山西大学附属中学校2022-2023学年高二上学期1月期末考试数学试题

（北京）股份有限公司 山西大学附中 2022—2023 学年第一学期高二年级1 月阶段测试 数学试题 考察时间：120 分钟 满分：150 分 考查内容：解析几何 导数 一、单选题（每小题5 分，共40 分） 1．抛物线 的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 2．函数 的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 ，则 （ ） A．2 B．1 C．0 D． 4．某放射性同位素在衰变过程中，其含量 （单位：贝克）与时间（单位：天）满 足函数关系 ，其中 为 时该同位素的含量.已知 时，该同位 素含量的瞬时变化率为 ，则 （ ） A．24 贝克 B． 贝克 C．1 贝克 D． 贝克 5．设椭圆 离心率为，双曲线 的渐近线的斜率 小于 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6.设定义在 上的函数 ，满足任意 ，都有 ，且 时， （北京）股份有限公司 ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．1970 年4 月24 日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此 我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律． 卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化 服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积 相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为 ， ，下列结论错误的是（ ）． A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时 间 C．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 （北京）股份有限公司 8．若函数 有两个零点 ，且存在唯一的整数 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题满分5 分，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有错选或不选的得 0 分） 9．函数 的定义域为 ，它的导函数 的部分图象 如图所示，则下面结论正确的是（ ） A．在 上函数 为增函数 B．在 上函数 为增函数 C．在 上函数 有极大值 D． 是函数 在区间 上的极小值点 10．给出定义：若函数 在 上可导，即 存在，且导函数 在 上也可导， 则称 在 上存在二阶导函数，记 ，若 在 上恒成立，则 称 在 上为凸函数．以下四个函数在 上不是凸函数的是（ ） A． B． C． D． 11．直线 与双曲线 的左、右两支各有一个交点， 则 的可能取值为（ ） A． B． C． D． 12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对 （北京）股份有限公司 称轴的方向射出.已知抛物线 的焦点为 ，一束平行于 轴的光线从点 射入，经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线上另一点 反射 后，沿直线 射出，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D．与 之间的距离为4 三、填空题（每小题5 分，共20 分） 13．椭圆 的长轴长为________. 14．函数 2 cos y x x   在点 π ,π 2      处的切线方程为________. 15．已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围为________. 16．已知 ，若对于任意的 ，不等式 恒成立， 则 的最小值为________. （北京）股份有限公司 四、解答题（17 题10 分，其余每题12 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤.） 17．已知 在 时有极值0. （1）求常数 的值； （2）求函数 在区间 上的值域. 18．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的焦点为 、 ，实轴长为 . （1）求双曲线 的标准方程； （2）过点 的直线与曲线 交于 ， 两点，且 恰好为线段 的中点， 求直线的方程及弦 的长. 19．已知函数 . （1）当 时，证明： ；（2）讨论 的单调性. （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 20．在新冠肺炎疫情期间，口罩是必不可少的防护用品．某小型口罩生产厂家为保障抗 疫需求，调整了口罩生产规模．已知该厂每月生产口罩的固定成本为1 万元，每生产 万件，还需投入 万元的原材料费，全部售完可获得 万元，当月产量不足5 万件 时， ；当月产量不低于5 万件时， ，通 过市场分析，该口罩厂生产的口罩当月可以全部售完． （1）求月利润 （万元）关于月产量 （万件）的函数关系式，并求出月产量为3 万 件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润； （2）月产量为多少万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大？最大约为多少万元？ （精确到 ）参考数据： ． 21．已知函数 . （1）若 在 上是增函数，求实数 的取值范围； （2）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 22．已知点 ， ，动点 满足 ．记点 的轨迹为曲线 ． （1）求 的方程； （2）设 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别是 ， ． 证明：直线 过定点． （北京）股份有限公司