山西省太原市山西大学附属中学校2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二（期中）数学试题 第 1 页 共 11 页 （北京）股份有限公司 山西大学附中 2022～2023 学年第一学期高二年级期中考试 数 学 试 题 考试时间：120 分钟 满分： 150 分 命题人：苏兆忠 审核人：张耀军 一、单选题（每小题5 分，共60 分） 1．已知点 ，则直线 的倾斜角是 A． B． C． D． 2．已知圆 内一点P(2，1)，则过P 点的最短弦所在的直线方程是 A． B． C． D． 3．直线 关于直线 对称的直线方程为 A． B． C． D． 4．“ ”是“直线 与 互相垂直”的 A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若两条平行直线 与 之间的距离是 ，则 A．1 B．0 C． D． 6．以下四个命题表述正确的是 A．直线 恒过定点 B．两圆 与 的公共弦所在的直线方程为 C．已知圆 ： ， 为直线 上一动点，过点 向圆 引条切线 ，其中 为切点，则 的最小值为 高二（期中）数学试题 第 2 页 共 11 页 （北京）股份有限公司 D．圆 ： 与圆 ： 恰有三条公切线 7．已知中心在原点,焦点在 轴上,焦距为4 的椭圆被直线： 截得的弦的中点 的横坐标为 ,则此椭圆的方程为 A． B． C． D． 8．在一平面直角坐标系中，已知 ，现沿 轴将坐标平面折成60°的二 面角，则折叠后 两点间的距离为 A． B． C． D． 9．已知 是椭圆 的右焦点， 为椭圆 上一点， 为椭圆外一 点，则 的最大值为 A． B． C． D． 10．阿波罗尼斯（约公元前262-190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之 比为常数k（ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定 点A、B 间的距离为2，动点P 与A、B 距离之比为 ，当 面积最大时， A． B． C．8 D．16 高二（期中）数学试题 第 2 页 共 11 页 （北京）股份有限公司 11.如图，在棱长为2 的正方体 中，E 为 的中 点，点P 在线段 上，点P 到直线 的距离的最小值为 A．1 B． C． D． 12．我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.” 意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所 截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构 造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上， 然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新 几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截 面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即 .现将椭圆 绕 轴旋转一周后得一橄榄状 的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于 A． B． C． D． 二、填空题（每小题5 分，共20 分） 13．若 是 上的一点， 是其焦点，若 则 的 面积为________． 14．实数 满足 ，那么 的最大值为__________ _. 高二（期中）数学试题 第 3 页 共 11 页 （北京）股份有限公司 15．如图，已知四棱柱 的底面A1B1C1D1为平行四边形， ， ， ， 与平面 交于点 ，则 ______． 16．已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，斜率为 的直线经 过左焦点 且交 于 ， 两点（点 在第一象限），设 的内切圆半径为 ， 的内切圆半径为 ，若 ，则椭圆的离心率 ______． 高二（期中）数学试题 第 3 页 共 11 页 （北京）股份有限公司 三、解答题（17 题10 分，其余每题12 分） 17．已知 ， ，求： （1） （2）以 为邻边的平行四边形的面积. 18．已知圆 ，圆 ，直线过点 . (1)求圆 的圆心和半径； (2)若直线与圆 相切，求直线的方程； (3)求圆 和圆 的公共弦长. 19.已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，长轴长为4，且过点 . (1)求椭圆的标准方程； (2)倾斜角为 的直线过椭圆的右焦点 交椭圆于 两点，求 的面积. 高二（期中）数学试题 第 4 页 共 11 页 （北京）股份有限公司 20．如图，四棱锥 中， , , , , 的中点， . (1)求证： ；(2)求平面 夹角的余弦值. 高二（期中）数学试题 第 4 页 共 11 页 （北京）股份有限公司 21．如图，在三棱柱 中， 为等边三角形，四边形 是边长 为 的正方形， 为 中点，且 . (1)求证： 平面 ； (2)若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点 到 平面 的距离. 22．已知点 在椭圆 上，椭圆 的左､右焦点分别为 ， 的面积为 . (1)求椭圆 的方程； 高二（期中）数学试题 第 5 页 共 11 页 （北京）股份有限公司 (2)设点 在椭圆 上，直线 均与圆 相切，试判断 直线 是否过定点，并证明你的结论.