安徽省马鞍山市第二十二中学等校2022-2023学年高二上学期阶段联考数学试题

（北京）股份有限公司 2022~2023 学年高二年级上学期阶段检测联考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150 分，考试时间120 分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5 毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5 毫米黑色，墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A 版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章. 一､选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.在长方体 中， （ ） A. B. C. D. 2.下列说法正确的是（ ） A.在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率 B.掷一枚骰子1 次，“出现1 点”与“出现2 点”是对立事件 C.甲､乙两人对同一个靶各射击一次，记事件 “甲中靶”，“乙中靶”，则 “恰有一人中靶” D.抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3 次均正面向上，则第4 次正面向上的概率小于 3.已知直线 的方向向量分别为 ，若 ，则 （ ） A.1 B.2 C.0 D.3 4.“事件 与事件 相互独立”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 （北京）股份有限公司 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某小组有1 名男生和2 名女生，从中任选2 名学生参加围棋比赛，事件“至少有1 名男生”与事件“至少有 1 名女生”（ ） A.是对立事件 B.都是不可能事件 C.是互斥事件但不是对立事件 D.不是互斥事件 6.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，点 在侧棱 上，且 ，若 ，则 （ ） （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 7.编号为 的三位学生随意坐人编号为 的三个座位，每个座位坐一位学生，则三位学生所坐的座位 号与学生的编号恰好都不同的概率是（ ） A. B. C. D. 8.如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， 为 上一 点，且 ，则异面直线 与 所成的角为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9.中国篮球职业联赛（CBA）中，某男篮球运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 没投中 （北京）股份有限公司 100 55 18 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件 ，投中三分球为事件 ，没投中为事件 ，用频率估计概 率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. （北京）股份有限公司 10.已知不共面的三个向量 都是单位向量，且夹角都是 ，则下列结论正确的是（ ） A. 不是空间的一组基底 B. 不是空间的一组基底 C.向量 的模是2 D.向量 和 的夹角为 11.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为 ；乙罐中有五个相同的小球，标号为 .现从甲罐､ 乙罐中分别随机抽取1 个小球，记事件 “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 “抽取的两个小球 标号之积大于8”，则（ ） A.事件 发生的概率为 B.事件 发生的概率为 C.事件 发生的概率为 D.从甲罐中抽到标号为2 的小球的概率为 12.已知空间中不共面的四点 ，则（ ） A.直线 与 所成角的余弦值是 B.二面角 的正弦值是 C.点 到平面 的距离是 （北京）股份有限公司 D.四面体 的体积是 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.在100 件产品中，有95 件一级品，5 件二级品，给出下列事件： ①在这100 件产品中任意选出6 件，全部是一级品； ②在这100 件产品中任意选出6 件，全部是二级品； ③在这100 件产品中任意选出6 件，不全是一级品； ④在这100 件产品中任意选出6 件，至少一件是一级品， 其中__________是随机事件.