吉林省长春外国语学校2021-2022学年高二下学期期初考试数学试题

长春外国语学校2021-2022 学年第二学期期初考试高二年级 数学试卷（文科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4 页。考试结束后， 将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要 1.已知 ， ，且 ，则 的值为（ ） A． B． C．6 D．-6 2.已知空间向量 ， ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 3.已知两条直线 ， ，若与 平行，则 为（ ） A． B． C． 或 D． 4.无论m 为何值，直线 所过定点的坐标为（ ） A． B． C． D． 5.已知圆 的圆心在直线 上，则该圆的面积为（ ） A． B． C． D． 6.已知在等比数列 中， ， ，则 （ ） A．9 或 B．9 C．27 或 D．27 7.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A．10 B．11 C．12 D．13 8.已知圆 ： 和圆 ： ，则（ ） A．公共弦长为 B．公共弦长为 C．公切线长 D．公切线长 9.等比数列{an}的各项均为正数，其前n 项为Sn，已知S3= ，S6= ，则a8=（ ） A．－32 B．32 C．64 D．－64 10.两个等差数列{an},{bn}, a1+a2+...+an b1+b2+...+bn =7 n+2 n+3 , 则 a5 b5 =（ ） A. 65 12 B. C. D. 11.已知直线 经过椭圆 的左焦点 ，交 轴于点 ，交椭圆C 于点 ，若 ，则椭圆 的离心率为（ ） A． B． C． D． 12.已知圆 ，以圆 的圆心为焦点 的抛物线 ， 过 的直线与M 交于 ， 两点（ 在 的上方），与 交于 ， 两点（ 在 的上方），则 的最小值为（ ） A．7 B． C．6 D． 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第22-24 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分。 13. 已知直线l 的方向向量 ，且l 过 和 ，则 ______． 14. 已知F1，F2是椭圆C： （a> 0，b> 0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点， 且 ，若△PF1F2的面积为9，则b=_________. 15. 在等差数列 中， ，则 ___________. 16. 椭圆 的四个顶点为 、 、 、 ，若四边形 的内切圆 恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是________． 三、解答题(本大题共6 小题，共70 分) 17.（10 分）已知平面内两点 、 . （1）求 的中垂线方程； （2）直线平行于直线 ，且点 到直线的距离为，求直线的方程. 18.（12 分）如图，已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， ， 底面ABCD，且 ，M 是棱PB 的中点. （1）求AC 与PB 所成角的余弦值； （2）求平面AMC 与平面BMC 的夹角余弦值. 19.（12 分）已知圆C： ，直线l： （1）设直线l 与圆C 交于点A、B，若 ，求直线l 的倾斜角； （2）设直线l 与圆C 交于点A、 若定点 满足 ，求此时直线l 的 方程． 20.（12 分）已知数列 的首项 ，前 项和为 ， ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 21.（12 分）已知直线 （1）若直线l 不能过第三象限，求k 的取值范围； （2）若直线l 交x 轴负半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，O 为坐标原点，设 的 面积为S，求S 的最小值及此时直线l 的方程． 22.（12 分）已知双曲线 的离心率为2，且过点 . （1）求双曲线 的方程； （2）设点 分别为双曲线 的右顶点､左焦点，点 为 上位于第二象限的动点， 是否存在常数 ，使得 ？如果存在，请求出 的值；如果不存在，请说 明理由. 答案 选择：DCADAB BBBAAD 填空：13.0 14.3 15.18 16. { } n a * n N  n n T 11【详解】设椭圆 的右焦点为 ，连接 ． 直线 经过椭圆 的左焦点 ， 又 在 中，由余弦定理可得 ，即 ． 又 ， 椭圆 的离心率 ．故选： ． 12．D 【详解】 根据题意，作图如下： 可知 ，圆 的半径为1，抛物线方程为 . 设 ， ， 设直线 的方程为 （斜率显然存在，且不为零） 联立抛物线方程 可得 所以 . 所以 ．又 ， ，所以 （当且仅当 时取等号）， 即当 ， 时， 的最小值为 .故选：D． 16．易知边 的直线方程为： ，即 ， 则平行四边形 的内切圆的圆心是椭圆的中心，半径为中心 到直线 的距离 ， 又因为四边形 的内切圆恰好过椭圆的焦点， 所以 ，即 ，即 ，即 ， 即 ，解得 或 （舍），则 . 故答案为： . 17.（1） （2） 或 【分析】（1）求出直线 的斜率以及线段 的中点坐标，利用点斜式可得出所求直 线的方程；（2）设直线的方程为 ，利用点到直线的距离公式可求得 的 值，即可得出直线的方程. （1）解：直线 的斜率为 ，线段 的中点为 ， 因此，线段 的中垂线方程为 ，即 . （2）解：设直线的方程为 ，即 ，由已知可得 ， 可得 或 .因此，直线的方程为 或 . 18． （1） （2） （1） 由题知， 互相垂直，建立以A 点为原点的空间直角坐标系，如图所示， ， ， ， 则 ， ， 则 即AC 与PB 所成角的余弦值为 . （2） 由（2）知， ， ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，即 ，取 ， 设平面 的法向量 ， 则 ，即 ，取 ， 则 19（1）因为 ，故 到直线的距离 ， 又圆心到直线的距离为 ， 所以 ，解得 ，故直线 的斜率为 ， 所以其倾斜角为 或 ； （2） 在圆内. 设 ，则 ，故 . 设 的中点为 ，则 且 . 设 ，因为 ，故 ，解得 ， 所以 ，所以 ， 故直线 或 . 20 解：（Ⅰ）：由题意得 两式相减得 所以当 时， 是以3 为公比的等比数列． 因为 ， 所以， ，对任意正整数成立 是首项为１,公比为３的等比数列…5 分 所以得 ， （Ⅱ） ： 所以 、 = 21.（1）由 ，∴ 时， ，故直线l 过定点 ， 由 ，要使直线l 不能过第三象限，当 时， 满足要求； 当 时， 必过第三象限，不合题设；当 时，只需 ，可 得 ；综上， . （2）由直线方程知： ， ，又 在x 轴负半轴， 在y 轴正半轴， ∴ ，可得 .∴ ，当且 仅当 时等号成立，∴S 的最小值为4，此时直线l 的方程 . 22．（1） （2）存在， （1）离心率 ，∴ ， ，所以双曲线的方程 ， 把点 代入双曲线方程得 ，解得 ，故双曲线 的方程为 ； （2）设 ， ，其中 ， 由（1）知 ， ①当直线 的斜率不存在时， ， ， ∴ ，此时 ； ②当直线 的斜率存在时， 由于双曲线渐近线方程为 ，所以 ， 由 得 ，又 ， ， ∴ ，∴ ， 又 ，所以 ，综上，存在常数 ，满足 . 1 1 2 1 2 1( 2) n n n n a S a S n        ， 1 1 1 2 ) 2 3 ( 2) n n n n n n n a a S S a a a n           （ 2 n  { } n a 2 1 1 2 1 2 1 3 a S a    2 1 3 a a  1 3 n n a a  { } n a 1 3n n a   3 1 3 log log 3n n n b a n    