山西省运城市2021-2022学年高二下学期期末调研测试数学试题含解析

运城市2021-2022 学年第二学期期末调研测试 高二数学试题 2022.7 一､选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 若全集 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域求出集合 ，再求交集即可. 【详解】因为 ， 所以 ， 故选：A. 2. 已知函数 ，则 的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出 的范围，然后可得答案. 【详解】因为 ，所以 ，所以 ， 故选：D 3. 已知函数 为 上的偶函数，则实数 （ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合偶函数定义 ，代入即可求得结果. 【详解】解：因为函数 为 上的偶函数， 所以 ， 即 ， 所以 ，即 ， 所以 或 . 故选：B. 4. 某社区服务站将5 名抗疫志愿者分到3 个不同的社区参加疫情防控工作，要求每个社区至少1 人，则不 同的分配方案有（ ） A. 60 种 B. 90 种 C. 150 种 D. 300 种 【答案】C 【解析】 【分析】先分类，分到3 个社区的志愿者人数分别为3,1,1 或2,2,1，再求出两种情况下的不同分配方案. 【详解】若3 个社区的志愿者人数分别为3，1，1，此时不同的分配方案有 种， 若3 个社区的志愿者人数分别为2，2，1，此时不同的分配方案有 种， ∴不同的分配方案共有 种 故选：C. 5. “ ”是“函数 有且只有两个零点”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数 有且只有两个零点的充要条件即可判断. 【详解】解：因为当 时， 有一零点 ， 要使函数有两个零点，所以当 时必有一个零点， 即 有一个非正解. 即 在 上有解， 所以 ， 又因为 ， 所以“ ”是“函数 有且只有两个零点”必要不充分条件. 故选：A. 6. 已知函数 ， ，则如下部分图像对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性及其在 上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选 项. 【详解】对于A 选项，令 ， 函数 的定义域为 ， ， 所以，函数 为奇函数，与题图不符； 对于B 选项，令 ， 对任意的 ， ，即函数 的定义域为 ， ，所以，函数 为奇函数，与题图不符； 对于C 选项， ， 函数 的定义域为 ， ， 函数 为偶函数，与题图相符， 当 时， ， ，则 ，与题图相符； 对于D 选项， ，由 ，可得 ， 故函数 的定义域为 ，与题图不符. 故选：C. 7. 已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数 ，分析可知函数 为偶函数，且在 上为减函数，由已知可 得出 ，可得出 ，结合对数函数的单调性解此不等式即可得解. 【详解】构造函数 ， ，则函数 为偶函数，且该函数在 上为减函数， 由 可得 ，即 ， 所以， ，可得 ，即 ，解得 . 因此，不等式 的解集为 . 故选：D. 8. 已知 ，且 ，则下列一定正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式即可判断A；举出反例即可判断BCD. 【详解】解：对于A， ， 当且仅当 时，取等号， 所以 ，故A 正确； 对于B，若 ，则 ，故B 错误； 对于C，若 ，则 ，故C 错误； 对于D，若 ，则 ，故D 错误. 故选：A. 9. 已如图所示，函数 的图象由两条射线和三条线段组成. 若 ，则正实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数 、 的解析式，再借助函数性质及图象变换，列出不等式，求解作答. 【详解】由图象知， ， ， 显然函数 是奇函数，则 ， 因此，函数 的图象与 的图象没有公共点，而 的图象是 的图象向 右平移2 个单位而得， 于是得 ，当且仅当 ，解得 ，而 ，即有 ， 所以正实数 的取值范围为 . 故选：D 10. 已知 是定义在 的函数，对任意两个不相等的正数 ，都有 ， 记 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由 可知函数 是 上的减函数，结合自变量的大小比较函数值 即实数a,b,c 的大小即可. 【详解】因为 是定义在 上的函数，对任意两个不相等的正数 ，都有 ，任取 故 ，化简得： ， ∴函数 是 上的减函数， 因为 ， ， 所以 ，同理 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ， 故选：C. 11. 若函数 图象关于 对称，则 的最大值为（ ） A. 16 B. 15 C. 9 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性求得 ，利用导数求得 的最大值. 【详解】 关于直线 对称， ， ，解得 ， 所以 ， ， 令 解得 或 或 ， 所以 在区间 递增； 在区间 递减， 结合 的对称性可知：当 或 时， 取得极大值也即是最大值， . 故选：A 12. 已知函数 的定义域为R，且函数 的图象关于点 对称，对于任意的 ，总有 成立，当 时， ，函数 ， 对任意 ，存在 ，使得 成立，则满足条件的实数 的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干条件，可得 为奇函数，且周期为4，根据 时 的解析式，可求得 在 上的值域，结合函数的性质，可得 在R 上的值域为 ，分析可得只需 在 上有解即可，根据 的解析式，分析计算，即可得答案. 