黑龙江省鹤岗市第一中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题

2020 级高二学年上学期期末数学考试 一．单选题;本题共10 小题，每小题5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．若直线过点（１，２），（４，２＋ ），则此直线的倾斜角是（ ） Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．６０° Ｄ．９０° 2.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ） Ａ． 0 5 2   y x Ｂ． 0 4 2   y x Ｃ． 0 7 3   y x Ｄ． 0 5 3   y x 3.已知圆C 的半径为 ，圆心在 轴的正半轴上，直线 与圆C 相切，则圆 C 的方程为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4.已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A，B 两点， 且AB 的中点为N(－12，－15)，则双曲线E 的渐近线方程为( ) Ａ．－＝0 Ｂ．－＝0 Ｃ．－＝0 Ｄ．－＝0 5.设 分别为椭圆 左、右焦点，点 在椭圆C 上，且 ，则椭圆C 的标准方程为( ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ. 6．甲、乙、丙3 位志愿者安排在周一至周五的5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参 加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有( ) Ａ．20 种 Ｂ．30 种 Ｃ．40 种 Ｄ．60 种 7. 在 的展开式中，含 的项的系数是（ ） Ａ．74 Ｂ．121 Ｃ．-74 Ｄ．-121 8. 已知 的展开式中，第4 项与第6 项的二项式系数相等，则 的展开式的 各项系数之和为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9. 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10 个球，其中第一个盒子中有7 个球标有字 母A，3 个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5 个；第三个盒子中有红球8 个，白球2 个。试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中 任取一个球。如果第二次取出的是红球，称试验成功，则成功的概率为（ ） Ａ．0.41 Ｂ．0.48 Ｃ．0.59 Ｄ．0.64 10.辛亥革命发生在辛亥年，戊戌变法发生在戊戌年.。辛亥年、戊戌年这些都是我国古代 的一种纪年方法。甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、 寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支。按天干地支顺序相组配用 来纪年叫干支纪年法。例如：天干中“甲”和地支中“子”相配即为“甲子年”，天干中 “乙”和地支中“丑”相配即为“乙丑年”以此纪年法恰好六十年一循环。那么下列干支 纪年法纪年错误项是 （ ） Ａ．庚子年 Ｂ． 丙卯年 Ｃ．癸亥年 Ｄ．戊申年 二．多选题：本题共2 小题，每小题5 分，共10 分。在每小题给出的四个选项中，有多 项是符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。 11.已知A，B，C 为平面内三点，点A（0，1）， .若平面内存在唯一点 使 ,且 ，则点B 的坐标可能是（ ） Ａ．(1，0) Ｂ．(1，-1) C.(-1，-1) D.(-1，2) 12.以人工智能、量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程的发展模 式，对人类生产力的创新提升意义重大。某公司抓住机遇，成立了甲、乙、丙三个科研小 组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励。已知甲、乙、丙 三个小组攻克该技术难题的概率分别为 ，且三个小组各自独立进行科研攻关。下 列说法正确的是（ ） Ａ．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率是 ； Ｂ．只有甲小组受到奖励的概率是 ； Ｃ．已知该技术难题一定能被攻克，只有丙小组受到奖励的概率是 Ｄ．受到奖励的小组数的期望值是 三．填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．已知圆O：x2＋y2＝4 和点 ，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的 三角形的面积等于________． 14.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A，B 两点，| AB|为C 的实轴长的2 倍，则C 的离心率为________． 15.设随机变量X ～ ) , 3 ( 2  N ，若 ( ) 0.3 P X m   ，则 ( 6 ) P X m   ____________. 16．已知直线ax＋by－1＝0(a，b 不全为0)与圆x2＋y2＝50 有交点，且交点的横、纵 坐标均为整数，那么这样的直线有________条． 四．解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(本小题满分10 分) 某学校共有1000名学生，其中男生400 人， 为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分 层抽样随机抽取了100 名学生进行调查，月消 费金额分布在450 ~ 950 之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直 方图如图所示：将月消费金额不低于750 元的学生称为“高消费群”． （1）求a 的值； （2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650) ，[750,850) 内的两组学生中抽 取10人，再从这10人中随机抽取3 人，记被抽取的3 名学生中属于“高消费群”的学生人 数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望； 18. (本小题满分12 分) 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第 一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平， 经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次 烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75， Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； Ⅱ.