甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题

（北京）股份有限公司 兰州一中2022—2023-1 学期期末考试试题 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150 分， 考试时间120 分钟．请将答案填在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题共60 分） 一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1．计算 的值是（ ) A． B． C． D． 2．已知函 ，则 的零点所在的区间是（ ) A． B． C． D． 3．已知角 的终边过点 ，则 的值是（ ) A． B． C．0 D． 或 4．已知 ，则a，b，c 的大小关系为（ ) A． B． C． D． 5．2018 年，晓文同学参加工作月工资为7000 元，各种用途占比统计如右面的条形图．后来晓文同学加强了 体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如右面的折线图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少200 元， 则目前晓文同学的月工资为（ ) （北京）股份有限公司 A．7000 B．7500 C．8500 D．9500 6．下列关于函数 的说法正确的是（ ) A．在区间 上单调递增 B．最小正周期是 C．图象关于点 成中心对称 D．图象关于直线 成轴对称 7．已知函数 ，则 的图像大致是（ ) A． B． C． D． 8 ．已知 为定义在R 上的奇函数，当 时，有 ，且当 时， ，关于 下列命题正确的个数是（ ) ① ②函数 在定义域上是周期为2 的函数 ③直线 与函数 的图象有2 个交点﹔ ④函数 的值域为 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、多项选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9．已知函数 ，下列说法中正确的有（ ) （北京）股份有限公司 A． B．函数 单调减区间为 C．若 ，则a 的取值范围是 D．若方程 有三个解，则b 的取值范围是 10．一半径为4 米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面2 米，已知水轮每30 秒逆时针匀速转动一圈，如果 当水轮上点P 从水中浮现时（图中点 ）开始计时，则（ ) A．点P 第一次到达最高点需要10 秒 B．当水轮转动35 秒时，点P 距离水面2 米 C．当水轮转动25 秒时，点P 在水面下方，距离水面2 米 D．点P 距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为 11．下列说法中正确的是（ ) A．命题“ ”的否定是“ ” B．函数 （ 且 ）的图象经过定点 C．幂函数 在 上单调递增，则m 的值为4 D．函数 的单调递增区间是 12．已知函数 的图象，给出以下四个论断，其中正确的是（ ) A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象的一个对称中心为 （北京）股份有限公司 C． 在区间 上是减函数 D． 可由 向左平移 个单位 第Ⅱ卷（非选择题共90 分） 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步， 径十六步．问为田几何?”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30 步，其所在圆的直径为16 步，问这块田 的面积是多少平方步?”该问题的答案为__________平方步． 14．函数 的反函数 的定义域为_________． 15．已知 ，则 __________． 16．函数 的图像与直线 在 上有三个交点，其横坐标分别为 ，则 的取值范围为___________． 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10 分）（1）计算： （2）已知 ，求 的值． 18．（12 分）已知函数 的部分图象如图所示． （1）写出函数 的解析式及单调递增区间； （2）求函数 在区间 上的值域． （北京）股份有限公司 19．（12 分）某地区今年1 月、2 月、3 月患某种传染病的人数分别为52、54、58；为了预测以后各月的患 病人数，根据今年1 月、2 月，3 月的数据，甲选择了模型 ，乙选择了模型 ，其中y 为患病人数，x 为月份数，a，b，c，p，q，r 都是常数． （1）如果4 月、5 月、6 月份的患病人数分别为66、82、115，你认为谁选择的模型较好?请说明理由； （2）至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000 人?试用你认为比较好的模型解决上述问题．（参 考数据： ） 20．（12 分）我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭 用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021 年100 个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照 ， 分成5 组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求全市家庭月均用水量不低于4t 的频率； （2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到 0.01）； （3）求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）． 