安徽省合肥市第六中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题

1 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．若集合   1 M x x   ，   Z 0 4 N x x     ，则  RM N  （ ） A．  0,1 B．  0,1 C．  1,4 D．  0,1 2．命题“ 2 x  ，都有 2 3 0 x  ”的否定是（ ） A． 2 x  ，使得 2 3 0 x  B． 2 x  ，都有 2 3 0 x  C． 2 x  ，使得 2 3 0 x  D． 2 x  ，都有 2 3 0 x  3．若 0 a b   ，则下列不等式错误的是（ ） A．1 1 a b  B． 1 1 a b a   C．| | | | a b  D． 2 2 a b  4．设函数 1 1 2 1 f x x          ，则  f x 的表达式为（ ） A．   1 1 1 x x x    B．   1 1 1 x x x    C．   1 1 1 x x x    D．   2 1 1 x x x   5．在下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A．  2 1 f x x  ， N x ， 2 1 g x x  ， N x B．  1 1 f x x x    ， 2 1 g x x   C．     1 3 1 x x f x x     ， 3 g x x   D．  f x x  ， 3 g x x  6．已知不等式 2 0 ax bx c    的解集为 1 2 3 x x         ，则不等式 2 0 cx bx a    的解集为（ ） A． 1 3 2 x x          B．{ | 3 x x 或 1} 2 x  C． 1 2 3 x x          D．{ | 2 x x 或 1} 3 x  7．当0 1 x  时，1 4 1 x x  的最小值为（ ） A．0 B．9 C．10 D．12 8．已知函数 ( ) f x 满足：当 1 x 时， ( ) 3 1 f x x  ，当 1 x 时， 2 ( ) 1 f x x  ，若n m  ，且 ( ) ( ) f n f m  ，设t n m   ，则（ ） A.t 没有最小值 B.t 的最小值为5 1  C.t 的最小值为4 3 D.t 的最小值为17 12 2 二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分. 9. 下列函数中，值域为  0,的有（ ） A．   1 1 y x x    B． 2 y x C．   1 0 y x x   D． 1 1 y x   10．已知集合 { | 2} A x x   ，集合 { | 3} B x x   ，则以下命题正确的有（ ） A． 0 x A   ， 0 B x  B． 0 B x   ， 0 x A  C． x A  都有x B  D．x B  都有x A  11．命题“ x R  ， 2 0 1 x ax    ”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ） A．2 2 a   B． 2 a  C． 2 a  D．2 2 a   12． 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的 重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图 形如图所示,C 为线段AB 上的点,且AC a  , BC b  ,O 为AB 的中点,以AB 为直径作半圆.过点C 作 AB 的垂线交半圆于D ,连接OD , AD , BD ,过点C 作OD 的垂线,垂足为E .则该图形可以完成的所有 的无字证明为（ ） A． 2 a b ab   ( 0 a  , 0 b  ) B． 2 2 2 a b ab   ( 0 a  , 0 b  ) C． 2 1 1 ab a b   ( 0 a  , 0 b  ) D． 2 2 2 2 a b a b    ( 0 a  , 0 b  ) 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13．函数f(x)= 0 ( 3) 2 x x   的定义域是 14．设集合 { | 1 2} A x x    ， { | } B x x a   ，若A B  ，则a 的取值范围是 15．函数 2 ( ) 2 , ( ) 1 f x x x g x ax    ，若 1 2 [ 1,2], [ 1,2] x x     ，使得    1 2 f x g x  ，则a 的取值范围是 16．已知, a b R  ，且 2 2 1 a b ab   ，则b 的取值范围是___________ 3 四、解答题：本题共4 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17． （本小题15 分） （1）设 0 x y   ，试比较 2 2 ( )( ) x y x y   与 2 2 ( )( ) x y x y   的大小； （2）已知a ，b ，x ， (0, )   y 且1 1 , x y a b   ，求证： x y x a y b    ． 