陕西省西北工业大学附属中学2022-2023学年高一上学期1月期末数学试题

试卷第1页，共3页 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 西工大附中2022-2023 学年上学期1 月期末 高一数学 一、选择题；本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知全集 ，集合 ， ，则 等于 （ ） A． B． C． D． 2．若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角 是 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．已知向量与 不共线，且 ， ，若 ， ， 三点共线，则 实数 ， 应该满足的条件是 A． B． C． D． 4．已知 ， ，函数 ，当 时，f（x）有最小 值，则 在 上的投影向量为（ ） A． B． C．－ D．－ 5．已知平面向量 与 的夹角为 ，则 的最大值为（ ） A． B．2 C．4 D．8 6．在 中，点 满足 ，则（ ） A．点 不在直线 上 B．点 在 的延长线上 试卷第2页，共3页 C．点 在线段 上 D．点 在 的延长线上 7．已知向量 ，且 与 方向相同，则 的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．（-1，1） C．（-1，+∞） D．（-∞，1） 8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其 名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称 为高斯函数，例如： ，已知函数 ，则 函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 二、选择题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分． 9．下列函数中，定义域为 的函数是（ ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ，则 试卷第3页，共3页 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 11．已知 是第一象限角，且 ，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 12．设函数 ，对关于 的方程 ，下列 说法正确的是（ ） A．当 时，方程有3 个实根 B．当 时，方程有5 个不等实根 C．若方程有2 个不等实根，则 D．若方程有6 个不等实根，则 三、填空题；本题共4 小题，每小题5 分，共20 分 13．已知 ，则 的值为____． 14．已知函数 的最小正周期是 ，且 的图象过点 ，则 的图象的对称中心坐标为___________. 15．如图，在 中， ，以 为圆心、 为半径作圆弧交 于 点．若圆弧 等分 的面积，且 弧度，则 =________. 试卷第4页，共3页 16．对任意 ，一元二次不等式 都成立，则实数k 的取值 范围为______． 四、解答题；本题共6 个小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知函数 . (1)求 的最小正周期； (2)求 的最大值和对应 的取值； (3)求 在 的单调递增区间. 18．在平面直角坐标系中,角 的顶点坐标原点,始边为 的非负半轴,终边经过点 . (1)求 的值; (2)求 的值. 19．已知定义在 上的奇函数 ，在 时， 且 ． (1)求 在 上的解析式； (2)若 ，常数 ，解关于 的不等式 ． 20．已知函数 ． 试卷第5页，共3页 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 (1)若函数 有唯一零点，求实数 的取值范围； (2)若对任意实数 ，对任意 ，恒有 成立， 求正实数 的取值范围． 21．已知函数 是奇函数，且 . (1)求a，b 的值； (2)证明函数 在 上是增函数. 答案第1页，共2页 参考答案 1．B 化简集合 ，求出补集，再根据交集的概念运算求解可得结果. ， 或 ， 所以 . 故选：B 2．D 根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可． 