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X 的分布列和均值． 19. (本小题满分12 分) 世界卫生组织的最新研究报告显示,目前中国近视患者人数多达6 亿,高中生和大学生的近 视率均已超过七成.为了研究每周累计户外暴露时间(单位:小时)与近视患病率的关系,对某 中学200 名学生进行不记名问卷调查,得到如下数据: (1)在每周累计户外暴露时间不少于28 小时的4 名学生中,随机抽取2 名,求其中恰有1 名 学生不近视的概率. (2)若每周累计户外暴露时间少于14 个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”,根据以上 数据完成如下列联表,并根据小概率值 的独立性检验，能否认为不足够的户外暴露 时间与患近视有关系? 附: 20. (本小题满分12 分) 已知圆 ，点 ，C 为圆 上任意一点，线段 的垂直平分线 交半径 于点 ，点P 的轨迹为曲线E． （1）求曲线E 的方程； （2）.若直线 (不与坐标轴重合)与曲线E 交于 两点，O 为坐标原点，设直 线 的斜率分别为 ，对任意的斜率k，是否存在实数λ，使得 ，若存在求实数λ 的值，若不存在说明理由。 21. (本小题满分12 分) 某校为了了解在校学生的支出情况，组织学生调查了该校2014 年至2020 年学生的人均 月支出 (单位：百元)的数据如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均月支出 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求 关于的线性回归方程； （2）（2）利用（1）中的回归方程，分析2014 年至2020 年该校学生人均月支出的变 化情况，并预测该校2022 年的人均月支出. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别 为： 22. (本小题满分12 分) 已知抛物线C： （P>0）的焦点为F，过F 点且垂直x 轴的直线 交抛物线C 于 M,N 两点， .（1）求抛物线C 的方程； （2）圆Q： ，点P 在圆Q 上，PA,PB 是抛物线C 的两条切线，A,B 是切 点，求 面积的范围。 2020 级高二学年上学期期末数学考试答案 一．单选题：AADBD ADCCB 二.多选题： BC ACD 三.填空题：13. 14. 15. 0.7 16. 72 条 四.解答题： 17.解： （1）由题意知100(0.0015 0.0025 0.0015 0.001) 1 a     ，解得 0.0035 a  。—4 分 （2）由题意，从[550,650) 中抽取7 人，从[750,850) 中抽取3 人． 随机变量X 的所有可能取值有0 ，1，2 ，3 ， 3 3 7 3 10 C C ( ) C k k P X k    ( 0,1,2,3) k  ， 所以，随机变量X 的分布列为 随机变量X 的数学期望 35 63 21 1 9 ( ) 0 1 2 3 120 120 120 120 10 E X      ．—10 分 18.解： 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A2、A3. Ⅰ.设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 P(E)＝P(A1··)＋P(·A2·)＋P(··A3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38. ——————————————————————4 分 Ⅱ.解：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p＝0.3，则X～B(3,0.3)。 所以P(X＝0)＝(1－0.3)3＝0.343， P(X＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441， P(X＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189， P(X＝3)＝0.33＝0.027. X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 于是，E(X)＝1×0.441＋2×0.189＋3×0.027＝0.9. （或E(X)＝np＝3×0.3＝0.9.）——12 分 19.解：（1）设“随机抽取2 名，其中恰有1 名学生不近视”为事件A,则 —4 分 （2）根据已知数据得到列联表： 所以 的观测值 能在犯错误的概率不超过0.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与患近视有关系.—12 分 20.解：（1）.由 ， 可得 ， 则点P 的轨迹是以 为焦点的椭圆， 则 ， ， 所以曲线E 的方程为 —————————————————————— —4 分 （2）.设 ， ， 则 ，消y 可得 ， ， ， 整理得 对任意k 恒成立， 所以存在实数 ———————————————————————12 分 21.解：（1）由已知数据分别求出公式中的量。 ， ， ， ， ， . 所求回归方程为 . ———————————————————————6 分 （2）由（1）知， ， 故2014 年至2020 年该校学生人均月支出逐年增加， 平均每年增加0.5 百元. 将2022 年的年份代号 代入（1）中的回归方程， 得 ， 故预测该校202 2 年人均月支出为6.8 百元. ——————————————————12 分 代入 ， 解得P=1 所以抛物线C 的方程为 —————————————————————4 分 则PA 切线方程： PB 切线方程： 设 则有 ； 所以AB 方程为： 即 点 到直线AB 的距离 联立 得 ， 所以 令t= 又因为 所以 ； 综上 的面积的范围是 ——————————————————12 分