河南省鹤壁市高中2022-2023学年高二上学期11月居家测试一数学试题

第1页，共9页 2024 届高二上学期11 月居家测试（一） 数学试卷 一、单选题（本大题共17 小题，共68.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知��� � �= (1,1,0), ��� � �= ( −1,0,1)，则与��� � �+ ��� � �同方向的单位向量是( ) A. 0, 3 3 , 3 3 B. 0,1,1 C. 0, 2 2 , 2 2 D. 0, 6 3 , 6 3 2. 直线(���2 + 2���)���−���+ 1 = 0(���为常数)的倾斜角的取值范围是( ) A. [0, ��� 4 ) ∪( ��� 2 , 3��� 4 ] B. [0, ��� 2 ) ∪( 3��� 4 , ���] C. [0, ��� 2 ) ∪( 3��� 4 , ���) D. [0, ��� 2 )⋃[ 3��� 4 ，���) 3. 数列{������}满足���1 = 2, ������+1 = 1 −1 ������(���∈���∗)，则���8等于( ) A. 1 2 B. −1 C. 2 D. 1 3 4. 数列������的前���项和������= 2���2 −3������∈���∗，若���+ ���= 5 ���, ���∈���∗，则������+ ������=( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 5. 已知数列���2 + 2������+ ���是单调递增数列，则实数���的取值范围为( ) A. ( −3 2 , + ∞) B. [ −3 2 , + ∞) C. ( −1, + ∞) D. [ −1, + ∞) 6. 在数列������中，若������+1 = ������+ 2，���1 = 8，则数列������的通项公式为( ) A. ������= 2(���+ 1)2 B. ������= 4(���+ 1) C. ������= 8���2 D. ������= 4���(���+ 1) 7. 已知点���(���，���)在圆���：��� 2 + ��� 2 = 1 外，则直线������+ ������= 1 与圆���的位置关系是 ( ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 8. 抛物线���= ���2上到直线���−���−4 = 0 的距离最短的点的坐标是( ) A. 1 2 , 1 4 B. (1,1) C. 3 2 , 9 4 D. (2,4) 9. 双曲线的虚轴长为4，离心率���= 6 2 ，���1、���2分别是它的左、右焦点，若过���1的直线与双 曲线的左支交于���、���两点，且|������|是|������2|与|������2|的等差中项，则|������|等于( ) A. 8 2 B. 4 2 C. 2 2 D. 8 10. 设数列{������}，{������}都是等差数列，���2 + ���2 = 2, ���10 + ���10 = 18，则���2019 + ���2019 = ( ) A. 4034 B. 4036 C. 4038 D. 4040 11. 数列������的通项������= ��� ���2+90，则数列������中的最大项是( ) 第2页，共9页 A. 3 10 B. 19 C. 1 19 D. 10 60 12. 在△���������中， 角���， ���， ���所对的边分别为���， ���， ���， 若���， ���， ���成等差数列， 且���= ���������������+ ������������������， 则△���������外接圆的面积为( ) A. ��� 3 B. 2��� 3 C. ��� D. 4��� 3 13. 已知数列������中，������= ���· 7 9 ���+1，当������最大时，���= ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 14. 设数列{������}的前���项和为������，且���1 = 1，{������+ ���������}为常数列，则������=( ) A. 1 3���−1 B. 2 ���(���+1) C. 2 (���+1)(���+2) D. 5−2��� 3 15. 已知数列{������}满足���1 + 4���2 + 7���3 + … + (3���−2)������= 4���，则 ���2���3 + ���3���4 + … + ���21���22 =( ) A. 5 8 B. 3 4 C. 5 4 D. 5 2 16. 设���是椭圆���: ���2 ���2 + ���2 ���2 = 1(���> ���> 0)的上顶点， ���是���上的一个动点， 当���运动到下顶点时， |������|取得最大值，则���的离心率的取值范围是( ) A. [ 2 2 , 1) B. [ 1 2 , 1) C. (0, 2 2 ] D. (0, 1 2 ] 17. 过双曲线���2 ���2 −���2 ���2 = 1(���> 0, ���> 0)的左焦点���作直线���与双曲线交于���， ���两点， 使得|������| = 4���，若这样的直线有且仅有两条，则离心率���的取值范围是( ) A. (1, 5 2 ) B. ( 5, + ∞) C. ( 5 2 , 5) D. (1, 5 2 ) ∪( 5, + ∞) 二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分） 18. 数列������满足������= 3���−4, ���∈1,10 −���+ 20, ���∈11, + ∞ ���∈���∗，则������的最大值为 ． 19. 若数列{������}满足���1 = 1，������+1 ������= ���+1 ���，则���20 = ． 20. 已知数列������中， ���1 = 1， ������+1 = ������+ 1 ���2+���(���∈���∗)， 若对任意的���∈���∗， 使得������≤���2 −��� 恒成立，则实数���的取值范围为 ． 21. 已知抛物线���2 = 8���上���、���两点满足������ � ����⋅������ � ����= 0，过坐标原点���向直线������引垂线，垂足为 ���，则���������(���为抛物线的焦点)面积的最大值为________________． 三、解答题（本大题共5 小题，共62.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 第3页，共9页 22. (本小题12.0 分)已知等差数列{������}的前���项和为������，��� 2 = 0，��� 4 =−2． (1)求{������}的通项公式； (2)若令������= 1 ���2���−1���2���+1，求数列{������}的前���项和������． 23. (本小题12.0 分)已知数列{������}的前���项和为������，且������= ���2 −19���(���∈���∗). (1)求������的最小值； (2)求数列{|������|}的前20 项和． 24. (本小题12.0 分)在四棱锥���−ABCD 中，已知侧面PCD 为正三角 形，底面ABCD 为直角梯形，������//������，∠ADC = 90°，AB = AD = 3， CD = 4，点���，���分别在线段AB 和PD 上，且������ ������= ������ ������= 2． (1)求证：������//平面ACN； (2)设二面角���−CD −���大小为���，若cos���= 3 3 ，求直线AC 和平面 PAB 所成角的正弦值． 25. (本小题12.0 分) 已知数列������中，���1 = 1，其前���项和为������，且满足2������= (���+ 1)������(���∈���+)． (1)求数列������的通项公式； (2)记������= 3���−��������� 2，若数列������为递增数列，求���的取值范围． 26. (本小题14.0 分) 已知椭圆���: ���2 ���2 + ���2 ���2 = 1(���> ���> 0)，过点���( −1, −1)且与���轴平行的直线与椭圆���恰有一个公 共点，过点���且与���轴平行的直线被椭圆���截得的线段长为3． (1)求椭圆���的标准方程; (2)设过点���的动直线与椭圆���交于���，���两点，���为���轴上的一点，设直线������和������的斜率分别 为���1和���2，若 1 ���1 + 1 ���2为定值，求点���的坐标．