湖州市2021学年第一学期期末调研测试卷高二数学参考答案(第三稿)

2021 学年第一学期期末调研测试卷 高二数学参考答案 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项时符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A D B B A C 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分． 题号 9 10 11 12 答案 BC ABD AB ACD 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．  2 , 1 , 2   或  2 , 1 , 2  ； 14．5 ； 15． 5 7 ； 16． 2 2 四､解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17． （本小题满分10 分）已知数列 n a 是等差数列，数列 n b 是各项均为正数的等比数 列，且 1 1 3 a b   ， 2 2 14 a b   ， 3 4 5 3 a a a b    ． （Ⅰ）求数列 n a 和 n b 的通项公式； （Ⅱ）设 n n n c a b   （ * N n ） ，求数列 n c 的前n 项和 n S ． 解（Ⅰ）设等差数列 n a 的公差为d ，等比数列 n b 的公比为q ，且 0 q  ， 依题意有   1 1 2 1 1 14 3 3 a d bq a d bq         ，---------------------------------------------------2 分 由 1 1 3 a b   ，又 0 q  ，解得 3 2 q d     ，---------------------------------------------4 分 故 2 1 n a n  ，且 3n n b  ， * N n ．-------------------------------------------------6 分 （Ⅱ）由题意得 2 1 3n n n n c a b n     ， 故其前n 项和    1 2 3 1 2 3 n n n S a a a a b b b b                1 2 3 3 5 7 2 1 3 3 3 3 n n             -----------------------------------8 分         3 1 3 3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 n n n n n n           因此前n 项和     3 2 3 1 2 n n S n n     ， * N n ．----------------------------------------10 分 18． （本小题满分12 分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型 公路l ，湖上有桥AB（AB 是圆O的直径） ．规划在公路l 上选两个点P 、Q，并修建两 段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于 ．．． 圆 ．O的半径．已知点A，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD（, C D 为垂足） ，测得 10 AB  ， 6 AC  ， 12 BD  （单位:百米） ． （Ⅰ）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长； （Ⅱ） 在规划要求下， 点Q能否选在D处？并说明理由． 解： （Ⅰ）如图，过O作OH l ，垂足为H ．以O 为 坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标 系．-----------------------------------------------------------1分 因为AB 为圆O的直径， 10 AB  ， 所以圆O的方程为 2 2 25 x y   ．--------------------2分 因为 6 AC  ， 12 BD  ，所以 9 2 AC BD OH   ，故直线l 的方程为 9 y  ， 则点A，B 的纵坐标分别为3，3  从而  4,3 A ，  4, 3 B  ，----------------------------------------3分 直线AB 的斜率为3 4 ． 因为PB AB  ，所以直线PB 的斜率为 4 3  ， 直线PB 的方程为 4 25 3 3 y x   ．---------------------------------------------------4 分 所以  13,9 P  ，-------------------------------------------------------------------------5 分 所以 2 2 ( 13 4) (9 3) 15 PB       ． 因此道路PB 的长为15（百米） ．------------------------------------6分 （Ⅱ）若点Q选在D 处，连结AD ，可求出点   4,9 D  ，又  4,3 A ，------7分 所以线段AD ： 3 6( 4 4) 4 y x x    ．---------------------------------------------8 分 由 2 2 25 3 6 4 x y y x         解得 4 x  或 24 25 x  ，------------------------------------------10 分 故不妨取 3 x  ，得到在线段AD 的点 15 3, 4 M      ， 因为 2 2 2 2 15 3 3 4 5 4 OM            ， 所以线段AD 上存在点到点O的距离小于圆O的半径5．---------------------------11 分 因此点Q选在D处不满足规划要求．------------------------------------12分 19． （本小题满分12 分） 已知抛物线C ：2 2 y px  （ 0 p  ） 的准线与x 轴的交点为  1,0  ． （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）若过点  2,0 P 的直线l 与抛物线C 交于A，B 两点．请判断 2 2 1 1 PA PB  是否为 定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解： （Ⅰ）由题意，可得 1 2 p ，即 2 p  ，-----------2 分 故抛物线C 的方程为 2 4 y x  ．------------------------4 分 （Ⅱ） 2 2 1 1 PA PB  为定值，且定值是4 1 ．下面给出证明． 证明：设直线l 的方程为 2 x my   ，  1 1 , A x y ，  2 2 , B x y ， ------------------6 分 联立抛物线有 2 2 4 x my y x       ，消去x 得 2 4 8 0 y my   ， 则   2 1 2 1 2 8 16 2 0 4 y m y y m y              ，------------------------------------------------------------8 分 又 2 1 | | 1 PA m y   ， 2 2 | | 1 PB m y   ．--------------------------------------------10 分 得     2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 | | | | 1 1 PA PB m y m y            2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 16 16 1 1 4 1 64 1 4 1 y y m m m y y m m           ．因此 2 2 1 1 PA PB  为定值，且定值是4 1 ．