广东省华南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期1月期末考试数学试题

试卷第1 页 共4 页 华南师大附中2022-2023 学年第一学期期末考试 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100 分．考试用时120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的 相应位置填涂. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号. 3．回答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂 改液.不按以上要求作答的答案无效. 第Ⅰ卷 一、 单选题：本大题共8 小题，每小题3 分，满分24 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．过点  1,2  和点  0,3 的直线在x 轴上的截距为（ ） A．3 B．1 C．3  D．1  2．设数列 n a 的前n 项和 2 1 n S n  ，则 6 a 的值为（ ） A．11 B．10 C．9 D．8 3．若直线l 的方向向量是   3,2,1 a  ，平面的法向量是   1,2, 1 u   ，则l 与的位置关系是（ ） A．l   B．// l  C．l 与相交但不垂直 D．// l 或l   4．若直线2 2 0 x y   为圆 2 2 ( ) 1 x a y   的一条对称轴，则  a （ ） A．1 2 B． 1 2  C．1 D．1  5．已知等比数列 n a 的前n 项和为 n S ，若 2 3 2 a a  ， 3 4 4 a a   ，则 8 S （ ） A．80 B．85 C．90 D．95 6．已知正项等差数列 n a 的前n 项和为 n S ，若 2 8 7 9 3 a a a    ，则 15 8 S a  的值为（ ） A．3 B．14 C．28 D．42 7．已知抛物线 2 : 2 ( 0) C y px p   的焦点为F，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段MF 与y 轴交于点A，与抛物线 C 交于点B，若| | 1 | | 3 AB MA   ， ，则p （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知O 为坐标原点，P 是椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y E a b a b     上位于x 轴上方的点，F 为右焦点. 延长PO，PF 交椭 圆E 于Q，R 两点，QF FR  ， 3 QF FR  ，则椭圆E 的离心率为（ ） A． 3 3 B． 2 2 C． 5 3 D． 10 4 各种高中资料一手更新，认准 试卷第2 页 共4 页 N M C1 A1 B1 C B A 二、多选题：本大题共4 小题，每小题3 分，满分12 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选 对得3 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分. 9．已知数列 n a 的前n 项和 2 9 n S n n   ，则下列结论正确的是（ ） A． n a 是等差数列 B． 4 6 0 a a   C． 9 10 a a  D． n S 有最大值81 4 10．已知曲线 2 2 : 1 C mx ny  ，则( ) A．若 4 m n   ，则曲线C 是圆,其半径为2 B．若 0 m n   ，则曲线C 是椭圆，其焦点在y 轴上 C．若曲线C 过点( 2, 3)  ， 15 ( , 2) 3  ，则C 是双曲线 D．若 0 mn  ，则曲线C 不表示任何图形 11．意大利人斐波那契于1202 年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三 项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列  n a 说法正确的是（ ） A． 12 144 a  B． 2022 a 是偶数 C． 2022 1 2 3 2020 a a a a a      D． 2020 2024 2022 3 a a a   12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平 行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 2 : , C y x O  为坐标原点.一束平 行于x 轴的光线1 l 从点   ,1 1 P m m  射入， 经过C 上的点  1 1 , A x y 反射后， 再经C 上另一点   2 2 , B x y 反射后， 沿直线2 l 射出，经过点Q ，则（ ） A． 1 2 1 y y  B．延长AO 交直线 1 4 x 于点D ，则 , , D B Q三点共线 C． 25 16 AB  D．若PB 平分 ABQ  ，则 41 16 m  第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4 小题，每小题3 分，满分12 分． 13．若双曲线 2 2 1 y x m  的一条渐近线方程为 3 y x  ，则实数m ___________． 14．如图，直三棱柱 1 1 1 ABC A BC 中， 90 BCA   ，M N ， 分别是 1 1 A B ， 1 1 AC 的中点， 1 BC CA CC   ，则BM 与AN 所成角的余弦值为______. 全科试题免费下载公众号高中僧课堂 试卷第3 页 共4 页 15．已知正项数列 n a 前n 项和 n S 满足     1 2 n n n a a S m m    R ， ，且 3 5 10 a a   ，则m __________. 16．如图，已知椭圆   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的右顶点和上顶点分别为, A B ，左焦点为F ，以原点O 为圆心的圆与直 线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于 , M N 两点.若四边形FAMN 是平行四边 形，且平行四边形面积为96，则椭圆的长轴长为___________. 四、解答题：本大题共6 小题，满分52 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17． （本题满分8 分） 在ABC 中， 7 cos 8 A  ， 3 c ，sin 2sin B A  且b c  . （1）求b 的值； （2）求ABC 的面积． 18． （本题满分8 分） 已知数列 n a 满足 1 9 4 a  且 1 3 4 n n a a  . （1）求数列 n a 的通项公式； （2）设数列 n b 满足3 0 n n b na   ，求 n b 的前n 项和为 n T . 19． （本题满分8 分） 如图，正三棱柱 1 1 1 ABC A BC 的所有棱长都为2，D 为 1 CC 中点. （1）求证： 1 AB 平面 1 A BD ； （2）求二面角 1 A A D B   的正弦值. x y F O A B C N M D A A1 C1 C B B1 试卷第4 页 共4 页 20． （本题满分8 分） 如图，已知抛物线 2 : 2 ( 0) C y px p   的焦点为F ，且经过点 (2 A p ， )( 0) m m  ，| | 5 AF  ． （1）求p 和m 的值； （2）若点M ，N 在C 上，且AM AN  ，证明：直线MN 过定点． 21． （本题满分10 分） 某高科技企业研制出一种型号为A 的精密数控车床，A 型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年 初到下一年的年初为A 型车床所创造价值的第一年）.若第1 年A 型车床创造的价值是250 万元，且第1 年至 第6 年， 每年A 型车床创造的价值减少30 万元； 从第7 年开始， 每年A 型车床创造的价值是上一年价值的50%. 现用 n a （ * N n ）表示A 型车床在第n 年创造的价值. （1）求数列( N ) n a n   的通项公式 n a ； （2）记 n S 为数列 n a 的前n 项的和， n T  n S n ，企业经过成本核算，若 100 n T  万元，则继续使用A 型车床，否 则更换A 型车床，试问该企业须在第几年年初更换A 型车床？ 22． （本题满分10 分） 已知双曲线   2 2 2 2 : 1 0, 0 x y C a b a b     的左、右焦点分别为 1 2 F F 、 ，右顶点A 在圆 2 2 : 3 O x y   上，且 1 2 1 AF AF  . （1）求双曲线C 的标准方程； （2）动直线l 与双曲线C 恰有1 个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点. ①求证：点M 与点N 的横坐标之积为定值； ②求MON  周长的最小值. x y N O F A M