重庆市南开中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

重庆南开中学高2023 级高二（上）期中考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150 分，考试时间 120 分钟。第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上。 第Ⅰ卷（选择题 共60 分） 一．单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的选项中， 只有一项符合题目要求） 1.下列直线中，倾斜角最大的是（ ） A． B． C． D． 2. 双曲线焦点到渐近线距离为 ，则此双曲线虚轴长为（ ） A． B． C． D． 3. 已知点 在椭圆 上， 与 分别为左右焦点，若 , 则 的面积为（ ） A． B． C． D． 4. 圆锥的轴截面为面积为 的直角三角形，则圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 5. 圆 与圆 相交得到公共弦 ，则 （ ） A． B． C． D． 6. 由抛物线 上一点 朝准线作垂线，垂足为 ，抛物线的焦点为 ， 已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 7. 已知 是双曲线 上的动点， 是圆 上的动点，则 两点 间的最短距离为（ ） A． B． C． D． 8. 以原点为对称中心的椭圆 焦点分别在 轴, 轴，离心率分别为 ，直线交 所得的弦中点分别为 ， ，若 ， ， 则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 二.多选题（本题共4 小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分） 9．已知双曲线的渐近线方程为 ，并且焦距为 ，则它的方程可以是 （ ） A． B． C． D． 10．曲线 的离心率 满足方程 ，则实数 的值可以是（ ） A． B． C． D． 11. 已知正方体 的棱长为 ，点 ， 分别是棱 和 的中点 点 在四边形 内，若 ，则下列结论正确的有( ) A． B． // C．点 的轨迹的长度为 D． 的最小值是 12. 已知 为椭圆 外一点， , 分别为椭圆 的左,右焦点， , ，线段 , 分别交椭圆于 ， ， C D B C1 A B1 A1 P D1 M N ,设椭圆离心率为 ,则下列说法正确的有( ) A. 越大，则 越大 B.若 ,则 C.若 ,则 D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 三．填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填写在答题卡 相对应位置上） 13. 顶点在原点的抛物线，其焦点关于准线的对称点坐标为 ，则焦准距 14. 已知一圆柱的上下两底面圆都在一个球的球面上，圆柱的高为 ，体积为 ， 则此球的表面积为 15. 已知两条直线 和 同时与一个圆相交且将整个 圆分成四段长度相等的圆弧，则满足条件的圆半径的最大值为 16. 过双曲线 右焦点 作斜率为正的直线交渐近线于 , 两点, 为坐标原点， 若 的面积为 ，则直线 的斜率为_______ 四．解答题(本大题共70 分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤) 17.（10 分）在平面直角坐标系中， . （1）若 三点共线，求 的值； （2）若 ，求 外接圆圆心坐标. 18．（12 分）已知双曲线 的方程为 ，直线 . （1）求双曲线 的渐近线方程、离心率； （2）若直线与双曲线 有两个不同的交点，求实数的取值范围. 19．（12 分）已知圆 . （1）若过点 的直线与圆 相切，求直线的方程； （2）若 是直线 上的动点， 是圆 的两条切线， 是切点， 恒成立，求 的取值范围. 20.（12 分）如图所示，已知平行四边形 中， ， ， ， ,垂足为 ，沿直线 将 翻折成 ，使得平面 平面 ； 连接 ， 是 上的点． （1）当 时，求证： 平面 ； （2）当 时，求二面角 的余弦值. 21.（12 分）已知椭圆 ： 左右焦点分别为 , 在椭圆 上且活动于第一 象限， 垂直于 轴交 轴于 ， 为 中点；连接 交 轴于 ，连接 并 延长交直线 于 . （1）求直线 与 的斜率之积； （2）已知点 ，求 的最大值. 22.（12 分）椭圆 经过点 ，其右焦点为抛物线 的焦点 ；直线与椭圆 交于 , 两点，且以 为直径的圆过原点. （1）求椭圆 的方程； （2）若过原点的直线与椭圆 交于 两点， 且 ,求四边形 面积的最大值. 重庆南开中学高2023 级高二（上）期中考试 参考答案 一、 选择题： 1-8 BBAD CDCA 9-12 BC ABC ACD BC 二、填空题： 13、 14、 15、 16、 或 三、解答题： 17.（1） 三点共线， 则 即 ，所以 （2) ，即 ，则线段 垂直平分线方程为 ， 中点为 ，线段 垂直平分线方程为 即 ， 两条中垂线交点坐标为 ， 所以 外接圆圆心坐标为 18. ⑴由 得， ∴双曲线 的渐近线方程为 和 ， ∴ ， ∴双曲线 的离心率为 ⑵把 代入双曲线 得 由 得 解得 . 19. （1）圆 化为标准方程 ， 过点 的直线设为 即 ， 直线与圆 相切则 ， 解得 或者 ， 所以直线方程为 或者 （2）设 ，由图可知， ， 恒成立即 则 恒成立， 最短即为点 到直线的距离 ， ，解得 或者 ， 则 的取值范围为 20.（Ⅰ）∵ ，平面 平面 ，∴ ． 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为轴，建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， . ∵ ， ， ∴ ， . 又 ，∴ 平面 ． （Ⅱ）设 ，则 由 得： ，解得 ∴ ． 设面 的法向量为 ，则 ． 取 ，则 ， 又平面 的法向量为 ， 设二面角 的大小为 ，则 ． 21.（1）椭圆 ： 左右焦点分别为 ，设点 为 ， 则点 为 ， ，点 在椭圆上， 满足方程 ，即 ，所以 （2）设 ，直线 方程为 ； ，直线 方程为 则 点坐标为 ， 点坐标为 ， ， 即 ① 由（1）问知 ，点 为 为直线 与直线 得交点，满足方程，则有 关系式 代入①式可得 因为点 在第一象限，则 ，则 的取值范围为 22..（1）抛物线 的焦点 为 ，则 ， 点 在椭圆 上，即 ， 解得 ， 所以椭圆 的方程为 。 （2）当直线 斜率存在时，设其方程为 ， , 联立 可得 则 ① ②， ③ 以 为直径的圆过原点即 化简可得 ，代入②③两式， 整理得 即 将④式代入①式，得 恒成立则 设线段 中点为 ，由 ，由观察可知 ， ， 又由 ，则 点坐标为 ， 化简可得 ，代回椭圆方程可得 即 则 ， 另外，当直线 斜率不存在时， 方程为 ，直线 过 中点，即为 轴， 易得 ， , 综上，四边形 面积的最大值为 。