黑龙江省牡丹江市牡丹江第一高级中学2020级高二上学期期中考试 数学 Word版答案

2020 届高二上学期期中数学参考答案 选择 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C C D A B D C D D BD BD 填空 13 14 15 16 答案 x=2 -6，2 6+√2 －1 17.两直线的交点为 （1，0），当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为：y=k( x−1) ，由点到直线距离公式可得 |k−2| √k2+1 =1 ，解得k= 3 4 ，此时直线m 的方程为3 x−4 y−3=0 ；当直线m 的斜率不存在时，x=1 ，点（2， 2）到直线m 的距离等于1，满足条件。综上，直线m 的方程为3 x−4 y−3=0 ，和x=1 18. （1）略（2）4 x+3 y−23=0 19、解：(1)设⃗ b＝(x，y，z)， 则由题可知 解得或 所以⃗ b＝(2,－1,2)或⃗ b＝(－2,－1,－2)． (2)因为向量⃗ b与向量⃗ d＝共线，所以⃗ b＝(2,－1,2)． 又⃗ a＝(2,1,－2)，⃗ c＝(－1,0,1), 所以⃗ a－⃗ b＝(0,2,－4),2⃗ b＋3⃗ c＝(1,－2,7)， 所以(⃗ a－⃗ b)·(2⃗ b＋3⃗ c)＝－32, 且|⃗ a－⃗ b|＝2,|2⃗ b＋3⃗ c|＝3, 所以⃗ a－⃗ b与2⃗ b＋3⃗ c夹角的余弦值为cos〈⃗ a－⃗ b，2⃗ b＋3⃗ c〉＝ (⃗ a－⃗ b)∙(2 ⃗ b＋3 ⃗ c) |⃗ a－⃗ b||2 ⃗ b＋3 ⃗ c| =¿－. 20. 解：（1）椭圆的右焦点为F（2，0），过F 斜率为1 的直线为y=x−2 ，将其带入 5 x2+9 y2=45 得， 14 x2−36 x−9=0 ，设直线与为椭圆的两个交点为A( x1, y1),B( x2, y2)，则x1+x2=18 7 , x1 x2=−9 14 ， |AB|=√2|x1−x2|=30 7 （2）设弦的端点为C(x1, y1), D(x2, y2),∴x1+x2=2, y1+ y2=2,{ 5 x1 2+91 2=45 5 x2 2+92 2=45 ，将两式做差得 5( x1+x2)( x1−x2)+9(( y1+ y2)( y1−y2)=0，化简得5+9⋅y1−y2 x1−x2 =0, 即k=−5 9 ， 所以直线的方程为5 x+9 y−14=0 21. 解：(1)证明：以A 为原点,以AB,AD,AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标 系． 由题意得,A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,4,0),P(0,0,2),M(1,2,1), 则DM＝(1,0,1),平面PAB 的一个法向量为⃗ n＝(0,1,0)． 因为DM·⃗ n＝0,DM⊄平面PAB,所以DM∥平面PAB. (2)证明：设平面ADM 的法向量为⃗ m＝(x，y，z), 因为AD＝(0,2,0),AM＝(1,2,1), 则{ ⃗ m∙⃗ AD=2 y=0 ⃗ m∙⃗ AM=x+2 y+z=0 取x＝1,得⃗ m＝(1,0,－1)． 设平面PBC 的法向量为⃗ P＝(x1,y1,z1), 因为PB＝(2,0,－2)，PC＝(2,4,－2), 则{ ⃗ p∙⃗ PB=2 x1−2 z1=0 ⃗ p∙⃗ PC=2 x1+4 y1−2 z1=0 取x1＝1,得⃗ p＝(1,0,1)． 因为⃗ m∙⃗ p＝0,所以平面ADM⊥平面PBC. (3)存在符合条件的λ. 设E(2,t,0)(0＜t＜4)，又P(0,0,2)，D(0,2,0)， 所以PD＝(0,2,－2)，DE＝(2,t－2,0), 设平面PDE 的法向量为⃗ q＝(a,b,c), 则{ ⃗ q∙⃗ PD=2b−2c=0 ⃗ q∙⃗ DE=2a+(t −2)b=0取b＝2，得⃗ q＝(2－t,2,2)． 平面DEB 即为xAy 平面,它的一个法向量为⃗ v＝(0,0,1),因为二面角PDEB 的余弦值为, 所以|cos〈⃗ q,⃗ v〉|＝⌈⃗ q∙⃗ v ⌉ ⌈⃗ q⌉⌈⃗ v ⌉＝＝, 解得t＝3 或t＝1，所以λ＝3 或λ＝. 22. 解：（1）椭圆的方程是 x2 3 + y2=1 （2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=±1,带入 x2 3 + y2=1 得y=±√6 3 ，此时 |PQ|=2√6 3 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为y=kx+m ，因为与圆相切有 |m| √k2+1 =1, m 即 2=k2+1， 由3 得，(1+3k2)x2+6kmx+3(m2−1)=0 ， 设P(x1, y1),Q(x2, y2)，则x1+x2=−6 km 1+3k2 , x1 x2=3(m2−1) 1+3k2 所以，|PQ|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2⋅2√6|k| 1+3 k2 =2√3 √(1+k2) ⋅2k2 1+3 k2 ≤2√3⋅ 1+k2+2k2 2 1+3 k2 =√3 当且仅当1+k2=2k2, k 即=±1 时，|PQ|取得最大值为√3 ，经检验此时Δ>0 ，综上，|PQ|的最大值为√3