（如果没有，请填“无”；如果有，请填序号） 14.已知甲､乙两球落入盒子的概率分别为 和 .假定两球是否落入盒子互不影响，则甲､乙两球都落入 （北京）股份有限公司 盒子的概率为__________. 15.在空间直角坐标系 中，点 的坐标分别是 ，若 四点共面，则 __________. 16.如图，在三棱锥 中，点 为底面 的重心，点 是线段 上靠近点 的三等分点，过 点 的平面分别交棱 于点 ，若 ，则 __________. 四､解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10 分） 已知向量 . （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 的值. 18.（本小题满分12 分） 某校有甲､乙两个数学兴趣小组，甲组有男生3 名，女生2 名，乙组有男生2 名，女生2 名. （1）若从甲数学兴趣小组任选2 人参加学校数学竞赛，求参赛学生恰好有1 名男生的概率； （2）若从甲､乙数学兴趣小组各选1 人参加市级数学竞赛，求参赛学生至少有1 名男生的概率. 19.（本小题满分12 分） 已知四棱锥 的底面为直角梯形， 底面 ，且 是 的中点. （北京）股份有限公司 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 20.（本小题满分12 分） 某班级需要从甲､乙两名学生中选一人参加学校数学竞赛，抽取了近期两人6 次数学考试的成绩，统计结果如 下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲的成绩（分） 79 86 71 93 87 82 乙的成绩（分） 89 77 75 92 82 83 （1）若从甲､乙两名学生中选一人参加数学竞赛，请从统计学的角度考虑，你认为选谁参加数学竞赛较合适？ 并说明理由； （2）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案： 方案一：每人从5 道备选题中任意抽出1 道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰. 方案二：每人从5 道备选题中任意抽出3 道，若至少答对其中2 道，则可参加复赛，否则被淘汰. 已知学生甲､乙都只会5 道备选题中的3 道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并 说明理由. 21.（本小题满分12 分） 甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3 次时投篮结 束.设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮互不影响. （1）求甲获胜的概率； （2）求投篮结束时乙只投了2 个球的概率. 22.（本小题满分12 分） 如图，四棱柱 的底面 为矩形， 为 中点，平面 平面 . （北京）股份有限公司 （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的平面角的余弦值. 2022~2023 学年高二年级上学期阶段检测联考-数学 参考答案､提示及评分细则 1.B ，故选B. 2.A 根据题意，依次分析选项：对于A，在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率，A 正 确；对于B，掷一枚骰子1 次，“出现1 点”与“出现2 点”是互斥事件，但不是对立事件，B 错误；对于 “靶被击中”，C 错误；对于D，抛掷一枚质地均匀的硬币，无论哪一次，正面向上的概率都等 于 错误.故选A. 3.D 若 ，则 ，所以 ，所以 ，解得 .故选D. 4.C 由两事件相互独立的概念可知“事件 相互独立”是“ ”的充要条件.故选C. 5.D 事件“至少有1 名男生”与事件“至少有1 名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生， 故两事件既不是对立事件也不是互斥事件.故选D. 6.A 因为 ，所以 ，根据空间向量的运算法则，可得 ，所以 .故选A. 7.B 编号为 的三位学生随意坐人编号为 的三个座位时，1 号学生有3 种坐法，2 号学生有2 种坐法， 3 号学生只有1 种坐法，所以一共有6 种坐法，其中座位号与学生的编号恰好都不同的坐法只有2 种，所以所 （北京）股份有限公司 求的概率 .故选 . 8.A 因为 底面 ，底面 为正方形，所以 两两互相垂直，以 为原点， 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由 ，得 （北京）股份有限公司 ，所以 ，设异 面直线 与 所成的角为 ，则 ，又 ，所以异面直线 与 所成的角为 .故选 . 