重庆市南开中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题(0001)

重庆南开中学高2024 级高一（上）期中考试 数学试题 本试卷分第 Ⅰ 卷(选择题)和第 Ⅱ 卷(非选择题)两部分，满分150 分，考试时间 120 分钟. 第 Ⅰ 卷和第 Ⅱ 卷都答在答题卷上. 第 Ⅰ 卷（选择题 共60 分） 一、选择题：本大题8 个小题，每小题5 分，共40 分，每小题只有一个选项符 合要求，答案请涂写在机读卡上． 1. 已知集合 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2. 命题“ ”的否定为（ ） A． B． C． D． 3. 已知集合 ， ，则下列图象中，能表示从集 合 到集合 的一个函数的为（ ） A B C D 4. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件 5. 已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围 为（ ） A． B． C． D． 6. 函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 7. 已知集合 ，集合 ，集合 满足 且 ， 则满足条件的集合 的个数为（ ） A． B． C． D． 8. 已知定义在 上的奇函数 在 上单调递增，则关于 的不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分. 9. 已知 ，若 ， ，则下列关系式中恒成立的有（ ） A． B． C． D． 10. 下列四组函数中是相同函数的有（ ） A． ； B． ； C． ； D． ； 11. 设函数 ， （ ），则下列说法正确的有（ ） A．函数 的单调递减区间为 B．若函数 为偶函数，则 C．若函数 定义域为 ，则 D． ， ，使得 ，则 12. 群论是代数学中一门很重要的理论，我们熟知的一元五次及以上的方程没有 根式解就可以群论的知识证明，群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定 义如下：设 是一个非空集合，“ ”是 上的一个代数运算，若满足： ① 有 ；② ，使得 ，有 ； ③ ，使 ，则称 关于“ ”构成一个群，则下列说法 正确的有（ ） A． 关于数的乘法构成群 B．有理数集关于数的乘法构成群 C． 关于数的加法构成群 D． 关于数的加法构成群 第 Ⅱ 卷(非选择题 共90 分) 三、填空题：本大题4 个小题，每小题5 分，共20 分. 各题答案必须填写在答 题卡上相应位置（只填结果，不写过程）. 13. 为庆祝中国共产党成立 周年，某校举办了“永远跟党走”文艺汇演活动. 已知高一（1）班参演了两个节目， 名同学合唱了歌曲《没有共产党就没有 新中国》， 名同学表演了诗朗诵《党的赞歌》. 其中，两个节目都参加的有 名同学. 则这个班表演节目的共有____________人. 14. 已知 ，若 ，则 ____________. 15. 设函数 ，若函数 在 上的最大值为 ，最小 值为 ，则 ____________. 16. 设函数 ，若关于 的不等式 的解集为空集，则 实数 的取值范围为____________. 四、解答题：本大题6 个小题，共70 分. 各题解答必须答在答题卡上（必须写 出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 17. （10 分）设全集 ，集合 ， . （1）若集合 恰有一个元素，求实数 的值； （2）若 ， ，求 . 18. （ 12 分 ） 集 合 ， ， . （1）求 ； （2）现有三个条件：① ，② ，③条件 ， ， 若 是 的充分不必要条件. 在这三个条件中任选一个填到横线上，并解答本题. 选择多个条件作答时，按第一选择给分. 已知 ，求实数 的取值范围. 19. （12 分）已知定义在 上的函数 满足： . （1）求函数 的表达式； （2）若函数 在区间 上最小值为，求实数 的值. 20.（12 分）2019 年7 月，教育部出台《关于深化教育教学改革全面提高义务教 育质量的意见》，正式提出“五育并举”的教育方针，要求各级各类学校开足 开好劳动教育课. 为此，某中学在校内开辟了种植园区，供学生劳动使用. 为保 障同学们种植的作物更好地成长，学校准备采购一批优质种子. 某商家在售的优 质种子，原价每千克 元，为了促销，准备对购买量大的客户执行团购优惠 活动. 购买量没达到 千克时，依然按原单价执行；购买量达到或超过 千克 时，超出部分每多一千克，则购买的所有产品单价每千克降低元. 比如购买 千克，则所有的 千克均按 元单价执行. 另外商家规定一次性最大 购买量不超过 千克. （1）求购买该种子 千克花费的总费用 （元）关于 的函数； （2）学校采购该种子时，幸运的获得了一张 元代金券，在购买产品总量不 少于 千克时，可用来一次性抵扣 元. 那么，在购买量不超过 千克且花 掉代金券的前提下，采购该批种子每千克的平均花费在什么范围？ 21.（12 分）设二次函数 满足 ，且关于 的不等式 的解集 为 . （1）求函数 的解析式； （2）若关于 的方程 在区间 上有解，求实数 的取值范 围． 22.（12 分）已知定义在 上的函数 满足： ① ； ② ； ③当 时， . （1）求 ； （2）求证：函数 在 上单调递增； （3）若实数 ， 在 上恒成立，求 的取值范围. 重庆南开中学2021-2022 年度（上）高2024 级期中考试 数学试题答案 一、选择题（单选） 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A B C A B D 二、选择题（多选） 9 10 11 12 AB BC BCD ACD 三、填空题 13. 14. 15. 16. 四、解答题 17. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 解得： （2） 又 即 检验： ， 18. 【答案】（1） （2）选①： ；选② ；选③ 【解析】（1） 解得： 解得： （2）选①： 当 即 时，满足题意； 当 即 时， ； 综上： . 选②：当 即 时，满足题意； 当 即 时， 或 ， 综上： 选③：由题： . 当 即 时，满足题意； 当 即 时， ； 综上： . 19. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）将 ①中 换成 可得： ②联立①②可解得： （2）由（1）可得： ，易知 开口向上且关于 对称 当 即 时， 在区间 上单调递增 满足题意 当 即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 当 即 时， 在区间 上单调递减 ，舍去 综上： . 20. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）当 时， ； 当 时， ； . （2）设购买种子每千克的平均花费为 ，则由题可知 ； 此时 . 当 时， 取得最小值 ；当 时， 取得最大值 ； 当 时， 的值域为 ； 故 值域为 ，即购买种子每千克平均花费在 元. 21. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题可设 ， 又 ， （2）由 在 上有解， ① 当 时， ，符合题意； ② 当 时，令 ，则 ， ，设 ； 在 ， 上单调递增， 值域为 . 值域为 综上，当 时原方程有解. 22. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）取 得， 取 得， 取 得， . （2）任取 ，令 得： 因为 ，所以 , 所以 ，故函数 在 上单调递增. （3）方法一： ，所以 所以 ， 由（2）知 单调递增，则 ，（*） 定义域 ，此时 也为正 由题，在 上有定义，则 令 , , ，则 ， 所以 ， （*）式可化为 即 在 恒成立 设 ，只需 解得 综上， . 方法二： (★)在 恒成立即可， 由题，在 上有定义，则 ， ， 下证：当 时，(★)式在区间 上均成立 ， 又 ，且 单调递增， ，即 时，(★)式成立. 综上，