1≤cos ∵﹣ x≤1，且sin（cosx）＞0， 0 ∴＜cosx≤1， 又sinx＜0， ∴角x 为第四象限角， 故选D． 本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题 的关键． 3．A 试题分析：依题意， ，∴ ，即 ，求得 ，故选A. 考点：共线向量定理. 4．C 根据题意写出 的表达式，结合二次函数知识求得 ，根据投影向量的定 义即可求得答案. 由题意得， , ， 当 时， 有最小值， 答案第2页，共2页 即 ， 则 在 上的投影向量为 ， 故选：C 5．C 在三角形中利用数形结合构造关于 不等式，解之即可求得 的最大值 以向量 与 为两边作△ ， ， ， 则 则在△ 中 ，即 ， 则 ，当且仅当 即 时等号成立. 故选：C 6．B 由已知条件可得 ，从而可得 与 共线，进而可得结论 因为 ，得 ， 所以 ， 所以 三点共线，且点 在 的延长线上， 答案第3页，共2页 故选：B 7．C 与 同向，用共线基本定理得到关系，表示 依据 的范围去求. 因为 与 同向，所以可设 则有 ，又因为 ，， 所以 所以 的取值范围是(-1，+∞)， 故选：C. 8．A 根据三角函数的性质及函数的单调性可得函数 的值域，再根据高斯函数的定义求出 的值域即得. 当 时， ， ， 所以 ， 当 时， 单调递减， 所以 ； 综上， ， 所以函数 的值域为 . 故选：A. 答案第4页，共2页 9．AC 根据基本初等函数的定义域逐项分析即得. 对于A， 函数 的定义域为 ，符合题意； 对于B，函数 的定义域为 ，不符合题意 对于C，函数 的定义域为 ，符合题意； 对于D，函数 的定义域为R，不符合题意. 故选：AC. 10．AD 通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可. 对于A，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，故选项A 正确； 对于B，当 ， ， ， 时，有 ， ， 但此时 ， ， ，故选项B 错误； 对于C，当 ， ， 时，有 ， ， 但此时 ， ， ，故选项C 错误； 对于D，∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， 由不等式的同向可加性，由 和 可得 ，故选项D 正确. 故选：AD. 11．BC 由题意可知，利用特殊值可以排除AD 选项，再根据同角三角函数的基本关系判断BC 即可. 是第一象限角，且 ， 答案第5页，共2页 当 时， 此时 ，所以A 错误； 易知， ，所以 ， 又因为 ，即 ，所以 ，即C 正确； 又因为 ，所以 ， 因此 ，即 ，故B 正确； 取 ，则 ，所以D 不成立. 故选：BC. 12．ABD 根据分段函数解析式可画出函数图象，再利用一元二次方程根的分布情况研究 的根的个数，对选项逐一判断即可. 由函数 可知，图象如下： 对于A，当 时， 答案第6页，共2页 方程 即为 ， 即 ，所以 而 ，由图可知 与 有三个交点，即方程有3 个不同的实根.故A 正确； 对于B，当 时，方程为 ，即 解得 或 ； 时，由图可知 与 有三个交点，即此时方程有3 个不同的实根， 时，由图可知 与 有两个交点，即此时方程有2 个不同的实根； 综合可知，当 时，方程有5 个不等实根；即B 正确； 对于C，令 ，则方程 等价成 ； 由图可知，若方程有2 个不等实根，包括以下三种情况， ①方程 只有一根，且 则 ，即 或 由A 可知， 时不合题意，舍去； 当 时，此时 ，方程只有一根，不合题意； ②方程 只有一根，且 ， 由①知，此时也不符合题意； ③方程 有两个不相等的实数根，且 或 答案第7页，共2页 或 令 若 ，需满足 解得 ，不合题意； 若 ，需满足 ，解得 ,即 若 ，需满足 ，解得 ，不合题意； 综上可知，若方程有2 个不等实根，则 ；故C 错误； 对于D，若方程有6 个不等实根，则需满足方程 有两个不相等的实数根， 且 ； 则需满足 解得 即可得 ；故D 正确. 故选：ABD 关键点点睛：根据分段函数的函数性质画出分段函数的图象，由方程 根的个数并结合函数图象从而确定根的分布情况，确定根的取值范 答案第8页，共2页 围，进而确定参数的取值范围. 13． 根据两角和与差的正弦、余弦公式展开后将弦化切即可求解. . 故答案为： . 14． 根据周期确定 的值，再由 的图象过点 确定 值，从而函数解析式确定，再根 据正弦函数的对称中心可解得答案. 