21．（12 分）若将函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向 右平移 个单位长度，得到函数 的图象． （1）求 图象的对称中心； （2）若 ，求 的值． 22．（12 分）已知函数 的图象过点 （北京）股份有限公司 （1）求函数 的解析式； （2）若函数 在区间 上有零点，求整数k 的值； （3）设 ，若对于任意 ，都有 ，求m 的取值范围． 兰州一中2022─2023-1 学期期末考试试题 高一数学答案 一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1．【答案】B 2．【答案】C 解：由 在 上单调递减， 在 上单调递减 所以函数 在 上单调递减 又 根据函数 在（ 上单调递减，由零点存在定理可得函数在 之间存在零点． 故选：C 3．【答案】B 4．【答案】D 解： ，则 ∴ ， 故选：D． 5．【答案】C 解：参加工作就医费为 ， （北京）股份有限公司 设目前晓文同学的月工资为x，则目前的就医费为 ， 因此 ，∴ ．选C． 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】A 解： 时， ，则 ， 又 是R 上的奇函数，因此 ，所以 ， ①正确； ，②错误； 作出函数 的图象与直线 （如图），可得直线 与 的图象只 有两个交点 和 ， 时， ，其图象与直线 只有一个交点 ， 又 是奇函数，从而 在 上的图象与直线 只有一个交点 ， 由命题①的推理可得 ，由于 时， ，同样由命题①的推理结合奇函数性质得 ， 而 时， 时， ，因此③错，同时得出④错． 正确的命题只有①．故选：A． 二、多项选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9．【答案】ACD 10．【答案】AC 解：设点P 距离水面的高度h（米）和时间t（秒）的函数解析式为 ， （北京）股份有限公司 由题意得： 解得： ∴ ．故D 错误； 对于A．令 ，即 ，即 解得： ，故A 对； 对于B 令 ，代入 ，解得： ，故B 错误； 对于C．令 ，代入 ，解得： ，故C 对． 故选：AC 11．【答案】ABC 12．【答案】AC 第Ⅱ卷（非选择题共90 分） 二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13．【答案】120 解：由题意得，扇形的弧长为30，半径为8， 所以扇形的面积为： ， 14．【答案】 解．∵ ，∴ ，∴函数 的值域为 ． ∵ 的定义域即函数 的值域 ∴ 的定义域为 ． （北京）股份有限公司 15．【答案】 解． 16．【答案】 解：由题意因为 ，则 ，可画出函数大致的图 则由图可知当 时，方程 有三个根，由 解得 解得 ，且点 与点 关于直线 对称， 所以 ，点 与点 关于直线 对称， 故由图得，令 ，当为 时，解得 或 ， 所以， ，解得， ，则 ， 即 故答案为： 四、解答题（本大题共6 小题．共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （北京）股份有限公司 17．解：（1）原式 （2）解：因为 ．且 ， 所以分子分母同除以 有： 即 ， 解得 18．解：（1）根据函数 的部分图象， 可得 ，解得 ， ∴ ， 将 代入可得 ，解得 ﹔ 所以 递增区间为 （2）由以上可得， ∴ ，∴ ，∴ 当 时，即 ，函数 取得最小值为 （北京）股份有限公司 当 时，即 ，函数 取得最大值为1 所以值域为 19．解：（1）由题意，把 ，2，3 代入 得： ， 解得 ，所以 ， 所以 ， 则 ； 把 ，2，3 代人 ，得 ， 解得 ，所以 ， 所以 ， 则 因为 更接近真实值，所以应将 作为模拟函数； （2）令 ，解得 由于 即 ， 所以至少经过11 个月患该传染病的人数将会超过2000 人． 20．解：（1）由直方图可知全市家庭月均用水量不低于4t 的频率为： （2）因为 ． 因此全市家庭月均用水量的平均数估计值为4.92t （3）频率分布直方图中，用水量低于2t 的频率为 ． （北京）股份有限公司 用水量低于4t 的频率为 ． 用水量低于6t 的频率为 ． 用水量低于8t 的频率为 故全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值为x，则 则 ，解得 所以全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值为6.56 21．解：（1）由题意将函数 图象上所有的点横坐标缩短到原来的 ， 纵坐标不变，再向移 个单位长度，可得 ． 由 ，可得 ， 故 图象的对称中心为 （2）解：由 因为 ， 可得 所以 ． 22．解：（1）函数 的图像过点 ，所以 ，解得 ， 所以函数 的解析式为 （北京）股份有限公司 （2）由（1）可知 ， 令 ，得 ， 设 ，则函数 在区间 上有零点， 等价于函数 在 上有零点，所以 ，解得 因为 ，所以k 的取值为2 或3 （3）因为 且 ，所以 且 ， 因为 所以 的最大值可能是 或 ， 因为 所以 ， 只需 ，即 ， 设 ， 在 上单调递增， 又 ，∴ ，即 ，所以 ， 所以m 的取值范围是 （北京）股份有限公司