山东省泰安市新泰市第一中学东校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题

试卷第1页，共4页 新泰一中东校高一下学期第一次质量检测 数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、单选题（40 分） 1．若在△ABC 中，AB   a ，BC   b  ，且| | | | 1 a b     ，| | 2 a b     ，则△ABC 的形状是 （ ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角 形 2． 2 2 5π π sin sin 12 12  （ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D． 3 3 3．在ABC  中，已知D 是AB 边上一点，且 2 1 3 3 CD CA CB         ，则（ ） A． 2 AD BD      B． 1 2 AD DB      C． 2 AD DB      D． 1 2 AD AB      4．已知角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，其终边经过点  2, 1   ， 则tan3（ ） A．11 2 B．9 2 C．7 2 D．5 2 5．已知向量a 、b 不共线，且   , 2 1 c xa b d a x b            ，若c 与d  共线，则实数x 的值 为（ ） A．1 B． 1 2  C．1或 1 2  D．1 或 1 2  6．已知 5 π si 2 n 3          ，则 π cos 2 3          （ ） A． 21 25  B． 17 25  C． 5 4 5 2  D．4 5 25 7．已知 3 sin(30 ) ,60 150 5         ，则cos的值为（ ） A．4 3 3 10  B． 4 3 3 10   C． 4 3 3 10  D．4 3 3 10  试卷第2页，共4页 8．已知函数  3sin2 cos2 f x x x   ，则（ ） A．  f x 在3π 7π , 4 6      单调递增 B．  y f x  的图象关于点π ,0 3      对称 C．  f x 的最大值为4 D．将函数  f x 的图象向左平移π 6 个单位得到一个奇函数 二、多选题（共20 分） 9．下列命题正确的有（ ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 D．“若 , , , A B C D 是不共线的四点，且AB DC    ' “四边形ABCD是平行四边形” 10．下列说法正确的是（ ） A．向量a 在向量b 上的投影向量可表示为 a b b b b       B．若 0 a b    ，则a 与b 的夹角θ的范围是π ,π 2       C．若ABC  是等边三角形，则AB  ，BC  的夹角为60 D．若 0 a b    ，则a b    11．要得到函数 π sin 2 3 y x        的图象，只要将函数 sin y x  图象上所有的点（ ） A．横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变） ，再将所得图象向左平移π 3 个单位 B．横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变） ，再将所得图象向左平移π 6 个单位 C．向左平移π 3 个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变） D．向左平移π 6 个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变） 12．若函数      2cos cos sin 1 0 f x x x x         的最小正周期为π，则（ ） A． π 6 24 2 f         B．  f x 在π 2 3π , 4      上单调递增 C．  f x 在 5π 0, 2      内有5 个零点 D．  f x 在 π π , 4 4       上的值域为  1,1  试卷第3页，共4页 第II 卷（非选择题） 三、填空题（共20 分） 13．若两个非零向量a ，b 满足 2 a b a b a         ，则a b    与a 的夹角为______． 14． 函数     cos 2 0 π f x x       的图象向左平移π 6 个单位后与函数 cos2x y  的 图象重合，则_________． 15．已知 4 a   ， 3 b   ，   2 3 2 61 a b a b         ，求a b     ______． 16．如图，在平行四边形ABCD中，E ，F 分别是BC ，DC 上的点，且满足BE EC     ， 2 DF FC    ，记AB a    ，AD b    ，则向量BF    __（用a ，b 来表示，2 分） ；若 3 AB    ， 2 AD    ，且 3 BF    ，则DE    __． （3 分） 四、解答题(共70 分) 17．如图，在ABC  中， 1 1 , 3 2 AM AB BN BC          .设 , AB a AC b        . (1)用, a b  表示 , BC MN    ； (2)若P 为ABC  内部一点，且 5 1 12 4 AP a b       .求证： , , M P N 三点共线， 并指明点P 的具体位置。 18．已知是钝角，是锐角， π 1 cos 4 3          ，   4 sin 5     . (1)求sin2的值； (2)求 π sin 4        的值. 19．已知向量a 与b 的夹角 3π 4  ，且 3 a   ， 2 2 b   ． (1)求a b   ； ( ) ( 2 ) a b a b        ； (2)求a b    ； (3) a 与a b   的夹角的余弦值． 试卷第4页，共4页 20．如图，在AOB  中， 2 AOB    ， 1       OA OB ，OC AB  ，点P 为线段OC 上任意 一点. (1)求OC OA    ； (2)求AP OP     的最小值. 21．如图所示，摩天轮的直径为100m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上 均匀地安装着24 个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆 时针匀速旋转，转一周大约需要12min． (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min t 后距离地面的高度为 m H ，求在转动一周 的过程中，H 关于t 的函数解析式； (2)在甲进座舱后间隔3 个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于P、Q 两 点，本题中将座舱视为圆周上的点） ，以乙进座舱后开始计时，在运行一周的过程中， 求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t 的函数解析式，并求出 25  h 时t 的取值 范围． 22．已知函数 2 2 1 1 ( ) cos sin 3 sin cos 2 2 2 2 2 2 x x x x f x    (1)将函数 ( ) f x 化简成 sin( ) A x    的形式，并求出函数的最小正周期； (2)将函数 ( ) f x 的图象各点的横坐标缩小为原来的 1 2 （纵坐标不变） ， 再向左平移π 12 个单 位长度， 得到函数 ( ) y g x  的图象.