江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试题

1 （北京）股份有限公司 高二期中考试 数 学 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知焦点在x 轴上的椭圆 的离心率为 ，则实数m 等于（ ） A．2 B．8 C． D． 2．已知 均为 的子集，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．已知i 为虚数单位，复数z 满足 ，则z 的虚部为（ ） A．2 B．1 C．－2 D．－1 4．若圆x2+y2 2 ﹣x 6 ﹣y+1＝0 上恰有三点到直线y＝kx 的距离为2，则k 的值为（ ） A． 或2 B． 或 C．2 D． 5．已知抛物线 的焦点为F，准线为l．点P 在C 上，直线PF 交x 轴于点Q, 且 ，则点P 到准线l 的距离为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 6． 某校先后举办定点投篮和定点射门比赛．高二（1）班的45 名同学中，只参加了其中一项比赛 的同学有20 人，两项比赛都没参加的有19 人，则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不 可能是 A．15 B．17 C．21 D．26 7． 已知等差数列{an}的公差为d，前n 项和为Sn，则“d＞0”是“Sn+S3n＞2S2n”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 2 （北京）股份有限公司 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知 是定义域为R 的偶函数， ， ．若 是偶函数， 则 ＝（ ） 2 （北京）股份有限公司 A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符 合题目要求的．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9． 已知直线l 过点 ，点 ， 到l 的距离相等，则l 的方程可能是( ) A． B． C． D． 10．下列命题表述正确的是（ ） A．方程 表示一个圆； B．若 ，则方程 表示焦点在 轴上的椭圆； C．已知点 、 ，若 ，则动点 的轨迹是双曲线的右支； D．以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切． 11．设函数 ，已知 在 有且仅有5 个零点，下述结论正确的 是（ ） A． 在 有且仅有3 个极大值点； B． 在 有且仅有2 个极小值点； C． 在 单调递增； D． 的取值范围是 ． 12．首项为正数，公差不为0 的等差数列 ，其前n 项和为 ,则下列为真命题的是（ ） A．若 ,则 ； B．若 ，则使 的n 的最大值为15； C．若 , ,则 中 最大； 3 （北京）股份有限公司 D．若 ,则 ． 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．已知直线 与直线 ，在 上任取一点A，在 上任取一点B 3 （北京）股份有限公司 ，连接AB，取AB 的靠近点A 的三等分点C，过C 作 的平行线 ，则 与 间的距离为 ▲ ． 14. 写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列 的通项公式： ▲ ． （1）数列 无穷等比数列；（2）数列 不单调；（3）数列 单调递减． 15．已知双曲线 的左、右焦点分别是F1，F2，P（x1，y1）， Q（x2，y2）是双曲线右支上的两点， ．记△PQF1，△PQF2的周长分别为C1， C2，若C1﹣C2＝8，则双曲线的右顶点到直线PQ 的距离为 ▲ ． 16．O 是坐标原点，P 是双曲线 右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长 PO，PF 分别交E 于Q，R 两点，已知QF⊥FR，且|QF|＝2|FR|，则E 的离心率为 ▲ ． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10 分） 在平面凸四边形ABCD 中，已知 ，求sinA 及AD． 18．（本小题满分12 分） 已知数列 满足 ，且 ， ． （1）请你在①，②中选择一个证明： ①若 ，则{bn}是等比数列； ②若 ，则{bn}是等差数列． （2）求数列 的通项公式及其前n 项和 ． 19．（本小题满分12 分） 已知点M（1，0），N（1，3），圆C：x2+y2＝1，直线l 过点N． 是 4 （北京）股份有限公司 （1）若直线l 与圆C 相切，求l 的方程； （2）若直线l 与圆C 交于不同的两点A，B，设直线MA，MB 的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2 4 （北京）股份有限公司 为定值． 20．（本小题满分12 分） 已知等比数列 的公比为q，前n 项和为 ． (1) 若 成等差数列，求证： 成等差数列； (2) 若 是 和 的等差中项，则 成等差数列吗？ 21．（本小题满分12 分） 已知圆C: ,一动圆与直线 相切且与圆C 外切． （1）求动圆圆心P 的轨迹T 的方程； （2）若经过定点Q（6，0）的直线l 与曲线T 交于A,B 两点，M 是AB 的中点，过M 作x 轴的平行 线与曲线T 相交于点N，试问是否存在直线l，使得 ？若存在，求出直线l 的方程； 若不存在，请说明理由． 