湖北省宜城市第一中学、枣阳一中等六校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

（北京）股份有限公司 宜城一中 枣阳一中 曾都一中 襄州一中 南漳一中 河口一中 2022-2023 学年下学期高一期中考试数学试题 考试时间：2023.4.10 15：00-17：00 时限：120 分钟 分值：150 分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名､准考证号等在答题卷上填写清楚. 2.选择题答案用2B 铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm 的黑色签 字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单选题：本题共8 个小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的. 1.复数 （其中为数单位）的共轭复数在复平面中对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知平面向量 满足 与 的夹角为 ，则实数 的值为（ ） A.-2 B.2 C. D. 3.已知 为锐角， ，则 （ ） A. B. C. D. 4.在 中， ，则 的形状一定是（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 （北京）股份有限公司 5.把函数 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再把图像上所有的点向左平行 移动 个单位长度，得到的图像所表示的函数是（ ） A. B. C. D. 6.已知单位向量 满足 ，则向量 夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 或 7.已知 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 8.已知四边形 中， ，点 在四边形 的边上运 动，则 的最小值是（ ） A. B. C. D.-1 二､多选题：本题共4 个小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项 符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对得2 分，错选､多选的0 分. 9.下列四个命题为真命题的是（ ） A.已知非零向量 ，若 ，则 B.若四边形 中有 ，则四边形 为平行四边形 （北京）股份有限公司 C.己知 ，则 可以作为平面向量的一组基底 D.已知向量 ，则 在 方向上的投影向量的模为 10.已知函数 ，则下列判断正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于直线 对称 C. 在 上单调递增 D. 的图象关于点 对称 11.已知角 是 的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B.若 ，则 C.若 是锐角三角形，则 D.若角 是钝角，则 12.下列命题为真命题的是（ ） A.函数 的图象关于点 对称 B.函数 是最小正周期为 的周期函数 C.若 是第二象限角，则 ，且 D.函数 在区间 上是增函数 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. （北京）股份有限公司 13.已知复数 满足 ，则在复平面中 对应的点所构成的图形的面积为__________. 14.已知函数 的最小正周期为 ，则函数 在区间 上的最大值 与最小值的和是__________. 15.已知点 ，将向量 按顺时针方向旋转 后得到向量 ，则点 的坐标为________ __. 16.在 中， 边上的高为2，则满足条件的 的个数为__________. 四､解答题：本题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（满分10 分） 已知复数 . （1）若 为纯虚数，求实数 的值； （2）若 在复平面内对应的点在直线 上，求 . 18.（本小题满分12 分） 已知 为锐角， （1）求 的值； （2）求 的值. 19.（本小题满分12 分） 如图，在四边形 中， 为等边三角形， 是边 上靠近 的三等 分点.设 . （1）用 表示 ； （北京）股份有限公司 （2）求 的余弦值. 20.（本小题满分12 分） 建设生态文明是关系人民福祉､关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的 号召，在气温低于 时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位： ）随时间（ ，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足 关系. （1）求 的表达式； （2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. 21.（本小题满分12 分） 设函数 . （1）求函数 的最小正周期及 图象的对称轴； （2）在 中，若 ，且 的外接圆的面积为 ，求 的最大值. 22.（本小题满分12 分） 在 中，内角 所对应的边分别是 的面积为 .已知 ，且 . （1）求角 的大小； （北京）股份有限公司 （2）若对任意的 恒成立， ，求 的最小值. 宜城一中 枣阳一中 曾都一中 襄州一中 南漳一中 河口一中 2022-2023 学年下学期高一期中考试数学试题 数学答案 一､单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C B A A D B A C 二､多项选择题 题号 9 10 11 12 选项 ABD AB ABC AD 三､填空题 13. 14.1 15. 16.2 四､解答题 17.解：（1）若 为纯虚数，则 ，解得 . （2）由题意可得 解得 所以 ，所以 18.解：（1）因为 为锐角，且 ，所以 ， 所以 . （北京）股份有限公司 （2）由（1）知， 因为 为锐角， ，所以 则 则 19.解：（1）由图可知 ， 因为 是边 上靠近 的三等分点， 所以， （2）因为 为等边三角形， 所以 ， 所以 所以 则 （北京）股份有限公司 20.（1）因为 图像上最低点坐标为 ， 与之相邻的最高点坐标为 ， 所以 所以 ，解得 所以 （2）由（1）得 所以 ， 所以 解得 因为 ， 所以 或 所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8 小时 21.解：（1）因为 （北京）股份有限公司 所以函数 的最小正周期 令 ，解得 所以函数 的周期是 ，对称轴方程是 （2）因为 ，所以 又因为 . 所以 ，故有 已知 的外接圆的面积为 ，设半径为 所以 ，得 设 的角 所对的边分别为 . 由正弦定理 . 所以 ，其中 所以 的最大值是 （北京）股份有限公司 22.解：（1）因为 ，所以 . 因为 ，所以 所以 ，所以 或 . 因为 ，所以 ，所以 （2）因为对任意的 恒成立，所以 ， 即 ，解得 ，所以 由（1）可知 ，则 设 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以 设函数 ， 则 在 上单调递增 所以当 时， 有最小值 ，即 的最小值为1 （北京）股份有限公司