辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题

（北京）股份有限公司 沈阳二中2022—2023 学年度上学期12 月月考 高一（25 届）数学试卷 考试时间：120 分钟 试题满分：150 分 命题人：程林 校对：孙健 一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分 1.已知集合 ，则 （ ） A. {1，2} B． {－2.－1，0，1，2} C． （0，2] D. [－2，2] 2.某单位有职工750 人，其中青年职工350 人，中年职工250 人，老年职工150 人．为了了解该单位职工的健 康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7 人，则样本容量为（ ） A.15 B. 20 C.25 D. 30 3. 一个袋中装有大小、质地相同的3 个红球和3 个黑球，从中随机摸出3 个球，设事件A＝“至少有2 个厘 球”，下列事件中，与事件A 互斥而不互为对立的是（ ） A. 恰好有1 个黑球 B. 都是黑球 C. 恰好有1 个红球 D. 至少有2 个红球 4.2019 年7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可，考 古科学家在测定遗址年龄的过程中利用“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14 的质量N 随 时间t（t 单位：年）的衰变规律满足 （ 表示碳14 原有的质量）经过测定，良渚古城遗址 文物样本中碳14 的质量是原来的 至 ，据此推测良渚古城存在的时期距今约（ ）年到5730 年之间． （参考数据： ） A.2292 B. 3438 C．2865 D． 4011 5.在下列区间中，函数 的零点所在的区间是（ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 6.设函数 ，若函数f（x）的最大值为－1，则实数a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7.已知函数 有4 个零点，则k 的取值范围是（ ） A. B． C. D. 8.已知函数 ，若不等式 （e 是自然对数的底数），对任 意的 恒成立，则整数t 的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C． 4 D. 5 二、多项选择题：本题共4 小题，每题5 分，共20 分．每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分 9.某篮球运动员8 场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说 法正确的是（ ） A. 中位数为3 B. 众数为3，6，8 C. 平均数为5 D. 方差为4.8 10.下列所给函数中值域为（0，＋∞）的是（ ） A. B． C. D． 11.下列判断不正确的是（ ） A.函数 在定义域内是减函数 （北京）股份有限公司 B. 的单调减区间为（4，＋∞） C.已知 ，且 ，若 恒成立，则实数m 的取值范围是（－4，1） D.已知 在R 上是减函数，则a 的取值范围是 12.已知函数 ，使得“方程 有6 个相异实根”成立的充分条件 是（ ） A. B． C． D． 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13.已知 ，则用“＜”连接a，b， c 这三个数应为___． 14.已知四个函数：① ，② ，③ ，④ ，从中不重复的任选2 个，则事件“所选2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为___． 15.函数 的最小值为___． 16.设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在 ，使f（x）在[a，b]上的值域是 [2a，2b]，则称f（x）为“双倍函数”，若函数 为“双倍函数”．则实数t 的取值范围是 ___． 四、解答题：本大题共6 道小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知 ． （1）若p 为真命题，求此不等式的解集； （北京）股份有限公司 （2）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 18.（1）先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：两个骰子点数相同，事件B：点数之 和小于7，求P（AB），P（A＋B） （2）某培训机构在假期招收了A，B 两个数学补习班，A 班10 人，B 班30 人，经过一周的补习后进行了一次 测试，在该测试中，A 班的平均成绩为130 分，方差为115，B 班的平均成绩为110 分，方差为215.求在这次 测试中全体学生的平均成绩和方差． 19.已知函数 的定义域是[0，3]，设 ， （1）求g（x）的解析式及定义域； （2）求函数g（x）的最大值和最小值． 20.