浙江省S9联盟2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前 浙江省S9 联盟2021-2022 学年高二上学期期中联考 数学学科 试题 考生须知： 1. 本卷共4 页满分150 分，考试时间120 分钟； 2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考 证号并填涂相应数字； 3. 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4. 考试结束后，只需上交答题纸. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5 分，共40 分） 1．已知i 为虚数单位，则复数 z= 1 i+1 的实部是（ ） A． −1 2 B． 1 2 C． √2 2 D．1 2．已知实数a>b>0 ，c∈R ，则下列不等式恒成立的是（ ） A．ac<bc B． b+1 a+1 < b a C． b+1 a+1 > b a D．ac≥bc 3．为迎接2022 年杭州亚运会，亚委会采用按性别分层随机抽样的方法 从某高校报名的200 名学生志愿者中抽取30 人组成亚运志愿小组，若30 人中共有男生12 人，则这200 名学生志愿者中男生可能有（ ）人 A．18 B．12 C．120 D．80 4．若向量⃗ a=(1,2,0),⃗ b=(−2,0,1)，则（ ） A． cos<⃗ a,⃗ b>=−1 2 B．⃗ a⊥⃗ b C．⃗ a ∥⃗ b D．|⃗ a|=|⃗ b| 5．将棱长为2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ） A． 4 π 3 B． √2π 3 C． √3 π 2 D． π 6 6．设α , β 是两个不同平面，m,n 是两条直线，下列命题中正确的是（ ） A．如果m⊥n ，m⊥α ，n⊥β ，那么α ∥β B．如果m⊥n ，m⊥α ，n ∥β ，那么α ⊥β C．如果m ∥n ，m⊥α ，n⊥β ，那么α ∥β D．如果α ∥β ，m 与α 所成的角和n 与β 所成的角相等，那么m ∥n 7．设x∈R ，则“x2−2 x<0 ”是“|x−1|<2”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 8．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD , AB=2BC=2CD=2,P 是腰AD 上的动点，则|2⃗ PB−⃗ PC|的最小值为（ ） A．√7 B．3 C． 3√3 2 D． 27 4 二、多选题（每题5 分，少选得2 分，多选或错选得0 分，共20 分） 9．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ） A．平均数为3 B．标准差为 C．众数为2 和3 D．85%分位数为4.5 10．抛掷三枚硬币，设事件Ai= “第i 枚硬币正面朝上”，i=1,2,3 ．则 （ ） A．A1与A2互斥 B．A1∪A2与A3相互独立 C． P( A2∩A3)= 1 4 D． P( A1∪A2)=3 4 11．以下结论正确的是（ ） A． x2+ 1 x2≥2 B． √x2+3+ 1 √x2+3 的最小值为2 C．若a2+2b2=1,则 1 a2 + 1 b2≥3+2√2 D．若a+b=1,则 1 a + 1 b≥4 （第12 题图） 12．如图，三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC 所成的角为60°，∠AA1B1为锐角，且侧面ABB1 A1⊥¿ ¿底面ABC ，下列四 个结 论正确的是（ ） A．∠ABB1=60° B．AC⊥BB1 C．直线AC1与平面ABB1 A1所成的角为45 °D．B1C⊥AC1 第II 卷（非选择题） 三、填空题（每题5 分，共20 分） 13．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为 1 3 ，1 4 则密码被成功破译的概率_________． 14．已知函数f(x)=¿{lnx,x>0¿¿¿¿ ，则g(x)=f (x)+1的零点个数为__ ______. 15．若不等式2 x>x2+a 对于一切x∈[−2,3]恒成立，则实数a 的取值范 围为______． 16．如图，矩形ABCD 中，AB=1,BC=a，PA⊥¿ ¿平面ABCD ，若在 线段BC 上至少存在一个点Q 满足PQ⊥DQ ，则a 的取值范围是___ _____. （第16 题图） 四、解答题（第17 题为10 分，其余均为15 分， 共70 分） 17．