重庆市育才中学校2022-2023学年高二上学期1月期末考试数学试题

（北京）股份有限公司 重庆市育才中学校高2024 届2022—2023 学年（上）期末考试 数学试题 （满分150 分，考试时间120 分钟） 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。 注意事项： 1. 答卷前，考生自行打印试卷及答题卡，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡 上； 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效： 3. 在规定时间内，将答题卡逐题竖屏拍照提交。 第I 卷 一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合要求。） 1. 在等比数列 }中， ，则a2a3a4a5a6a7等于（ ） A． 32 B． 64 C． 128 D． 256 2. 双曲线 上的点P 到左焦点的距离为9，则点P 到右焦点的距离为（ ） A． 3 B． 15 C． 15 或3 D． 10 3. 设函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，则 （ ） A． 4 B． 2 C． 1 D． —3 4. 数列{ }满足 ，则 =（ ） A． — B． C． D． 3 5. 已知抛物线 ，直线l 过定点P（0，1），与C 仅有一个公共点的直线l 有（ ）条 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 6. 已知 ，则数列{ }的通项公式是 =（ ） A． n B． C． 2n D． 7. 我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日 差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“ （北京）股份有限公司 官府陆续派遭1880 人前往修筑堤坝，第一天派出65 人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7 人。 已知最后三天一共派出了300 人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（ ） A． 6 天495 人 B． 7 天602 人 C． 8 天716 人 D． 9 天795 人 8. 已知圆 和两点 ，若圆C 上存在点P ，使得 ，则m 的最小值为（ ） A． 14 B． 13 C． 12 D． 11 二、多项选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合要求全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。） 9. 已知等差数列10，7，4，…，则（ ） A． 该数列的通项公式为an=−3n+13 B． —25 是该数列的第13 项 C． 该数列的前5 项和最大 D． 设该数列为 ，则¿a1∨+¿a2∨+¿a3∨+⋯+¿a8∨¿48 10. 已知圆M ：x 2+ y 2−2 x−3=0，则下列说法正确的是（ ） A． 点（2，0）在圆M 内 B． 圆M 关于 对称 C． 半径为 D． 直线 与圆M 的相交所得弦长为2 11. 已知数列 满足a1+3a2+⋯+(2n−1)an=n，其中bn= an (2n+1)，Sn为数列{ }的前n 项和，则下 列四个结论中，正确的是（ ） A． B． 数列{ }的通项公式为：an= 1 2n+1 C． 数列{ }为递减数列 D． 若对于任意的n∈N ∗ 都有Sn<λ，则λ≥1 2 12. 已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，点M（-4，0）在直线l 上，过点 的直线与双曲线的右支交于A、B 两点，下列说法正确的是（ ） A． 若直线l 与双曲线左右两支各一个交点，则直线l 的斜率范围为（— ， ） B． 点 到双曲线渐近线的距离为 ❑ √b 2+4 C． 若直线AB 垂直于x 轴，且△ABM 为锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为（1， ） D． 记ΔA F1 F2的内切圆 的半径为r1， 的内切圆 的半径为 ，若 ，则 （北京）股份有限公司 第II 卷 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。其中16 题第一空2 分，第二空3 分。） 13. 已知直线l1：x+ay −1=0，l2：(a+1) x+ y+3=0，若 ，则实数a=___________。 14. 已知函数f (x )=xl n x+3 x 2−1，则 =___________。 15. 设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点M、N 在C 上（M 位于第一象限）， 且点M、N 关于原点O 对称，若 ，则C 的离心率为___________。 16. 已知数列{ }满足a1=1，an+an+1=2n，则 =___________；高斯是德国著名的数学家，近代数学 奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设 ，用[x]表示不超过x 的最大整数，称 为高 斯函数。设bn=[1 gan]，且数列{bn}的前n 项和为 ，则T 2022=___________。 四、解答题（本题共6 小题，共70 分。17 题10 分，18 题至22 题12 分，解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤。） 17. 在数列{ }中，a1=5，an+1=3an−4 (n∈N ∗) （1）求证： 是等比数列： （2）求数列{ }的前n 项和 。 18. 如图，正方体ABCD— 的棱长为2，P、Q 分别为BD、 的中点。 （1）证明：PQ∥平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的大小。 19. 已知抛物线C ：y 2=2 px（0< p<2上一点P（1 p ， ）到抛物线焦点的距离为 ， （1）求抛物线C 的方程： （2）若直线l： （m 为参数）与抛物线C 交于A、B 两点，且 ，求直线l 的方程 （北京）股份有限公司 20. 已知数列{ }的前n 项和为 ，且Sn+1=Sn+an+1（n∈N ∗ ），___________。请在①a3+a9=14 （北京）股份有限公司 ：② ， ， 成等比数列：③S8=44，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题。 （1）求数列 }的通项公式； （2）若 ，设数列{ }的前n 项和Tn，求证：1≤T n<3(n∈N ∗) 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 21. 在平面五边形ABCDE 中（如图1），ABCD 是梯形， AD/¿ BC ，AD=2BC=2，AB=❑ √3，∠ABC=90 ∘，△ADE 是等边三角形。现将△ADE 沿AD 折起， 连接EB，EC 得四棱锥E—ABCD（如图2）且EC=❑ √6。 （1）求证：平面EAD⊥平面ABCD； （2）在棱EB 上有点F，满足 ，求二面角E—AD—F 的余弦值。 22. 已知O 为坐标原点，点M（— ，0），N（ ，0）皆为曲线 上点，P 为曲线 上异于M，N 的 任意一点，且满足直线PM 的斜率与直线PN 的斜率之积为— 。 （1）求曲线 的方程： （2）设直线l 与曲线 相交于A、B 两点，直线OA、l、OB 的斜率分别为k1、k、 （其中 ）， △OAB 的面积为S (S≠0)，以OA、OB 为直径的圆的面积分别为 、 ，若 、k、 恰好构成等比数 列，求 3 πS ❑ √2S1+❑ √2S2 的取值范围。