 分 （2）作 于点 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，则 即为 与平面 所成角的平面角，所以 ， 又 ，所以 为等边三角形，故 ，如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，则 ，则 ，.....................8 分 则 ，因为 平面 ， 所以 即为平面 的一条法向 量，.............................................................................................9 分 设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， 所以 ，........................................................................................................................10 分 则 ，即锐二面角 的余弦值 .............................................12 分 20．（本小题满分12 分）【答案】(1) ；(2) 【详解】（1）设直线为 ，代入 整理得 ，设 ， 所以 ， ，所以 ， 由 即 ，得 ， ∴ ，∴所求抛物线 的方程为 ....................................................................................................5 分 （2）由（1）得 ..............................................................................................................7 分 ，点 到直线的距离为 ，.........................................9 分 试卷第6页，共3页 则 ，当 时，等号成立，..............................11 分 故当 时，三角形 面积有最小值 ..................................................................................................12 分 21．（本小题满分12 分）【答案】(1) ；(2)证明见解析. 【详解】（1）设双曲线 的半焦距为c，由题设， ， ， 双曲线 的方程为 ，故渐近线方程为 ．...........................................................................4 分 （2）当l 的斜率不存在时，点P、Q 的坐标分别为 和 ， 所以，当 时有 ；当 时有 ，此时 ，..............................................................6 分 当l 的斜率k 存在时，设 ， ，l 为 ，将直线l 代入双曲线方程得 ，所以 ， ， .......................................................8 分 因为 ， 所以 ，即 ， 综上， 为定值，得证．..................................................................................................................................12 分 22．（本小题满分12 分）【答案】(1) ；(2)是，过定点 . 试卷第7页，共3页 （北京）股份有限公司 【详解】（1）由题意可知， 面积的最大时M 位于椭圆上或下顶点，即 ，...........................................................2 分 又因为 ， 联立解方程，可得 ，所以 ， 故椭圆标准方程为 ..............................................................................4 分 （2）如图所示，由题意可设 ， 所以 ，即 ①，...........................6 分 将直线方程与椭圆方程联立化简 ，.................8 分 代入①，得 或 ，.......................................................................................10 分 当 时， ，直线l 过N 点，不符合题意； 当 时， ，直线l 过点 ，符合题意. 故直线l 过定点 ..........................................................................................................................................12 分