宁夏银川市第二中学2021-2022学年高二下学期第一次月考数学（理）试题(1)

银川二中2021-2022 学年第二学期高二年级月考一 理科数学试题 注意事项： 1.本试卷共22 小题，满分150 分.考试时间为120 分钟. 2.答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡. 一.选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 2 2 4 3 A C  的值为（ ） A. 3 B. 9 C. 12 D. 15 2. 某邮局有4 个不同的信箱，现有5 封不同的信需要邮寄，则不同的投递方法共有（ ） A. 5 4 种 B. 4 5 种 C. 4 5 C 种 D. 4 5 A 种 3. 从装有3 个红球、2 个白球的袋中任取3 个球,则所取的3 个球中至少有1 个白球的概率是( ) A. 1 10 B. 3 10 C. 3 5 D. 9 10 4. 随机变量X 的 分布列为P(X＝k)＝  1 c k k  ，c 为常数，k＝1,2,3,4，则 1 5 P( X ) 2 2   的值 为( ) A. 4 5 B. 5 6 C. 2 3 D. 3 4 5. 根据历年的气象数据，某市5 月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为 0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上 大风的概率为（） A. 0.8 B. 0.625 C. 0.5 D. 0.1 6. 大庆实验中学安排某班级某天上午五节课课表，语文､数学､外语､物理､化学各一节，现要求 数学和物理不相邻，且都不排在第一节，则课表排法的种数为（） A. 24 B. 36 C. 72 D. 144 7. 已知   3 1 1 n x x   的展开式中所有项的系数之和为64 ，则展开式中含有 3 x 的项的系数为 （） A. 20 B. 30 C. 45 D. 60 8. 一袋中有5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球 出现10 次时停止，设停止时共取了X 次球，则  12 P X  等于（ ） A. 10 2 10 12 3 5 8 8 C          B. 9 2 9 12 3 5 8 8 C          C. 9 2 9 11 5 3 8 8 C          D. 10 2 9 11 3 5 8 8 C          9. 在“3+1+2”模式的新高考方案中，“3”是指语文、数学、外语三科为必考科目，“1”指在物理和 历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任选两科，某学生根据自身的特 点，决定按以下方法选课：①外语可选英语或日语，②若选历史，则政治和地理至多选一科， ③物理和日语最多只能选一个，则这个同学可能的选课方式共有（） A. 6 种 B. 11 种 C. 12 种 D. 16 种 10. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X，则X 的数学期望为 A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 11. 为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022 年1 月13 日开始，某市启动 新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3 个疫苗 接种定点医院，现有8 名志愿者将被派往这3 个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2 名 至多4 名志愿者，则不同的安排方法共有（） A. 2940 种 B. 3000 种 C. 3600 种 D. 5880 种 12. 若 1 1 1 1 1 1 9 9 9 n n n n n n n C C C            是11 的 倍数，则自然数n 为（） A. 奇数 B. 偶数 C. 3 的倍数 D. 被3 除余1 的数 二．填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 若随机变量 3 ~ 3 4 X B      ， , 则方差  D x ____________. 14. 有3 名男演员和2 名女演员，演出的出场顺序要求2 名女演员之间恰有1名男演员，则不同的 出场顺序共______种 15. 两位同学约定下午5：30～6：00 在图书馆见面， 且他们在5：30～6：00 之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15 分钟后还未见面便离开，则这两位同学 能够见面的概率是________． 16. 设 2022 2 2022 0 1 2 2022 (1 2 ) x a a x a x a x      ，则 3 1 2 2 3 2 2 2 a a a   … 2021 2022 2021 2022 2 2 a a   _____ _． 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤）. 17. 已知向量   2,1 a   ，   , b x y   ． （1）若x，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先 后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足 1 a b    的概率； （2）若x，y 在连续区间[1,6] 上取值，求满足 0 a b    的概率． 18. 在 2 3 1 2 n x x       的展开式中，第3 项的二项式系数为28． （1）求n 及第5 项的系数； （2）求展开式中的 有理项． 19. 甲，乙，丙三人各自独立地加工同一种零件，已知甲加工的零件是一等品且乙加工的零件不 是一等品的概率是 1 2 ，乙加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率是 3 32 ，甲加 工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率是 1 4 .记事件A，B，C 分别是甲，乙，丙三 人各自加工的零件是一等品. （1）分别求出事件A，B，C 的概率 ( ), ( ), ( ) P A P B P C ； （2）从甲，乙，丙三人加工的零件中随机各取1 个进行检验，记这3 个零件是一等品的个数为 ，求随机变量的分布列. 20. 冬奥会志愿者有6 名男同学，4 名女同学.在这10 名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余 7 名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7 所大学.现从这10 名志愿者中随 机选取3 名同学，到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等). （1）求选出的3 名同学是来自互不相同的大学的概率； （2）设X 为选出的3 名同学中女同学的人数，求随机变量X 的期望和方差. 21. 已知10 件不同产品中有4 件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4 件次品为止． （1）若恰在第5 次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测 试方法数是多少？ （2）若恰在第5 次测试后，就找出了所有4 件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ 22. 