18． （本小题15 分）已知集合      1 0 , A x x a x a        2 2 0 B x x x     .  1 若x A  是x B  的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；  2 设命题   2 2 : , 2 1 8 p x B x m x m m       ，若命题p 为假命题，求实数m 的取值范围. 19． （本小题20 分）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产 品.已知该单位每月的处理量最少为300 吨，最多为600 吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨） 之间的函数关系可近似地表示为y 2 1 2 x  200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产 品价值为100 元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才 能使该单位不亏损？ 20． （本小题20 分）已知m R  ，解关于x 的不等式：   2 2 2 0 mx m x     . 4 2021 级高一上学期数学第一次过程性评价答案 考试时间：90 分钟 总分：150分 一. 单选题 1．若集合   1 M x x   ，   Z 0 4 N x x     ，则  RM N  （ ） A．  0,1 B．  0,1 C．  1,4 D．  0,1 【答案】D 【解】   0,1,2,3,4 N  ，   R | 1 M x x   ；∴    R 0,1 M N  . 故选：D. 2．命题“ 2 x  ，都有 2 3 0 x  ”的否定是（ ） A． 2 x  ，使得 2 3 0 x  B． 2 x  ，都有 2 3 0 x  C． 2 x  ，使得 2 3 0 x  D． 2 x  ，都有 2 3 0 x  【答案】C 【解】因为原命题为“ 2 x  ，都有 2 3 0 x  ”，所以命题的否定为“ 2 x  ，使得 2 3 0 x  ”， 故选：C. 3．若 0 a b   ，则下列不等式错误的是（ ） A．1 1 a b  B． 1 1 a b a   C．| | | | a b  D． 2 2 a b  【答案】B 【解】对A， 0 a b   ， 1 1 a b   ，故A 正确； 对B， 0 a b   ， 0 b  ，即 0 a a b    ， 1 1 a a b    ，故B 错误； 对C， 0 a b   ， 0 a b  ，即| | | | a b   ，即| | | | a b  ，故C 正确， 对D， 0 a b   ， 0 a b  ，即 2 2 ( ) ( ) a b   ，即 2 2 a b  ，故D 正确. 故选：B. 4．设函数 1 1 2 1 f x x          ，则  f x 的表达式为（ ） A．   1 1 1 x x x    B．   1 1 1 x x x    C．   1 1 1 x x x    D．   2 1 1 x x x   【答案】B 【解】令   1 1 1 t t x   ，则可得 1 1 x t 1 t 所以    2 1 1 1 1 1 t f t t t t      ，所以    1 1 1 x f x x x     故选：B 5．在下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A．  2 1 f x x  ， N x ， 2 1 g x x  ， N x B．  1 1 f x x x    ， 2 1 g x x   C．     1 3 1 x x f x x     ， 3 g x x   D．  f x x  ， 3 g x x  5 【答案】B 6．已知不等式 2 0 ax bx c    的解集为 1 2 3 x x         ，则不等式 2 0 cx bx a    的解集为（ ） A． 1 3 2 x x          B．{ | 3 x x 或 1} 2 x  C． 1 2 3 x x          D．{ | 2 x x 或 1} 3 x  【答案】A 【解】不等式 2 0 ax bx c    的解集为 1 2 3 x x         ，方程 2 0 ax bx c    的实数根为 1 3  和2， 且 ,  1 2 3 1 2 3 b a c a            ，解得 5 3 b a  ， 2 3 c a  ； 则不等式 2 0 cx bx a    变为 2 2 5 0 3 3 ax ax a     ，即 2 2 5 3 0 x x   ，解得： 1 3 2 x   ， 所求不等式的解集为 1 3 2 x x         ．故选：A ． 7．当0 1 x  时，1 4 1 x x  的最小值为（ ） A．0 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【解】因为0 1 x  ，则0 1 1 x  ， 因此，   1 4 1 4 1 4 1 4 1 5 5 2 9 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x                            ， 当且仅当 1 3 x  时，等号成立，故1 4 1 x x  的最小值为9. 