若方程2 ( ) 1 g x m  在 [0, ] 2 x   上有两个不同的解 1 x ， 2 x ，求实数m 的取值范围，并求 1 2 tan( ) x x  的值. 答案第1页，共4页 参考答案： 1．D 2．C 3．B 4．A 5．C 6．B 7．B 8．A 9．AD 10．AB 11．BC 12．BC 13．3  14．2π 3 15．13 16． 1 3 b a    7 17.【详解】 （1）由题图，BC AC AB b a            ，-------------------------------------------2 分 1 2 1 2 1 1 ( ) 2 3 2 3 2 6 BN BM BC AB b a a b a MN                         .---------------------------------5 分 （2）由 1 1 1 1 1 5 1 ( ) 3 3 2 3 2 6 2 AM AN AB AC CN AB AC BC a b b a a b                                   ，-7 分 又 5 1 12 4 AP a b       ，所以 1 1 2 2 AM AP AN        ，故 , , M P N 三点共线，且P 是MN 的中点 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------10 分 18． 【详解】 （1） 2 2 π π 1 7 sin 2 cos2 2cos 1 2 1 4 4 3 9                             .---4 分 （2）因为是钝角，是锐角，   4 sin 5     ， 所以π π π,0 2 2       ，π 3π 2 2      ，π π 3π 4 4 4     ， 所以     2 3 cos 1 sin 5          ，------------------------------------------6 分 2 π π sin 1 co 4 4 3 2 s 2                    .------------------------------------------------8 分 所以   π π sin sin 4 4                            ---------------------------------------------10 分     π π sin cos cos sin 4 4                         4 1 3 2 2 4 6 2 5 3 5 3 15             。---------------------------------------------------12 分 19.【详解】 （1）已知向量a 与b 的夹角 3π 4  ，且 3 a   ， 2 2 b   ，则 答案第2页，共4页 3π 2 cos 3 2 2 6 4 2 a b a b                    ，----------------------------------------2 分 所以   2 2 ( ) ( 2 ) 2 9 6 2 8 1 a b a b a a b b                   ；---------------------4 分 （2）     2 2 2 2 9 2 6 8 5 a b a b a a b b                    -------------8 分 （3）a 与a b   的夹角的余弦值为   2 9 6 5 cos , 5 3 5 a a b a a b a a b a a b a a b                              .--12 分 20.【详解】 （1）由题意，在AOB  中， 1       OA OB ，OC AB  ， ∴C 为AB 的中点，---------------------------------------------------------------------------2 分 ∴ 2 1 2 2 2 2 OB OA OB OA OA OC OA OA                             .--------------------------------------4 分 （2）由题意及（1）得，在等腰直角三角形AOB  中， 0 OA OB      ， 由（1）知， 1 1 2 2 OC OA OB         . 设   0 1 2 2 OP OC OA OB                  ，----------------------------------------------6 分 则 1 2 2 AP OP OA OA OB                        ，-------------------------------------------------8 分 ∴ 1 2 2 2 2 AP OP OA OB OA OB                                        2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4 2 2 8 8 OA OB                                              ∴当 1 2  时，AP OP     最小，最小值为 1 8  .------------------------------------------12 分 21.【详解】 （1）如图， 以摩天轮中心O为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系．---1 分 由题意， 摩天轮的角速度 2π π rad / min 12 6   ------------------------------3 分 所以甲所在的位置的纵坐标 π π 50sin 6 2 y t         甲 则 π π π 50sin 60 50cos 60,0 12 6 2 6 H t t t             -----------------6 分 （2）令甲、乙两位游客距离地面的高度为 1 H 、 2 H ，则 答案第3页，共4页 1 2 π π π 50cos 60 50cos 60 6 3 6 h H H t t                           -----------------------------------------------------------------------------------8 分 π π π 3 π 1 π 50cos 50cos 50 sin cos 6 3 6 2 6 2 6 t t t t            π π 50 sin 6 6 t         ， [0,12] t  ----------------------------------------------------------------10 分 令 π π 50 sin 25 6 6 t         ，得 π π 1 sin 6 6 2 t         或 π π 1 sin 6 6 2 t         解得： [0,4] [6,10]   t ．----------------------------------------------------------------------12 分 22． 【详解】 （1） 2 2 1 1 ( ) cos sin 3 sin cos 2 2 2 2 2 2 x x x x f x    2 2 1 3 cos sin 2sin cos 2 2 2 2 2 2 x x x x           1 3 cos sin 2 2 x x   --------------------------1 分 π sin 6 x    