如图：已知四棱锥P−ABCD 中，PD⊥¿ ¿平 面ABCD ， 四边形ABCD 是正方形，E 是PA 的中点， 求证： （1）PC //平面EBD ； （2）BC⊥¿ ¿平面PCD . （第17 题图） 18．袋中有9 个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球､黄球､绿球， 从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是 5 9 ，得到黄球或绿球的概率是 2 3 ，试求： （1）袋中黑球､黄球､绿球的个数分别是多少？ （2）从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个得概率是多 A P B E D C 少？ （3）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 19．已知Δ ABC 的内角A ,B,C 所对的边分别是a,b,c ，且 √3asin B+bcos A=2b . （1）求角A 的大小； （2）若b+c=6,且Δ ABC 的面积S=2√3 ，求a. 20. 已知定义在R 上的函数 f ( x)= 1−2x 2x+1+2 . （1）求f (0)的值，并判断f ( x)的奇偶性（要有过程）； （2）当x∈(1,2)时，不等式2x+kf ( x)−3>0 恒成立，求实数k 的取值 范围. 21．在三棱柱 中， ， ， ， 平面 ， 是 的中点. （1）求证：平面 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. （第21 题图） 参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D D A C A C 8．C 【详解】 解：如图，以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，则由题意 可得 ，设 ，其 ， 则 ， 所以 ， 所以 ， 所以当 时， 取最小值 ， 故选：C 二、多选题 题号 9 10 11 12 答案 AC BCD AC ACD 13．ACD【详解】 如图，过 作 ， 为垂足，连结 ， 如图建立空间直角坐标系 对于A 选项，侧棱 与底面 所成角为 ， 为锐角， 且侧面 底面 ， ，又三棱柱 的各 棱长相等，可知四边形 为菱形， ， 故A 选项正确； 对于B 选项，易知 ，故B 选项不正确； 对于C 选项，由题意可知 即为 与平面 所成的角， ， ，故C 选项正确； 对于D 选项， ， 因此 ，故D 选项正确. 故选：ACD 三、填空题 13． 14．2 15． 16．a≥2 四、解答题 17．（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】 （1）连BD，与AC 交于O，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而 可得线面平行； （2）先证明 ， ，从而可证BC⊥平面PCD 【详解】 （1）连 ，与 交于 ，连接 ∵ 是正方形，∴ 是 的中点， ∵ 是 的中点，∴ 又∵ 平面 ， 平面 ∴ 平面 ； 5 分 （2）∵ 平面 ， 平面 ∴ ∵ 是正方形，∴ 又∵ ∴ 平面 5 分 18．（1）黑球､黄球､绿球的分别有3、2、4 个； 5 分（对1 个2 分，对2 个5 分） （2）0.6 5 分 （3） . 5 分 19．（1） ；（2） . 【分析】 （1）由正弦定理结合辅助角公式得出角A 的大小； （2）利用面积公式以及余弦定理，解出 的值． 【详解】 （1）因为 ，由正弦定理得； 2 分 所以 得 5 分 因 故 7 分 （2） 9 分 得 12 分 所以 15 分 20．（1） ， 为奇函数， 7 分 （2）由 ，得 ， 因为 ，所以 ， 所以 ． 令 ，则 ，此时不等式可化为 ， 记 ，因为当 时， 和 均为减函数， 所以 为减函数，故 ， 因为 恒成立，所以 ． 15 分 21．（1）证明见解析；（2） . 【详解】 （1）由 平面 ， 平面 ，得 ， 2 分 又 ， ，故 平面 ， 4 分 平面 ，故平面 平面 . 6 分 （2）以 为原点， 为 轴， 为轴，建立如图所 示空间直角坐标系， 则 ， ， 8 分 又 ， ， 故 ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，令 ，则 ， ， 11 分 设直线 与平面 所成的角为 ， 故 ， 15 分 即直线 与平面 所成角的正弦值为 .