由题意函数 的最小正周期是 ， 可知 ， 再由 的图象过点 ，可得 ， 则 ,故 , 所以由 知： ，所以 ， 答案第9页，共2页 令 ，可得 ， 所以 的图象的对称中心坐标为 ， 故答案为： 15． 设扇形的半径为，则扇形的面积为 ，直角三角形 中， ， ， 面积为 ，由题意得 ，∴ ，∴ ，故答案为 . 点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于 基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高 ，计算直角三角 形的面积，由条件建立等式，解此等式求出 与 的关系，即可得出结论. 16． 由二次不等式恒成立结合图象即可求解 因为对任意 ，一元二次不等式 都成立， 所以 ， 解得 ， 所以实数k 的取值范围为 答案第10页，共2页 17．(1) ； (2)当 时，函数 有最大值 ； (3) . （1）根据正弦型函数的周期公式即得； （2）根据正弦函数的图象和性质即得； （3）根据正弦函数的单调性结合条件即得. （1）因为函数 ， 所以 的最小正周期为 ； （2）因为 ， 由 ，可得 ， 当 时，函数 有最大值 ； （3）由 ，可得 ， 又 ， 函数 的单增区间为 . 18．(1) (2) 答案第11页，共2页 (1)根据角 终边经过点 ,得出 的值,即可求出 ; (2)根据诱导公式进行化简,代入角 的三角函数值即可. （1）解:由题知角 终边经过点 , , , , , ; （2）由(1)知 , 则原式 . 19．(1) 答案第12页，共2页 (2) （1）根据奇函数定义以及函数 在 上的解析式，结合 即可写出 在 上的解析式；（2）将不等式 转化成 ，再利用换 元法以及 ，解出 的取值范围即可得不等式的解集. （1）∵ 是 上的奇函数且 时， ， ∴当 时， ， 又由于 为奇函数，∴ ，∴ ， 又 ， ，∴ ， 综上所述，当 时， （2） 时， ，当 时， ， ，即 ，所以 ， 设 ，不等式变为 ， 答案第13页，共2页 ∵ ，∴ ， ∴ ． 而当 时， ， 且 ， 又 在 上单调递增， 所以 ，所以 ， ∴ ，即 所以 ． 综上可知，不等式 的解集是 ． 20．(1) (2) （1）将函数 有唯一零点转化成方程 有唯一解的问题，对二次项系数进行分类讨论即可； 答案第14页，共2页 （2）由复合函数单调性可知，函数 为 上的减函数，将 恒成立转化成 在 上恒成立，讨论对称 轴与区间的位置关系，求出其在区间 上的最小值，使最小值大于等于0 即可求得正实 数 的取值范围. （1）函数 有唯一零点， 即 ①有唯一零点，即 有唯一零点， 当 时， ，解得 ，符合题意； 当 时，方程为一元二次方程，其 当 时， ，方程有两个相等的实数根 ，符合题意； 当 时， ，方程有两个不等的实数根 ， ； 若 为①的解，则 ，解得 ； 若 为①的解，则 ，解得 ； 要使①有唯一实数解，则 ． 综上，实数 的取值范围为 ． （2）函数 ，其中内部函数 在 上为减函数，外部函 答案第15页，共2页 数 为增函数， 由复合函数性质知 为 上的减函数， ， ， 不等式 转化为 ， 即转化为 ， 即 令 ， ，即 ． 二次函数对称轴为 ，由 ，开口向上 （i）当 时， ，函数 在 上单调递减， ，解得 ，不符合题意，舍去； （ii）当 时， ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，即 ，解得 ， 即 ； 答案第16页，共2页 （iii）当 时， ，函数 在 上单调递增， ，解得 ， 即 ； 综上可知，正实数 的取值范围 ． 关键点点睛：本题第二小问的关键是将“对任意 ，恒有 成立”进行等价转化，只需满足 ，再利用函数 的单调性，即可将问题转化成不等式 在 上恒成立的 问题，再讨论二次函数对称轴与区间的位置关系即可求得参数的取值范围. 21．(1) ， (2)证明见解析 （1）由奇函数的性质可知 ，可求出b 的值，再利用 可求出a 的值. （2）利用定义法证明函数 的单调性即可. （1）∵函数 是奇函数，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ，∴ ， 答案第17页，共2页 ∴ . （2）由（1）得 ， 任取 ， ，且 ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ， ， ∴ ，即 ， ∴函数 在 上是增函数. 答案第18页，共2页