【详解】因为函数 的图象关于点 对称， 所以 图象关于点（0,0）对称，即 为定义在R 上的奇函数， ， 因为 ， 所以 ，即 的周期为4， 又当 时， ， 所以 ，即 ， 因为 时， ， 所以当 时， ， 因为 为奇函数， 所以当 时， 所以对于任意的 ， ， 因为对任意 ，存在 ，使得 成立， 所以只需 在 上有解即可，即 在 上有解， 整理得 在 上有解即可， 当t=2 时，可得 所以 ，所以满足条件的实数 的取值集合为 . 故选：B 【点睛】解题的关键是需熟练掌握函数的周期性、奇偶性等性质，并灵活应用，难点在于需求出 的值 域，进而分析可得只需 在 上有解即可，根据存在性问题解题方法，即可得答案， 二､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 的展开式中，各项系数的和为___________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用赋值法求得正确答案. 【详解】由 ，令 得各项系数的和为 . 故答案为： 14. 已知函数 ，则 ___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据 时， ，可得当 时，函数 是以2 为周期的一个周期函数， 再根据函数的周期性即可得解. 【详解】解：当 时， ， 所以当 时，函数 是以2 为周期的一个周期函数， 则 . 故答案为：3. 15. 已知函数 是 上的奇函数，对任意 ，都有 成立，当 ，且 时，都有 ，有下列四个结论： ① ②点 是函数 图象的一个对称中心； ③函数 在 上有2023 个零点； ④函数 在 上为减函数； 则所有正确结论的序号为___________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性、单调性、周期性对 个结论进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意 是定义在 上的奇函数， 由于当 ，且 时，都有 ， 即 所以 在区间 上递增， 由 ，以 替换 得 ， 由 ，令 得 ， 所以 ， 所以 ，所以 是周期为 的周期函数. 所以 ， ， 以此类推可知 ， ， ， 以此类推可知 ， 所以 ，①正确. 由上述分析可知 ， 所以 ，所以 关于 对称， 结合 是周期为 的周期函数可知 关于点 对称，②正确. 对于③，由 ， 以 替换 得 ， 所以 关于直线 对称， 是奇函数， ， 在 上递增 在 上递增； 则 在 上递减. 结合 是周期为 的周期函数，以及 ，可知函数 在 上有 2023 个零点，③正确. 对于④，结合上述分析可知， 在 上递增，在 上递减. 由于 是周期为 的周期函数，所以 在 ，即 上递增，所以④错误. 故答案为：①②③ 16. 已知函数 ，对 ，总存在实数 ，使得不等式 成立，则 实数 的取值范围___________. 【答案】 【解析】 【分析】求得 在区间 上的最大值 的最小值，从而求得 的取值范围. 【详解】设 的最大值为 ， 令 ， ， 当 时， ， ， 所以当 时， 单调递增， ， 当 时， ， 当 时， ， 所以当 时， 时， 取得最小值， . 当 时， 在 上递增，在 上递减， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 依题意 ，总存在实数 ，使得不等式 成立， 所以 . 故答案为： 三､解答题：共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知函数 ， （1）当 时，求不等式 的解集. （2）求不等式 的解集. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出即可； （2）由 可得 ，然后分 、 、 三种情况讨论求解即可. 【小问1 详解】 当 时， ， 解得为 ，所以解集为 【 小问2 详解】 由 可得 ， ①当 ，即 时，不等式 解集为 ； ②当 ，即 时，不等式可化为 ，此时解集为 ； ③当 ，即 时，不等式 解集为 综上所述，当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 . 18. 在甲､乙等6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签 的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，3，…，6），以X 表示排在甲､乙两单位演出之间的其 他演出单位个数，以Y 表示甲，乙都演出结束时，其他已演出单位的个数. （1）求 ； （2）求随机变量Y 的分布列和数学期望 . 【答案】（1） （2）分布列答案见解析， 【解析】 【分析】（1）只考虑甲､乙两单位演出的相对位置，则可用组合数来计算基本事件，结合古典概型即可得 解； （2）写出随机变量 的所有取值，再求出对应概率，即可写出分布列，再根据期望公式求出数学期望即 可. 【小问1 详解】 解：只考虑甲､乙两单位演出的相对位置， 则 ； 【小问2 详解】 解：Y 的可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 故Y 的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P . 19. 