湖北省鄂东南改革联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题答案

鄂东南教改联盟学校期中联考 高二数学参考答案（共4 页） 第1页 鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022 年春季期中联考参考答案 一、单选题（每题5 分，共40 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C D B A C B 二、多选题（每题5 分，共20 分，漏选得2 分，有错选的得零分） 9 10 11 12 ABD BD BC ABD 三、填空题（每题5 分，共20 分） 13.3 1 0 x y   14. 5 9 15. 4 5 16. 32 四、解答题（共70 分，第17 题10 分，其余各12 分） 17.解析 （1） 2 '( ) 4( 1) f x x x    ，则 2 '(1) 4 (1 1) 10 1 f      ……………………5 分 （2）   1 2 3 2 f x x f x       ，   1 2 4 3 2 2 f f       ，解得：  9 2 4 f   .……………………10 分 18.解:(1)由题意，二项式展开式的通项公式     4 1 3 3 1 2 2 , 0,1,2, , k k n k n k k n k k n n T C x x C x k n         ． 所以第三项系数为 2 2 2n n C ，第四项系数为 3 3 2n n C ， 由 2 2 3 3 2 2 n n n n C C    ，解得 8 n ，即n 的值为8． ……………………6 分 (2)由（1）知：   4 3 8 8 1 8 2 0,1,2,3, ,8 k k k k T C x k     L ． 当 0 k  ，3，6 时，对应的是有理项． 当 0 k  时，展开式中对应的有理项为 0 8 8 8 1 8 2 256 T C x x   ； 当 3 k  时，展开式中对应的有理项为 3 5 4 4 4 8 2 1792 T C x x   ； 当 6 k  时，展开式中对应的有理项为 6 2 0 7 8 2 112 T C x   ； 故展开式中有理项的系数之和为256 1792 112 2160    ． ……………………12 分 19.解（1）如图，连结OC，BC， 在直角三角形ABC 中， CAB    ， 400 AB  （m） ， 所以 400cos AC   （m） ， 由于 2 2 COB CAB     ，所以弧BC 的长为200 2 400     （m） ， 所以 2 400cos 400 800cos 400 S           （m） ， 0, 2         ……………………6 分 （2）由（1）得 800cos 400 S      0, 2         ， 所以    400 2sin 1 S       ， 0, 2         ， 当0 6     时，  0 S    ， 当 6   时， 0 S    ， 当6 2      时，  0 S    ， 所以 S 在0, 6        上单调递增，在 , 6 2        上单调递减， 鄂东南教改联盟学校期中联考 高二数学参考答案（共4 页） 第2页 当 6   时， S 有最大值 200 800cos 400 400 3 6 6 6 3 S               ， 所以当 6   时，绿化带总长度最大，最大值为 200 400 3 3   米 ……………………12 分 20． （Ⅰ）估计这600 名学生周末体育锻炼时间的平均数 35 0.1 45 0.2 55 0.3 65 0.2 75 0.15 85 0.05 57.5 t              ……………………4 分 (II)依题意，周末体育锻炼时间在  40,50 内的学生抽4 人，在  50,60 内的学生抽6 人， 由题意X 可取0,1,2,3,4 ……………………5 分 则   3 4 3 10 1 0 30 C P X C    ，  2 1 4 6 3 10 3 1 10 C C P X C    ，  1 2 4 6 3 10 1 2 2 C C P X C    ，  3 6 3 10 1 3 6 C P X C    ， ……………………9 分 故X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 ……………………10 分 则   1 3 1 1 9 0 1 2 3 30 10 2 6 5 E X      . ……………………12 分 21.解:(1)由题意知李好的得票数X 可以为0，1，2，3 24 36 ( 0) , ( 1) 81 81 P x P x     ， 18 3 ( 2) , ( 3) 81 81 P x P x     X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 8 27 4 9 2 9 1 27 8 4 2 1 ( ) 0 1 2 3 1 27 9 9 27 E x      ……………………6 分 (2) 最终票数仅李好一个人获得最高票数，则李好得票为3 票或者2 票 ①得3 票时，由（1）知： 1 1 27 P  ②得2 票时，则另外三个同学有两个投给李好，剩下的一个不能投给李好投给的人，即剩下的一个不能与李好投 给同一个人 所以所求的率 2 2 3 1 1 1 2 4 ( 2) 3 3 3 3 27 P C        故仅李好一人获得最高票数的概率为 1 2 1 4 5 27 27 27 P P P      ……………………12 分 22.解： （Ⅰ）  f x 的定义域为  0 x x  ，  ln f x x   令  0 f x   ，得 1 x  当0 1 x  时，  0 f x   ；当 1 x 时，  0 f x   ； 鄂东南教改联盟学校期中联考 高二数学参考答案（共4 页） 第3页 ∴  f x 在  01 ，上单调递减，在  1  ， 上单调递增； ……………………4 分 （Ⅱ）方法一：由条件，须且只需max 0 g x   g x 的定义域为  0 x x  ，  1 ax g x x    （1）若 0 a  ， 1 1 0 g a   ，不合题意； （2）若 0 a  ，令  0 g x   ，得 1 x a  当 1 0, x a       时，  0 g x   ， g x 单调递增 当 1 , x a         时，  0 g x   ， g x 单调递减 ∴max 1 ln 0 g x g a a          ， 解得 1 a ，即为所求； ……………………8 分 方法二：当 0 x  时， ln 1 0 x g x a x     ， 令   ln 1 0 x h x x x    ，则须且只需 max a h x   2 ln x h x x    令  0 h x   ，得 1 x  当0 1 x  时，  0 h x   ；当 1 x 时，  0 h x   ； ∴ h x 在  01 ，上单调递增，在  1  ， 上单调递减； ∴max 1 h x ， 故 1 a ，即为所求 ……………………8 分 方法三：取 1 1 0 g a   ，得 1 a  ……………………4 分 以下证明当 1 a 时， 0 g x  成立（略） ……………………8 分 （Ⅲ）证法一：     ln ln ln ln 1 f x f m x x x m m m x x m m x m x m x m                ln ln ln ln 1 ln 1 1 x x m x m x m m x x x m m         同理可得   ln ln 1 1 x f x f n n x x x n n      在（Ⅱ）中取a=1 得：当 0 x  时，ln 1 x x  （当且仅当 1 x 时，等号成立） ∵0 m x n    ，∴ 1 x m ，0 1 x n   鄂东南教改联盟学校期中联考 高二数学参考答案（共4 页） 第4页 ∴ ln ln 1 1 1 x x x m x m m m     ， ln ln 1 1 1 x x x n x n n n     ∴ ln ln 1 1 x x m n x x m n    ， 所以     f x f m f x f n x m x n      成立 ……………………12 分 证法二：由（Ⅰ）作  f x 的草图，联想到两点斜率公式及导数的几何意义，考虑将问题转化为证明      f x f m f x f n f x x m x n        . 在（Ⅱ）中取a=1 得：当 0 x  时，ln 1 0 x x   （当且仅当 1 x 时，等号成立） ∵0 m x   ，∴0 1 m x  ， ∴          ln ln ln f x f m f x x m x x x m m m x x m              ln ln ln 1 0 x x m x m x m m m m               ∴     f x f m f x x m     ∵ 0 x m   ，∴    f x f m f x x m     同理可证，     f x f n f x x n     ∵ 0 x n   ，∴    f x f n f x x n     所以     f x f m f x f n x m x n      成立 ……………………12 分