为了选择奥赛培训对象，今年5 月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50 名同学将其成绩 分成六组：第1 组[40，50），第2 组[50，60），第3 组[60，70），第4 组[70，80），第5 组[80，90），第 6 组[90，100]，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）利用每组中值估计本次考试成绩的平均数； （2）从频率分布直方图中，估计第65 百分位数是多少； （3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90 分时为优秀等级，若从第5 组和第6 组两组学生中，随机抽取2 人，求所抽取的2 人中至少1 人成绩优秀的概率． 21.已知函数 为偶函数，且 ． （1）求m 的值，并确定f（x）的解析式； （2）若 且 ），求g（x）在（2，3]上值域． （北京）股份有限公司 22. 设函数 ． （1）若函数f（x）有零点，求实数m 的取值范围； （2）判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由； （3）若存在不相等的实数a，b 同时满足方程 和 ，求实数m 的取值范围． 沈阳二中2022—2023 学年度上学期12 月月考数学答案 一、AAADC DBC 二、9.BC 10.AD 11.ABD 12. AD 三、13. 14. 15.－ 16.（－ ，0） 四、17.（1）已知P 为真命题，由 ，可得 ， 所以 ．所以不等式的解集为 …………4 分 （2）因为p 是q 的充分条件，所以 ． q： ，可得 ①当 时，q： ；因为 ，所以 ，可得 ． ②当 时，q： ，所以不符合题意； ③当 时，q： ；因为 ，所以 ，无解． 所以m 的取值范围为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分 18. （1）（《学案》71 页例3） 用有序数对（x，y）表示抛掷结果，则这个试验的样本空间 {（1，1），（1，2），（1，3）， （1， 4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1）， （3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4， （北京）股份有限公司 5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2）， （6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}．共包含36 个样本点，这36 个样本点发生的可能性是相等的． AB＝{（1，1），（2，2），（3，3）}，包含3 个样本点，所以 A＋B＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2， 4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1），（4，4），（5，5），（6， 6）}，包含18 个样本点，P（A＋B） ．．6 分 （2）（《学案》59 页跟踪训练2） 全体学生的平均分为115. 全体学生成绩的方差为265……12 分 19. （1） 的定义域是[0，3]，设 ， ∴ …………2 分 因为f（x）的定义域是[0，3]，所以 ，解之得 ． 于是g（x）的定义域为 ．…………4 分 （2）设 …………6 分 ∵ ，即 ， ∴当 即x＝1 时，g（x）取得最小值－4 ；．．．．．．．．9 分 当 即x＝0 时，g（x）取得最大值－3 ．．．．．．12 分 20. 解 ： （ 1 ） 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 平 均 数 ． （2 ）∵成绩在 的频率为 ，成绩在[40 ，80 ）的频率为 （北京）股份有限公司 ， ∴第65 百分位数位于 ，设其为x， 则 ，解得： ，∴第65 百分位数为73 （3）第5 组的人数为： 人，可记为A，B，C，D；第6 组的人数为： 人，可记为a，b，c； 则从中任取2 人，有（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C）， （B，D），（B，a），（B，b），（B，c），（C，D），（C，a），（C，b），（C，c），（D，a）， （D，b），（D，c），（a，b），（a，c），（b，c），共21 种情况； 其中至少1 人成绩优秀的情况有：（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c）， （C，a），（C，b），（C，c），（D，a）， ），（D，c），（a，b），（a，c），（b，c），共15 种情况； ∴至少1 人成绩优秀的概率 ． 给分点：（1）问3 分 （2）问3 分 （3）问计算出21 个基本点3 分，最终概率3 分 21.解：（1）因为 ，所以由幂函数的性质得， ，解得 ，因为 ，所以 或 当 时， 它不是偶函数；当 时， 是偶函数． 所以 ；…………4 分 （2）由（1）知 ， 设 ，则 …………6 分 当 时， 在区间（0，3]上是增函数，所以 ； （北京）股份有限公司 当 时， 在区间（0，3]上是减函数，所以 ． 综上：当 时，函数g（x）的值域为 ， 当 时，g（x）的值域为 ．…………12 分 22.（1）令 ，则函数 ， 又函数f（x）有零点， ，因为 ，故 ，故 …………3 分 （2 ）由 定义城需 ），得到定义域为R…………5 分 ．即 故 为奇函数．．．．．．．．．．．．．．．．7 分 （3）因为 为奇函数，且 在（0，＋∞）上为减函数．故g （x）为在R 上单调递减的奇函数． 又 ，故 又 则 ，即 所以 ．令 ，则 ，又当 时a＝0，不满足， 故 又 在 上单调递增，故 （北京）股份有限公司 即 …………12 分 （北京）股份有限公司