河北省邢台市第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题

高二年级数学试题 第1页（共4 页） 邢台一中2022-2023 学年上学期期末考试 高二年级数学试题 命题人：刘聚林 第I 卷（选择题共60 分） 一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．抛物线 2 8 y x  的焦点到准线的距离是 （ ）. A．1 32 B． 1 16 C．2 D．4 2．“ 0 a  ”是“直线 3 2 0 x ay a       aR 与圆 2 2 4 x y   相切”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.数列{ } n a 满足 1 2 1, 3, a a   2 1 n n n a a a     ，则 2023 a 的值为 （ ） A．2  B．1 C．3 D．2 4. 抛物线 2 8 y x  的准线过双曲线 2 2 2 1( 0) y x b b    的左焦点，则双曲线的虚轴长为 （ ） A. 8 B. 3 C. 2 3 D. 2 5． 已知数列{ } n a 的各项均为正数， 点 1 ( , ) n n A a a  在抛物线 2 6 y x  上， 则过点 ( , ) n P n a 和 * 2 ( 2, )( ) n Q n a n N    的 直线的一个方向向量的坐标可以是 （ ） A． 1 (3, ) 2 B．( 2, 2)   C． 1 ( 2  ，1)  D． 1 ( 2  ，3)  6. 某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线， 若其中心为坐标原点， 对称轴为坐标轴， 且过  4, 7 A  和 14 3, 2 B         两点，则曲线C 的离心率等于 （ ） A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 6 2 7.数列 n a 满足 1 1 a ，对任意的 * N n 都有 1 1 n n a a a n    ，则 1 2 2023 1 1 1 ... a a a     （ ） A．2022 2023 B．2023 2024 C．4046 2024 D．4048 2024 8. 如图，棱长为1 的正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中，P 为线段 1 A B 上的动点（不含端点） ，则下列结论错误 ．． 的是（ ） 高二年级数学试题 第2页（共4 页） A. 直线 1 D P 与AC 所成角的范围是( , ) 4 2  B. 平面 1 1 D A P 平面 1 A AP C. 三棱雉 1 D CDP  的体积为定值 D. 平面 1 APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形 二、 多项选择题： 本大题共4 小题， 每小题5 分， 共20 分． 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求． 全 部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分. 9. 已知两条直线1 l ：  2 3 2 0 a x y a     ，2 l ： 6 0 x ay    ，则下列结论正确的是 （ ） A. 当 1 2 a  时，1 2 l l  B. 若1 2 l l ∥ ，则 1 a 或 3 a  C. 当 0 a  时，1 l 与2 l 相交于点( 6, 4)   D. 直线2 l 过定点( 6,0)  10. 已知递减的等差数列 n a 的前n 项和为 n S ， 5 9 S S  ，则下列结论正确的是 （ ） A. 8 0 a  B. 7 S 最大 C. 14 0 S  D. 13 0 S  11. 如图， 在三棱柱 1 1 1 ABC A B C  中， M ，N 分别是 1 1 1 , A B B C 上的点， 且 1 2 BM A M  ，1 1 2 C N B N  ． 设 AB a  uuu r r ，A C b   ， 1 AA c   ，若 90 BAC   ， 1 1 60 BAA CAA    ， 1 1 AB AC AA    ，则下 列说法中正确的是（ ） A. 1 1 2 3 3 3 a b MN c    uuur r r r B. 5 3 MN  uuuu r C. 1 1 1 A B AC  uuu r uuuu r D. 1 1 1 cos , 6 AB BC  uuu r uuur 12. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694 年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种 类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积 为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.伯努利将这种曲线称 为lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意.双纽线在数学曲线领域占有至关重要的地位.双纽线像数字 “8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有 特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也 是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线     2 2 2 2 2 : 4 C x y x y    是双纽线，则下列结论正确的是（ ） 全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》 高二年级数学试题 第3页（共4 页） A. 曲线C 经过5 个整点（横、纵坐标均为整数的点） B. 曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2 C. 曲线C 关于直线y x  对称的曲线方程为    2 2 2 2 2 4 x y y x    D. 若直线y kx  与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为   , 1 1,    第II 卷（非选择题共90 分） 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，把答案填写在题中横线上 13. 若圆 2 2 4 4 0 x y Dx y      和圆 2 2 2 0 x y x F     的公共弦所在的直线方程为 1 0 x y   ，则 D F  ______． 14. 设等比数列 n a 的前n 项和为 n S ，且满足① 1 0 a  ，② n a 是递增数列，③ 3 1 13 S a  . 写出一个满足上述三个条件的 n a 的公比：q __________. 15. 已知点 , M N 分别是抛物线 2 : 4 C y x  和圆   2 2 : 4 4 D x y    上的动点，M 到C 的准线的距离为 d ，则MN d  的最小值为______ 16. 数列{ } n a 满足 1 1 a  ， 2 2 a  ，且 2 2 2 1 sin 2cos 2 2 n n n n a a              （ * nN ） ，其前n 项和为 n S 则 2023 S _________. 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（10 分）已知等差数列{ } n a 的前n 项的和为 n S ， 2 3 4 , , 2 S S S  成等差数列，且 2 7 22 , , a a a 成等比数列 （1） ）求 n a 的通项公式； （2）若 2 2 1 1 n n n n b a a    ，数列{ } n b 的前n 项的和为 n T ，求证： 1 72 n T  18. （12 分）已知圆 2 2 1 : 6 0 C x y x m     过点 (3, 5) M  ，且圆 1 C 关于直线: 1 0 l x y   对称的圆为 2 C （1）求圆 1 C 的圆心坐标和半径，并求出圆 2 C 的方程； （2）若过点 ( 2, 4) P   的直线l被圆 2 C 截得的弦长为8，求直线l的方程。 高二年级数学试题 第4页（共4 页） 19.（12 分） 已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的离心率为 3 2 ， 椭圆C 的一个顶点是抛物线 2 4 x y  的 焦点， 1 F ， 2 F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （1）求椭圆C 的方程； （2）设P 为椭圆C 上一点， (1,0) M .若 1 PF ， PM  ， 2 PF 成等差数列，求实数的取值范围. 20. （12 分）如图1，四边形ABCD 为等腰梯形， 2, 1 AB AD DC CB     ，将ADC  沿AC 折起， 使得平面ADC 平面ABC ,得到图2 的棱锥D ABC  ，E 为AB 的中点，连接 , DE CE . （1）求证：AD BC  （2）求直线AD 与平面CDE 所成角的正弦值. 21.（12 分）已知 n T 为正项数列 n a 的前n 项的乘积，且 1 3 a  ， 2 1 n n n T a   （1）求数列 n a 的通项公式 （2）令 3 log n n b a  ，求数列{ } n n a b 的前n 项和 n R 。 22． （12 分）设双曲线   2 2 2 2 : 1 0, 0 x y C a b a b     的右焦点是椭圆 2 2 1 12 3 x y   的右顶点，且椭圆的右顶 点到双曲线的一条渐近线的距离为3. （1）求双曲线C 的方程； （2）(2, 3) P 为双曲线C 上一定点， , M N 为双曲线C 上两个动点， 直线 , PM PN 的斜率 1 2 , k k 满足 1 2 1 k k  ， 求证：直线MN 恒过一个定点，并求出该定点的坐标.