故选：B. 8．已知函数 ( ) f x 满足：当 1 x 时， ( ) 3 1 f x x  ，当 1 x 时， 2 ( ) 1 f x x  ，若n m  ，且 ( ) ( ) f n f m  ，设t n m   ，则（ ） A.t 没有最小值 B.t 的最小值为5 1  C.t 的最小值为4 3 D.t 的最小值为17 12 【答案】B 【解】如图，作出函数 ( ) f x 的图象， ( ) ( ) f n f m  且n m  ，则 1 m ，且 1 n ， 2 3 1 1 m n   ，即 2 2 3 n m   . 由 2 1 0 1 4 n n      ，解得1 5 n   . 2 2 2 2 1 1 3 17 ( 3 2) ( ) 3 3 3 2 12 n n m n n n n                 ， 又 1 5 n   ，当 5 n  时， min 5 1 n m   . 故选：B. 6 二、多选题 9. 下列函数，值域为  0,的是（ ） A．   1 1 y x x    B． 2 y x C．   1 0 y x x   D． 1 1 y x   【答案】AC 【解】 A 选项，函数   1 1 y x x    的值域为  0,   ，正确； B 选项，函数 2 y x 的值域为  0,，错误； C 选项，函数   1 0 y x x   的值域为  0,   ，正确； D 选项，函数 1 1 y x  的值域为    ,0 0,   ，错误. 故选：AC. { | 2 A x x   { | 3} B x x   10．已知集合� ，集合� ，则以下命题正确的有（ ） A． 0 x A   ， 0 B x  B． 0 B x   ， 0 x A  C． x A  都有 D．x B  都有 【答案】AD 【解】   2 A x x  ，集合 { | 3} B x x   ， B  是A 的真子集， 对A， 0 x A   ， 0 x B  ，故本选项正确； 对B， 0 x B   ， 0 x A  ，故此选项错误； 对C，x A  有x B  ，故此选项错误； 对D，x B  都有 ，故本选项正确；故选：AD． 11．命题“ x R  ， 2 0 1 x ax    ”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ） A．2 2 a   B． 2 a  C． 2 a  D．2 2 a   【答案】BC 【详解】 由命题“ x R  ， 2 1 0 x ax   ”为真命题，可得   2 4 0 a    ，解得2 2 a   ， 对于A，2 2 a   是命题为真的充要条件； 对于B，由 2 a 不能推出2 2 a   ，反之成立， 所以 2 a 是命题为真的一个必要不充分条件； 对于C， 2 a  不能推出2 2 a   ，反之成立， 所以 2 a  也是命题为真的一个必要不充分条件； 对于D，2 2 a  能推出2 2 a   ，反之不成立， 2 2 a  是命题为真的一个充分不必要条件. 故选：BC 12． 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的 重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图 形如图所示,C 为线段AB 上的点,且AC a  , BC b  ,O 为AB 的中点,以AB 为直径作半圆.过点C 作 AB 的垂线交半圆于D ,连接OD , AD , BD ,过点C 作OD 的垂线,垂足为E .则该图形可以完成的所有 的无字证明为（ ） 7 A．   ab a b 2 (  a 0,  b 0) B．   a b ab 2 2 2 (  a 0,  b 0) C．   a b ab 1 1 2 (  a 0,  b 0) D．    a b a b 2 2 2 2 (  a 0 ,  b 0) 【答案】AC 【详解】 由    AC CB a b ，由射影定理可知：  CD ab 又  OD CD ≥   ab a b 2 (  a 0,  b 0)，A 正确； 由射影定理可知：   CD DE OD 2 ,即      a b OD a b DE CD ab 2 1 1 2 2 又  CD DE ，即   a b ab 1 1 2 (  a 0,  b 0)，C 正确； 故选：AC 三. 填空题 13．函数f(x)=   x x 2 ( 3)0 的定义域为 【答案】(2，3)∪(3，+∞)． 【解】函数f(x)=   x x 2 ( 3)0 中， ， ，      x x 2 0 3 0 解得x>2 且x≠3； 所以f(x)的定义域为(2，3)∪(3，+∞)． 故答案为：(2，3)∪(3，+∞)． 14．设集合    A x x { | 1 2}，   B x x a { | }，若   A B ，则a 的取值范围是 【答案】  a 1 【解】因为    A x x { | 1 2}，   B x x a { | }，   A B ，所以  a 1故答案为：  a 1 15．函数     f x x x g x ax ( ) 2 , ( ) 1 2 ，若    x x [ 1,2], [ 1,2] 1 2 ，使得  f x g x 1 2   ，则a 的取值范围是 【答案】  ( , 4] [2,+ ) 【解】 若    x x 1,2 , 1,2 1 2    ，使得  f x g x 1 2   ，即g x