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖 可以获得2 分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得3 分；未中奖则不得分．每人有且只有一次 抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． （Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的 累计得分为 ,求 的概率； （Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖， 累计得分的 数学期望较大？ 【1 题答案】 【答案】B 【2 题答案】 【答案】A 【3 题答案】 【答案】D 【4 题答案】 【答案】B 【5 题答案】 【答案】A 【6 题答案】 【答案】B 【7 题答案】 【答案】A 【8 题答案】 【答案】D 【9 题答案】 【答案】D 【10 题答案】 【答案】B 【11 题答案】 【答案】A 【12 题答案】 【答案】A 【13 题答案】 【答案】 9 16 【14 题答案】 【答案】36 【15 题答案】 【答案】 3 4 【16 题答案】 【答案】1 【17 题答案】 【答案】（1） 1 12 ；（2） 21 25 . 【详解】(1) , x y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次时第一次、第二次出现的 点数，有序数对  , x y 可能情况有36 种， 1 a b    即2 1 x y    ，包含的情况有    1,1 , 2,3 , 3,5 三种， 所以满足 1 a b    的概率为 3 1 36 12  ； (2)若x，y 在连续区间[1,6] 上取值，则全部基本事件的结果为     , 1 6,1 6    x y x y . 满足 0 a b    的基本事件的结果为   1 6 , 1 6 2 0                      x A x y y x y ． 画出图象如图所示，矩形的面积为 =25 矩形 S ， 阴影部分的面积为 1 =25- 2 4=21 2  阴影 S ， 故满足 0 a b    的概率为 21 25 . 【18 题答案】 【答案】（1） 8 n ，第5 项系数为1120；（2）有理项共三项，分别为 16 256x ， 9 1792x  ， 2 112x ． 【详解】（1）第3 项的二项式系数为 2 28 n C  ， 得  1 56 n n   ， 解得 8 n ， 第5 项的系数是 4 4 8 C 2 1120   ． （2）     7 16 8 2 8 3 1 8 8 3 1 2 1 C 2 k k k k k k k k T C x x x                ， 当 0 k 时， 0 8 0 16 8 16 16 1 8 C 2 2 256 T x x x       ， 当 3 k 时，   3 3 8 3 16 7 3 5 9 9 4 8 8 1 C 2 C 2 1792 T x x x         ， 当 6 k 时，   6 6 8 6 16 14 6 2 2 2 7 8 8 1 C 2 C 2 112 T x x x         ； 所以有理项共三项，分别为 16 1 256 T x  ， 9 4 1792 T x  ， 2 7 112 T x  ． 19【小问1 详解】 解：根据题意，  1 1 2 P A P B       ①， 3 32 P B P C  ②， 1 4 P A P C  ③； 由②③得  3 3 8 8 P B P A   ④， 将④代入①得  3 1 1 8 2 P A P A         ，解得 2 3 P A  ， 所以， 1 3 ( ) , ( ) 4 8 P B P C   【小问2 详解】 由(1)得 1 3 5 ( ) , ( ) , ( ) 3 4 8 P A P B P C    ， 的可能取值为0，1，2，3.  5 ( 0) , 32 P P A P B P C       11 ( 1) , 24 P P A P B P C P A P B P C P A P B P C         31 ( 2) , 96 P P A P B P C P A P B P C P A P B P C       1 ( 3) 16 P P A P B P C    所以，的分布列为：  0 1 2 3 P 5 32 11 24 31 96 1 16 20【答案】（1） 49 60 ； （2）  6 5 E X  ，  14 25 D X  . 【小问1 详解】 设A 为选出的3 名同学是来自互不相同的大学，则 1 2 0 3 3 7 3 7 3 10 49 ( ) 60 C C C C p A C    ； 【小问2 详解】 由题可知随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.     0 3 1 2 4 4 6 3 3 1 1 6 0 0 1 1 0 , 1 , 6 2 C C C C P X P X C C           2 1 3 0 4 4 6 3 3 6 10 10 3 1 2 , 3 , 10 30 C C C C P X P X C C       X  的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 ∴  1 1 3 1 6 0 1 2 3 6 2 10 30 5 E X      2 2 2 2 6 1 6 1 6 3 6 1 14 0 1 2 3 5 6 5 2 5 10 5 30 25 D X                                    . 【21 题答案】 【答案】（1）103680 （2）576 【详解】（1）由题意知本题是一个分别计数问题， 先排前4 次测试，只能取正品，有A64种不同测试方法， 再从4 件次品中选2 件排在第5 和第10 的位置上测试， 有C42•A22=A42种测法，再排余下4 件的测试位置有A44种测法． ∴共有不同排法A64•A42•A44=103680 种． （2）第5 次测试恰为最后一件次品，另3 件在前4 次中出现，从而前4 次有一件正品出现． ∴共有不同测试方法A41•（C61•C33）A44=576 种． 【22 题答案】 【答案】（Ⅰ） 11 15 （Ⅱ）他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大 【详解】( ) Ⅰ由已知得:小明中奖的概率为 2 3 ,小红中奖的概率为 2 5 ,两人中奖与否互不影响, 记“这2 人的累计得分 3  X ”的事件为A,则A 事件的对立事件为“ 5 X ”, 2 2 4 ( 5) 3 5 15 P X    , 11 ( ) 1 ( 5) 15 P A P X     这两人的累计得分 3  X 的概率为 11 15 . ( ) Ⅱ设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 1 X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为 2 X ,则这两 人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 1 (2 ) E X ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 2 (3 ) E X 由已知: 1 2 ~ (2, ) 3 X B , 2 2 ~ (2, ) 5 X B 1 2 4 ( ) 2 3 3 E X   , 2 2 4 ( ) 2 5 5 E X  1 1 8 (2 ) 2 ( ) 3 E X E X    , 2 2 12 (3 ) 3 ( ) 5 E X E X   1 2 (2 ) (3 ) E X E X   他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.