22．（本小题满分12 分） 已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 的上顶点到右顶点的距离为 ， 为坐标原点． （1）求椭圆 的标准方程； 5 （北京）股份有限公司 （2）若 是椭圆 上两点（异于顶点），且 的面积为 ，设射线 ， 的斜率分 别为 ，求 的值； （3）设直线与椭圆交于 两点（直线不过顶点），且以线段 为直径的圆过椭圆的右顶 点 5 （北京）股份有限公司 ，求证：直线过定点． 6 （北京）股份有限公司 高二期中考试 数学答案 1． 【答案】B 2． 【答案】B 3． 【答案】A 4． 【答案】D 5． 【答案】C 6． 【答案】A 7． 【答案】C 8． 【答案】D 9． 【答案】BC 10． 【答案】BD 11． 【答案】ACD 12． 【答案】BC 13． 【答案】 14. 7 （北京）股份有限公司 【答案】 15． 【答案】 16．【答案】 17．（ 【答案】 ， 连接 ，在 中，由余弦定理，得 ， 且 , 又有 ，故 , 在 中，由正弦定理，得 , 因为 ，所以 ，所以 , 8 （北京）股份有限公司 因为 ，所以 , 故 8 （北京）股份有限公司 ， 在 中，由正弦定理，得 ． 18． 【答案】（1）略 （2） ， 19． 【答案】（1）解：若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为x＝1， 此时直线l 与圆C 相切，故x＝1 符合条件； 若直线l 的斜率存在，设斜率为k，其方程为y＝k（x 1 ﹣）+3，即kx﹣y﹣k+3＝0， 由直线l 与圆C 相切，圆心（0，0）到l 的距离为1， 则 ，解得 ， 所以直线l 的方程为 ，即4x 3 ﹣y+5＝0， 综上所述，直线l 的方程为x＝1 或4x 3 ﹣y+5＝0； （2）证明：由（1）可知，l 与圆C 有两个交点时，斜率存在， 此时设l 的方程为kx﹣y﹣k+3＝0， 联立 ， 消去y 可得（1+k2）x2﹣（2k2 6 ﹣k）x+k2 6 ﹣k+8＝0， 则Δ＝（2k2 6 ﹣k）2 4 ﹣（1+k2）（k2 6 ﹣k+8）＝24k 32 ﹣ ＞0， 解得 ， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 9 （北京）股份有限公司 则 ， ，（*） 所以 ＝ ＝ ＝ 9 （北京）股份有限公司 ， 将（*）代入上式整理得 ＝ ， 故k1+k2为定值 ． 20． 【答案】（1）略；（2）由条件得 或 .当 时 不成等差数列； 当 时， 成等差数列. 21． 【答案】（1） ；（2） 或 ． 22． 【答案】解：由题得 ，所以 所以椭圆的标准方程为 （1）设 设直线 ，直线 ，所以 ， 同理得 点 到直线 的距离 ，         3 2 2 2 2 b a a c 1 , 2   b a 1 2 2 2  y x ) , ( ), , ( 2 2 1 1 y x T y x S x k y OS 1 :  x k y OT 2 :          1 2 2 2 1 y x x k y 2 1 2 1 2 1 2 k x   2 2 2 2 2 1 2 k x   T OS 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 | | | | 1 | | k x k k k y x k d        | | 1 1 2 1 x k OS    10 （北京）股份有限公司 所以 平方得 2 2 ) 2 1 )( 2 1 ( | | 2 1 2 2 2 1 2 1          k k k k d OS S OST 0 ) 1 2 ( 2 2 1   k k 10 （北京）股份有限公司 所以 （3）设 ， （i）直线的斜率存在时，设直线 ，得 所以 由题得 所以 化简得 代入韦达定理得 所以 或 当 时， ，定点为 ，为右顶点（舍）。 当 时， ，定点为 ，满足题意 （ii）直线的斜率不存在时，设直线 ，所以 （不妨设 在第一象限） 2 1 2 1   k k ) , ( 1 1 y x M ) , ( 2 2 y x N l m kx y l   :          1 2 2 2 y x m kx y 0 2 2 4 ) 2 1 ( 2 2 2      m kmx x k                   0 2 1 2 2 2 1 4 2 2 2 1 2 2 1 k m x x k km x x 0  AN AM 0 ) 2 )( 2 ( 2 1 2 1     y y x x 0 2 ) )( 2 ( ) 1 ( 2 2 1 2 1 2        m x x km x x k 0 2 4 2 3 2 2    km k m 0 ) 2 )( 2 3 (    k m k m k m 2   k m 3 2   k m 2   k kx y l 2 :   ) 0 , 2 ( k m 3 2   k kx y l 3 2 :   ) 0 , 3 2 ( l 2 | | , :   t t x l         1 2 2 2 y x t x ) 2 2 , ( ), 2 2 , ( 2 2 t t N t t M    M 11 （北京）股份有限公司 又因为 ) 0 , 2 ( A 11 （北京）股份有限公司 所以 化简得 ，所以 所以 或 （舍） 所以 ，直线过点 综上（i）（ii）所得直线过定点 0  AN AM 0 2 2 4 3 2    t t 0 ) 2 )( 2 3 (    t t 3 2  t 2  t 3 2  t l ) 0 , 3 2 ( l ) 0 , 3 2 (