福建省三明第一中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题

第1 页共6 页 三明一中2021-2022 学年上学期开学考 高二数学试卷 （时间：120 分钟，满分150 分） 一、单选题（本大题共8 小题，共40.0 分） 1. 以下函数最小正周期不是的是( ) A. ( ) = 2 B. ) 2 4 sin( ) ( x x f    B. x x f tan ) (  D. ) 4 2 1 sin( ) (    x x f 2. 设OABC 是四面体,若D 为BC 的中点， OC z OB y OA x AD    ，则( , , )为 ( ) A. ( 1 4 , 1 4 , 1 4 ) B. ( −1, 1 2 , 1 2 ) C. ( − 1 3 , 1 3 , 1 3 ) D. ( 2 3 , 2 3 , 2 3 ) 3. 三棱锥 − 中， = = = 2，∠ = 90°，∠ = 60°，则 · 等于 ( ) A. 2 B. −2 C. −2 3 D. 2 3 4. 已知 = (2, −1,4), = ( −1,1, −2), = (7,5, )，若, , 共面，则实数m 的值为 ( ) A. 7 60 B. 14 C. 12 D. 7 62 5. 已知角A、B、C 分别是△ 的三个内角 5 sin cos 13 A A   ,则△ 为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 6. 著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好， 隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解 析式来分析函数图象的特征.如函数 = 2| | 2 的图象大致是( ) 第2 页共6 页 7. 给出下列命题： ①若A，B，C，D 是空间任意四点，则有 + + + = 0； ②| | −| | = | + |是，共线的充要条件； ③若 ， 共线，则 // ； ④对空间任意一点O 与不共线的三点A，B，C，若 = + + (其中x，y， ∈ )，则P，A，B，C 四点共面． 其中不正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知定义在闭区间[1,16]的函数( ) = log2 −1，如果函数( ) = ( ) 2 + ( 2) + 2 的图像恒在x 轴上方，那么实数a 的取值范围为( ) A. [1,3) B. ( −1,1] C. −3, −1 D. ( −1,3) 二、多选题（本大题共4 小题，共20.0 分，选全对得5 分，漏选得2 分，错选不得分） 9.下列命题正确的是( ) A. ∃ ∈ ，log2 = −1 B. 2 = 1 是 = 1 的充分不必要条件 C. ∀ ∈ ，2 ≥0 D. 若 > ，则2 > 2 第3 页共6 页 10.已知点P 是△ 所在的平面外一点，若AB = ( −2,1，4)，AP = (1, −2,1)， AC = (4,2，0)，则以下结论正确的是( ) A. ⊥ B. ⊥ C. = 53 D. // 11.下列结论正确的是( ) A. 在△ 中，若 > ，则sin > sin B. 在锐角三角形ABC 中，不等式2 + 2 − 2 > 0 恒成立 C. 在△ 中，若 = 4，2 − 2 = ，则△ 为等腰直角三角形 D. 在△ 中，若 = 3， = 60∘，三角形面积 = 3 3，则三角形外接圆半径为3 3 12. 以下说法中，正确的是 A. 三棱锥O ABC  ,若 , OA BC OB AC   ，则OC AB  B. 直线a 平面，b 在平面内的射影为c ，若a c  ，则b c  C. G 为△ 的重心，过G 做直线与 , OA OB 分别交于点 , M N ,若 , OM sOA ON tOB         ,则 1 1 3 s t   D. 若点G 为△ 所在平面上的一点，若 ( ) OG OA AB AC             ,则直线AG 过 △ 的外心. 三、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分,15 题第一空2 分，第二空3 分） 13.已知复数= 3 2 + 1 2 ，z 的共轭复数为，则⋅ = ． 14.设, 分别是平面a，的法向量， = (1,2, −2)， = ( −2, −4, ).若// ，则实数 = ． 15.在一个容量为5 的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数 据，其中一个数据的十位数字1 未污损，即9，10，11，1■，■，设前后两个污损的数字分 别为, a b ，则a b   ，当这组数据的方差最大时，a  ． 第4 页共6 页 16. 如图，在扇形OAB 中，∠AOB＝π 3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则 x＋4y 的取值范围是________． 四、解答题（本大题共7 小题，共70.0 分） 17. （本题10 分）已知空间向量 = 2,4, −2 ， = −1,0,2 ，= , 2, −1 ． (1)若// ，求| |； (2)若 c b  ，求( − ) ⋅(2 + )的值． 18. （本题12 分） 已知集合 = { | + 3 −3 < 0}， 集合 = { | 2 − −2 2 < 0， 其中 > 0}． (1)当 = 2 时，求 ∩ ； (2)若 ∈ 是 ∈ 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 第5 页共6 页 19. （本题12 分） 如图所示， 三棱柱 — 1 1 1中， M， N 分别是 1 ，1 1上的点， 且 = 2 1 ， 1 = 2 1 .设 = ， = ， 1 = ． (1)试用，，表示向量 ； (2)若∠ = 90°，∠ 1 = ∠ 1 = 60°， = = 1 = 1， 求MN 的长． 20. （本题12 分）在正方体中 1 1 1 1 D C B A ABCD  ，已知O 为 1 1中点,以D 为原点， 1 , , DD DC DA 所在直线分别为 z y x , , 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 xyz D  . (1)求平面 1的法向量n ，并证明 1 //平面 1; (2)求异面直线 1 与OD 夹角的余弦值． 21.（本题12 分）目前，“新冠肺炎”在我国得到了很好的遏制，但在世界其他一些国家还 大肆流行.因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生 全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量(毫克)与药熏时间 (小时)成正比； 当药熏过程结束， 药物即释放完毕， 教室内每立方米空气中的药物含量(毫 克)达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量(毫克)与时间(小时)的函数关系 式为 = ( 1 32 ) −( 为常数).已知从药熏开始， 教室内每立方米空气中的药物含量(毫克)关于 第6 页共6 页 时间(小时)的变化曲线如图所示． (Ⅰ)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量(毫克)与时间(小时)之间的函数关系式； (Ⅱ)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125 毫克时， 学生方可进入教室， 那么从药熏开始， 至少需要经过多少小时后， 学生才能回到教室？ 22. （本题12 分）已知 (1,cos ), (sin , 3) a x b x     （1）若a b    ，求 2 sin 2 cos x x  的值； （2） 设 ( ) f x a b   ， 将函数 = ( )的图象向右平移6个单位长度得到曲线C， 保持C 上各 点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的1 2 倍得到( )的图象，且关于x 的方程( ) − = 0 在[0, 2 ]上有解，求m 的取值范围．