-------------------------------------------------12 分 20． （本小题满分12 分）如图，在三棱柱 1 1 1 ABC ABC  中， 点 1 B 在底面ABC 内的射影恰好是点C ， D 是AC 的 中点，且满足DA DB  ． （Ⅰ）求证：AB 平面 1 1 BCC B ； （Ⅱ）已知 2 2 AC BC   ，直线 1 BB 与底面ABC 所成 角的大小为π 3 ，求二面角 1 C BD C   的大小． 解： （Ⅰ）因为点 1 B 在底面ABC 内的射影恰好是点C ， 所以 1 BC 面ABC ． 因为AB 面ABC ,所以 1 BC AB  ．-------------------2 分 因为D 是AC 的中点， 且满足DA DB  ． 所以DA DB DC   ， 所以 2 ABC    ,所以 BC AB  ．-----------------------------4 分 因为 1 BC BC C   , AB 平面 1 1 BCC B ．----------------------------5 分 （Ⅱ）因为 1 BC 面ABC ， 所以直线 1 BB 与底面ABC 所成角为 1 B BC  ，即 1 π 3 B BC   ．--------------------6 分 因为 1 BC ，所以 1 tan 3 3 BC BC    ． 如图所示，以C 为原点， 1 , , CA Cy CB   为, , x y z 轴正方向建立空间直角坐标系． 则  0,0,0 C , 1 3 , ,0 2 2 B        ，   1,0,0 D ，   1 0,0, 3 B ,------------------7 分 所以 1 1 3 , , 3 2 2 BB            ， 1 3 , ,0 2 2 BD             ， 设   1 , , C x y z ，由 1 1 CC BB     得，  1 3 , , , , 3 2 2 x y z           ，即 1 1 3 , , 3 2 2 C           ． 则   1 1, 3, 3 BC    ．-----------------------------------------------------------------8 分 设平面 1 DBC 的一个法向量为   , , n x y z   ，则 1 · 3 3 0 1 3 · 0 0 2 2 n BC x y z n BD x y                   ，不妨令 3 x  ，则   3,1,2 n   ． 因为 1 BC 面ABC ， ，所以面DBC 的一个法向量为   1 0,0, 3 CB   ---------------10 分 记二面角 1 C BD C   的平面角为，由图知，为锐角． 所以 1 1 1 2 cos cos , 2 CB n CB n CB n          ，------------------------11 分 即 4   ．所以二面角 1 C BD C   的大小为4 ．-------------------------------12 分 21． （本小题满分12 分）某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系 数分为 B A, 两个等级，其中B 等设备安全系数低于A 等设备．企业定时对生产设备进行 检修，并将部分B 等设备更新成A 等设备．据统计，2020 年底该企业A 等设备量已占全 体设备总量的 % 30 ． 从2021 年开始， 企业决定加大更新力度， 预计今后每年将 % 16 的B 等设备更新成A 等设备，与此同时，% 4 的A 等设备由于设备老化将降级成B 等设备． （Ⅰ）在这种制度下，是否有可能在将来的某一年，该企业的A 等设备占全体设备的比 例超过 % 80 ； （Ⅱ）至少在哪一年底，该企业的A 等设备占全体设备的比例超过 % 60 ．（参考数据： 3 4 0.512 5       ， 4 4 0.4096 5       ， 5 4 0.32768 5       ） 解：（Ⅰ）记该企业全部生产设备总量为“1”， 2020 年开始，经过n 年后A 等设备量占总设备量的百分比为 n a ， 则经过1 年即2021 年底该企业A 等设备量 1 3 96 7 16 2 10 100 10 100 5 a      ，----------1 分 25 4 5 4 ) 1 %( 16 %) 4 1 ( 1        n n n n a a a a ，--------------------------------------------3 分 可得 1 4 4 4 5 5 5 n n a a           ，又 1 4 2 0 5 5 a    所以数列 4 5 n a        是以 2 5  为首项，公比为4 5 的等比数列， 可得 4 2 4 5 5 5 n n a         ，所以 4 1 4 5 2 5 n n a         ，----------------------------------------5 分 显然有 4 5 n a  ，所以A 等设备量不可能超过生产设备总量的 % 80 ．---------------7 分 （Ⅱ）由 4 1 4 3 5 2 5 5 n n a    （） ，得4 2 5 5 n       ．---------------------------------------------8 分 因为 4 5 n y       单调递减，又 4 4 2 5 5       ， 5 4 2 5 5       ，-------------------------------10 分 所以在2025 年底实现A 等设备量超过生产设备总量的 % 60 ．------------------12 分 22．（本小题满分12 分）已知椭圆C : 2 2 2 2 1 x y a b  （ 0 a b   ）的离心率是 3 2 ， 且过点   2,1 P ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ） 若直线l 与椭圆C 交于A、 B 两点， 线段AB 的中点为M ， O 为坐标原点，且 2 OM  ，求AOB  面积的最大值． 解： （Ⅰ）由题知 2 2 4 1 1 3 2 a b c a           ，------------------------2 分 解得 2 2 2 8 2 6 a b c         ，因此，椭圆C 的标准方程为 2 2 1 8 2 x y   ．----------------------------------4 分 （Ⅱ）当AB x  轴时，M 位于x 轴上，且OM AB  ，--------------------5 分 由 2 OM  可得 6 AB  ，此时 1 3 2 AOB S OM AB     ； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t  ， 与椭圆交于  1 1 , A x y ，  2 2 , B x y ， 由 2 2 1 8 2 x y y kx t          ，得  2 2 2 1 4 8 4 8 0 k x ktx t      ． 得 1 2 2 8 1 4 kt x x k    ， 2 1 2 2 4 8 1 4 t x x k   ，-------------------------------------------6 分 从而 2 2 4 , 1 4 1 4 kt t M k k          已知 2 OM  ，可得   2 2 2 2 2 1 4 1 16 k t k    ．--------------------------------------------7 分      2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 8 4 8 1 4 1 4 1 4 1 4 kt t AB k x x x x k k k                                     2 2 2 2 2 16 8 2 1 1 4 k t k k      ．---------------------------------------8 分 设O 到直线AB 的距离为d ，则 2 2 2 1 t d k  ， 结合   2 2 2 2 2 1 4 1 16 k t k    化简得     2 2 2 2 2 2 12 4 1 1 16 2 1 16 AOB k k S AB d k              ------------------------------------------9 分   2 2 2 2 2 12 4 1 2 16 4