为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗 赛中，高二年级胜高三年级的概率为 ，高一年级胜高三年级的概率为 ，且每轮对抗赛的成绩互不影响． （1）若高二年级与高三年级进行4 轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3 轮胜出的概率； （2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2 轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5 轮， 求对抗赛轮数X 的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）先求得高三年级胜高二年级的概率，再根据相互独立事件的概率计算公式求解即可； （2）先确定出X 的所有可能取值，分别求出相应概率，从而列出分布列，求得数学期望． 【小问1 详解】 由题意，知高三年级胜高二年级的概率为 ． 设高三年级在4 轮对抗赛中有x 轮胜出，“至少有3 轮胜出”的概率为P，则 ． 【小问2 详解】 由题意可知 ，3，4，5， 则 ， ， ， ， 故X 的分布列为 X 2 3 4 5 P ． 20. 电影院统计了某电影上映高峰后连续10 场的观众人数，其中每场观众人数y（单位：百人）与场次x 的 统计数据如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 通过散点图可以发现 与 之间具有相关性，且满足经验关系式： ，设 . （1）利用 与 的相关性及表格中的前8 组数据求出 与 之间的回归方程（结果保留两位小数）； （2）如果每场观众人数超过1.2（百人），称为“满场”.从表格中的10 组数据中随机选出8 组，设 表示 “满场”的数据组数，求 的分布列及数学期望. 附： .前8 组数据的相关量及公式： ， 对于样本 ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 【答案】（1） ； （2）分布列答案见解析，数学期望： . 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合题中数据以及题目所给的公式进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【小问1 详解】 对 两边求对数得： 设 ，又 ，则 ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴y 与x 之间的回归方程为 ，即 ； 【小问2 详解】 ξ 的可能取值2，3，4， ， ， ， ξ 2 3 4 P . 21. 已知函数 ， . （1）若函数 在区间 上有零点，求实数 的取值范围； （2）设 ，若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由 结合参变量分离法可得出 ，则直线 与函数 在区间 内的图象有公共点，数形结合可得出实数 的取值范围； （2）由已知可得 ，求得 ，则 ， 构造函数 ，利用导数分析函数 在 上的单调性，注意到 ， 结合函数 的单调性可求得 的取值范围. 【小问1 详解】 解： ，其中 ， 由 可得 ，则 ， 则直线 与函数 在区间 内的图象有公共点， 且 ，故函数 在 上单调递增，如下图所示： 【小问2 详解】 解：因为 且 ，所以 且 ， 因为 ， 故当 时， ， 因为 ， 所以 ， 只需 ，即 ， 设 ，其中 ， ，所以， 在 上单调递增， 又 ，因为 ，即 ，所以 ， 所以 的取值范围是 . 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图 象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数 的图象的交点问题. 22. 已知函数 ， . （1）若 ，对 ，使得 成立，求实数 的取值范围； （2）若函数 与 的图象有且只有一个公共点，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知 ，利用基本不等式求得 ，可得出 ，令 ，分离参数可得 ，利用函数的单调性求出函数 在 上的最大值，即可得出实数 的取值范围； （2）令 ，分析可知关于的方程 有且只有一个正根，分 、 、 三种情况讨论，在 时，直接求出方程的根，验证即可；在 、 这两种情况下，利用二 次函数的零点分布可得出关于实数 的不等式组，综合可解得实数 的取值范围. 【小问1 详解】 解： ，即 ， 若 ，使得 成立，只需要 成立. 因为 ， 由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立， 所以， ，则 ， 因为 ，令 ，分离参数可得 ， 令 ，其中 ， 任取 、 且 ，则 ， 当 时， ， ，则 ， 当 时， ， ，则 ， 所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 ， . 【小问2 详解】 解：由（1）可得 ， 由题意知，方程 有且只有一个实根， 即方程 有且只有一个实根， 令 ，则方程 有且只有一个正根， 即方程 有且只有一个正根，构造函数 . ①当 时， ，令 ，解得 ，不合乎题意； ②当 时，则 ，二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ， ， 由于 ，要使得方程 有且只有一个正根， 则 ，解得 ； ③当 时，则 ， ， 设方程 的两根分别为 、 ， 由韦达定理可得， ，则方程 有且只有一个正根. 综上所述，实数 的取值范围是 . 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解.