甘肃省天水市一中2021-2022学年高二上学期第一学段考试数学试题

天水一中高二级2021-2022 学年度第一学期第一学段考试 数学试题 （满分：100 分 时间：90 分钟） 一、单选题（每小题4 分，共40 分） 1．已知等差数列 中各项都不相等， ，且 ，则公差 （ ） A．1 B． C．2 D．2 或 2．各项都为正数的等比数列 中， ，则 的值为（ ） A．5 B． C． D． 3．若 ，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 4．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､ 立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长 为9.5 尺，立夏当日日影长为2.5 尺，则春分当日日影长为（ ） A．4.5 尺 B．5 尺 C．5.5 尺 D．6 尺 5．已知递增等比数列 ， ， ， ，则 （ ） A．8 B．16 C．32 D．64 6．若x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A．1 B．0 C．5 D．9 7．等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于（ ） A．5 B．10 C．20 D．40 8．数列 满足 且 ，则此数列第5 项是（ ） A．15 B．255 C．16 D．63 9．已知数列 的前n 项和为 ， ， ，则 =（ ） A． B． C． D． 10．已知 ，且 ，则 的最小值为（ ） A．9 B．10 C．11 D． 二、填空题（每小题5 分，共20 分） 11．不等式 的解集是____________. 12．已知数列 满足 ， ，则此数列的通项公式 _______ _. 13．已知公比大于1 的等比数列 满足 ， ，则公比 等于________. 14．设 为等比数列 的前 项之积， ， ，则 的最大值为_____． 三、解答题（每小题10 分，共40 分） 15．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ． （1）求 及 ； （2）令 ，求数列 的前 项和 ． 16．设数列 的前 项和为 ， ， . （1）求证：数列 是等差数列； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 17．生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就是一个非常好的锻炼方式.游泳有众多好处： 强.身健体；保障生命安全；增强心肺功能；锻炼意志，培养勇敢顽强精神；休闲娱乐，促 进身心健康.近几年，游泳池成了新小区建设的标配.家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱 乐的好去处.如图，某小区规划一个深度为 ， 底 面积为 的矩形游泳池，按规划要求：在 游 泳池的四周安排 宽的休闲区，休闲区造价为 元 ，游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖造价为 元 .其他设施等支出大约为 万元，设游泳池的长为 . （1）试将总造价 （元）表示为长度 的函数； （2）当 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价. 18．（1）已知 ，求证 . （2）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 天水一中高二级2021-2022 学年度第一学期第一学段考试 数学参考答案 1．B 2．C 3．D 4．D 5．D 6．D 7．C 8．B 9．D 10．A 10.由 x>1， ，又 ，且 ， ， 当且仅当 ，解得 ， 时等号成立，故 的最小值为9． 11． 12. -n+3 13．2 14．1024 15．（1） ， ；（2） ． 解：（1）由题意，设等差数列 的公差为 ， 则 ，整理得 ，解得 ， ∴ ， ． （2） ， ∴ ． 16．（1）证明见解析；（2） . （1） ， ，则 ，所以 ， 有 ，所以数列 是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知 ，故 ， ，① ① ，得 ，② ① ②得， ， 所以 . 17．（1） ；（2）当 时，总造价最低，且最 低总造价为 元. （1）因为游泳池的长为 ，所以游泳池的宽为 ， 铺游泳池的花费为 ， 休闲区的花费为 ， 所以，总造价为 ，其 中 ； （2）由基本不等式可得 （元）， 当且仅当 时，等号成立. 因此，当 时，总造价最低，且最低总造价为 元. 18．（1）答案见解析；（2） 解： （2）对于任意的 ， 恒成立， 即 恒成立， 对任意的 ， 恒成立， 当 时， 恒成立， 因为 时，所以 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 ， 所以实数 的取值范围为 ．