9.AC 由题意可知， ，事件 与事件 为对立事件，且事件 互斥，所以 故选AC. 10.BD 因为空间向量 不共面，所以 是空间的一组基底，A 错误；假设 共面，则 ，即 ，解得 ，所以三个向量共面，不是空间的一组基底，B 正确； 由题意，得 ，所以 ，C 错误； （北京）股份有限公司 ，设向量 和 的夹角为 ，则 ，又 ，所以 ，D 正确.故选BD. 11.BC 由题意，从甲罐､乙罐中分别随机抽取1 个小球，共包含 个基本事件；“抽取的两个小球标 号之和大于5”包含的基本事件有： ， （北京）股份有限公司 ，共11 个基本事件；“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有： ， ，共8 个基本事件；即事件 是事件 的子事件；因此事件 发生 的概率为 ，故 错；事件 包含的基本事件个数为11 个，所以事件 发生的概率为 ；故 正确；事件 包含的基本事件个数为8 个，所以事件 发生的概率为 ，故 正确；从甲罐 中抽到标号为2 的小球，包含的基本事件为： 共5 个基本事件，故从甲罐中 抽到标号为2 的小球的概率为 ，即 错误.故选 . 12.ACD ，所以直线 与 所成角的余弦 值是 正确； ，设 是平面 的一个法向量，则 令 ，得 ，所以 ，设 是平面 的一个法向量，则 令 ，得 ，所以 ，所 以 ，所以二面角 的正弦值是 ，B 错误；点 到平面 的距离 ，C 正确； ， 所以 ，所以 的面积 ，所以 （北京）股份有限公司 四面体 的体积 ，D 正确.故选ACD. 13.①③ ②是不可能事件；④是必然事件；①③是随机事件. 14. 设甲､乙两球落入盒子分别为事件 ，因为两球是否落入盒子互不影响，所以 相互独立，所以 甲､乙两球都落入盒子的概率为 . 15.6 ，又 四点共面，则存在 （北京）股份有限公司 ，使得 ，即 ，即 解得 16. 由题意可知， ，因为 四点共面，所以存在实数 ，使 ，所以 ，所以 ，所以 所以 . 17.解：（1）若 ，则存在实数 ，使 ，即 ， 所以 解得 所以 所以 ，所以 . （2）因为 ，所以 ，解得 . 因为 ，所以 ，所以 . 当 时， ， （北京）股份有限公司 所以 . 当 时， ， 所以 . 18.解：（1）记“参赛学生恰好有1 名男生”是事件 .记甲组的3 名男生分别为 名女生分别是 ， （北京）股份有限公司 则基本事件有 ，共10 种. 事件 发生的有 ，共6 种. 因此由古典概型的概率计算公式可得 . （2）记“参赛学生至少有1 名男生”是事件 .记甲组的3 名男生分别为 名女生分别是 ，乙组 的2 名男生分别为 名女生分别是 ， 则基本事件有 ， ，共20 种. 事件 不发生的有 ，共4 种. 因此由古典概型的概率计算公式可得 ， 所以 . 19.（1）证明：取 的中点为 ，连接 ，因为 分别是 的中点，所以 ，又 ，所以 ，所以四边形 是平 行四边形，所以 ， 又 平面 平面 ，所以 平面 . （2）解：因为 底面 ，所以 两两互相垂直， 以 为坐标原点，以 分别为 轴， 轴， 轴的正方向， 建立空间直角坐标系如图所示，则 ， ，则 ， （北京）股份有限公司 设平面 的一个法向量为 ，所以 即 令 ，则 . 设直线 与平面 所成角为 ，则 ，即直线 与平面 （北京）股份有限公司 所成角的正弦值为 . 20.解：（1）选派乙参加数学竞赛较合适. 由题意得 ， 甲 ， ， ， 由 ，可知甲､乙的平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，故选派乙参加数学竞赛较合适. （2）5 道备选题中学生会的3 道分别记为 ，不会的2 道分别记为 ， 方案一：学生从5 道备选题中任意抽出1 道的结果有： ，共5 种， 抽中会的备选题的结果有 ，共3 种，所以此方案学生可参加复赛的概率 . 方案二：学生从5 道备选题中任意抽出3 道的结果有： ， ，共10 种， 抽中至少2 道会的备选题的结果有： ，共7 种， （北京）股份有限公司 所以此方案学生可参加复赛的概率 . 因为 ，所以推荐的选手选择方案二进入复赛的可能性更大. 21.解：设 分别表示甲､乙在第 次投篮时投中， （北京）股份有限公司 则 . （1）记“甲获胜”为事件 ， 则 . （2）记“投篮结束时乙只投了2 个球”为事件 ， 则 22.（1）证明：因为底面 是矩形，所以 ，又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 又 平面 ，所以 平面 . （2）取 的中点 ，连接 ，因为 ，所以 ， 又平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 所以 平面 ，连接 ，又底面 为矩形， 所以 ，所以 两两互相垂直，以 为坐标原点， 为 轴的正方向 （北京）股份有限公司 建立空间直角坐标系，设 ，则 ， ， 所以 . 由（1）知 平面 ，所以 是平面 的一个法向量. （北京）股份有限公司 设平面 的一个法向量为 ，则 即 令 ，则 . 设二面角 的平面角为 ，则 ， 由图可知二面角 的平面角为锐角，所以二面角 的平面角的余弦值为 .